Theorem frgr2wwlkeqm 28596

Description: If there is a (simple) path of length 2 from one vertex to another vertex and a (simple) path of length 2 from the other vertex back to the first vertex in a friendship graph, then the middle vertex is the same. This is only an observation, which is not required to proof the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Feb-2018.) (Revised by AV, 13-May-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
frgr2wwlkeqm	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → ((⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → 𝑄 = 𝑃))

Proof of Theorem frgr2wwlkeqm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wwlks2onv 28219	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
4	1, 3	sylan 579	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
5		simp3r 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → 𝑄 ∈ 𝑌)
6	2	wwlks2onv 28219	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑌 ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
7	5, 6	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8		frgrusgr 28526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
9		usgrumgr 27452	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
11	10	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → 𝐺 ∈ UMGraph)
12		simpr3 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
13		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺))
14		simpr1 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
15	12, 13, 14	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
16	2	wwlks2onsym 28224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)))
17	11, 15, 16	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)))
18		simpr1 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
19		3simpb 1147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
20	19	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
21		simpr2 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
22	2	frgr2wwlkeu 28592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
24		s3eq2 14511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑄 → ⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ = ⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩)
25	24	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑄 → (⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)))
26	25	riota2 7238	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄))
27	26	ad4ant14 748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄))
28		simplr2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺))
29		s3eq2 14511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ = ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩)
30	29	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)))
31	30	riota2 7238	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑃))
32	28, 31	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑃))
33		eqtr2 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄 ∧ (℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑃) → 𝑄 = 𝑃)
34	33	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑃 → ((℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄 → 𝑄 = 𝑃))
35	32, 34	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → ((℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄 → 𝑄 = 𝑃)))
36	35	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → ((℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄 → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
37	27, 36	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
38	23, 37	mpdan 683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → (⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
39	17, 38	sylbid 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
40	39	expimpd 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
41	40	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃))))
42	41	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃))))
43	42	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃))))
44	7, 43	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
45	44	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃))))
46	45	com24 95	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) → 𝑄 = 𝑃))))
47	46	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) → 𝑄 = 𝑃)))
48	4, 47	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) → 𝑄 = 𝑃))
49	48	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → ((⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → 𝑄 = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃!wreu 3065  ‘cfv 6418  ℩crio 7211  (class class class)co 7255  2c2 11958  ⟨“cs3 14483  Vtxcvtx 27269  UMGraphcumgr 27354  USGraphcusgr 27422   WWalksNOn cwwlksnon 28093   FriendGraph cfrgr 28523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-ac2 10150  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-dju 9590  df-card 9628  df-ac 9803  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-edg 27321  df-uhgr 27331  df-upgr 27355  df-umgr 27356  df-usgr 27424  df-wlks 27869  df-wwlks 28096  df-wwlksn 28097  df-wwlksnon 28098  df-frgr 28524

This theorem is referenced by: (None)