MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgn1frgrv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgn1frgrv2 29282
Description: Any vertex in a friendship graph does not have degree 1, see remark 2 in [MertziosUnger] p. 153 (after Proposition 1): "... no node v of it [a friendship graph] may have deg(v) = 1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vdn1frgrv2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vdgn1frgrv2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  1))

Proof of Theorem vdgn1frgrv2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 π‘₯ 𝑖 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 29247 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
21anim1i 616 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
32adantr 482 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
4 vdn1frgrv2.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
5 eqid 2737 . . . . 5 (iEdgβ€˜πΊ) = (iEdgβ€˜πΊ)
6 eqid 2737 . . . . 5 dom (iEdgβ€˜πΊ) = dom (iEdgβ€˜πΊ)
7 eqid 2737 . . . . 5 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
84, 5, 6, 7vtxdusgrval 28477 . . . 4 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
93, 8syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) = (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}))
10 eqid 2737 . . . . . . 7 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
114, 103cyclfrgrrn2 29273 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1211adantlr 714 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
13 preq1 4699 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑁 β†’ {π‘Ž, 𝑏} = {𝑁, 𝑏})
1413eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
15 preq2 4700 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž = 𝑁 β†’ {𝑐, π‘Ž} = {𝑐, 𝑁})
1615eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ({𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ↔ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
1714, 163anbi13d 1439 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
1817anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
19182rexbidv 3214 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
2019rspcva 3582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
211adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
22 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) β†’ 𝑏 β‰  𝑐)
23 3simpb 1150 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
2423ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) β†’ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
255, 10usgr2edg1 28202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑏 β‰  𝑐) ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
2621, 22, 24, 25syl21anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
2726a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 𝐺 ∈ FriendGraph ) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
2827ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))))
2928ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3029a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))))))
3130rexlimivv 3197 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({𝑁, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, 𝑁} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3220, 31syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3332ex 414 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))))))
3433pm2.43a 54 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3534com24 95 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3635com3r 87 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))))
3736imp31 419 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (βˆ€π‘Ž ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘ ∈ 𝑉 (𝑏 β‰  𝑐 ∧ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑐, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
3812, 37mpd 15 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯))
39 fvex 6860 . . . . . . . . 9 (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V
4039dmex 7853 . . . . . . . 8 dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V)
42 rabexg 5293 . . . . . . 7 (dom (iEdgβ€˜πΊ) ∈ V β†’ {π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} ∈ V)
43 hash1snb 14326 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} ∈ V β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1 ↔ βˆƒπ‘–{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {𝑖}))
4441, 42, 433syl 18 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1 ↔ βˆƒπ‘–{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {𝑖}))
45 reusn 4693 . . . . . 6 (βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ↔ βˆƒπ‘–{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)} = {𝑖})
4644, 45bitr4di 289 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) = 1 ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
4746necon3abid 2981 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) β‰  1 ↔ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ)𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)))
4838, 47mpbird 257 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (β™―β€˜{π‘₯ ∈ dom (iEdgβ€˜πΊ) ∣ 𝑁 ∈ ((iEdgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)}) β‰  1)
499, 48eqnetrd 3012 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  1)
5049ex 414 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  βˆƒ!wreu 3354  {crab 3410  Vcvv 3448  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  dom cdm 5638  β€˜cfv 6501  1c1 11059   < clt 11196  β™―chash 14237  Vtxcvtx 27989  iEdgciedg 27990  Edgcedg 28040  USGraphcusgr 28142  VtxDegcvtxdg 28455   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-xadd 13041  df-fz 13432  df-hash 14238  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-upgr 28075  df-umgr 28076  df-usgr 28144  df-vtxdg 28456  df-frgr 29245
This theorem is referenced by:  vdgn1frgrv3  29283  vdgfrgrgt2  29284
  Copyright terms: Public domain W3C validator