MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgn1frgrv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgn1frgrv2 29813
Description: Any vertex in a friendship graph does not have degree 1, see remark 2 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "... no node v of it [a friendship graph] may have deg(v) = 1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vdn1frgrv2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vdgn1frgrv2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  1))

Proof of Theorem vdgn1frgrv2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 π‘₯ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 29778 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
21anim1i 614 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
32adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
4 vdn1frgrv2.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
5 eqid 2731 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
6 eqid 2731 . . . . 5 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
7 eqid 2731 . . . . 5 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
84, 5, 6, 7vtxdusgrval 29008 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
93, 8syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
10 eqid 2731 . . . . . . 7 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
114, 103cyclfrgrrn2 29804 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1211adantlr 712 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
13 preq1 4738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑁 β†’ {π‘Ž, 𝑏} = {𝑁, 𝑏})
1413eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
15 preq2 4739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑁 β†’ {𝑐, π‘Ž} = {𝑐, 𝑁})
1615eleq1d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ({𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1714, 163anbi13d 1437 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1817anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
19182rexbidv 3218 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
2019rspcva 3611 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
211adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
22 simplll 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) β†’ 𝑏 β‰  𝑐)
23 3simpb 1148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2423ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) β†’ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
255, 10usgr2edg1 28733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑏 β‰  𝑐) ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
2621, 22, 24, 25syl21anc 835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
2827ex 412 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))))
2928ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))))))
3130rexlimivv 3198 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3220, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3332ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))))))
3433pm2.43a 54 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3534com24 95 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3635com3r 87 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3736imp31 417 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
3812, 37mpd 15 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
39 fvex 6905 . . . . . . . . 9 (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V
4039dmex 7905 . . . . . . . 8 dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V)
42 rabexg 5332 . . . . . . 7 (dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} ∈ V)
43 hash1snb 14384 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1 ↔ βˆƒπ‘–{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {𝑖}))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1 ↔ βˆƒπ‘–{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {𝑖}))
45 reusn 4732 . . . . . 6 (βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘–{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {𝑖})
4644, 45bitr4di 288 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1 ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
4746necon3abid 2976 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) β‰  1 ↔ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
4838, 47mpbird 256 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) β‰  1)
499, 48eqnetrd 3007 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  1)
5049ex 412 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  βˆƒwex 1780   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  βˆƒ!wreu 3373  {crab 3431  Vcvv 3473  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  1c1 11114   < clt 11253  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521  Edgcedg 28571  USGraphcusgr 28673  VtxDegcvtxdg 28986   FriendGraph cfrgr 29775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-fz 13490  df-hash 14296  df-edg 28572  df-uhgr 28582  df-upgr 28606  df-umgr 28607  df-usgr 28675  df-vtxdg 28987  df-frgr 29776
This theorem is referenced by:  vdgn1frgrv3  29814  vdgfrgrgt2  29815
  Copyright terms: Public domain W3C validator