Theorem frgr2wwlkeqm 28723

Description: If there is a (simple) path of length 2 from one vertex to another vertex and a (simple) path of length 2 from the other vertex back to the first vertex in a friendship graph, then the middle vertex is the same. This is only an observation, which is not required to proof the friendship theorem. (Contributed by Alexander van der Vekens, 20-Feb-2018.) (Revised by AV, 13-May-2021.) (Proof shortened by AV, 7-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
frgr2wwlkeqm	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → ((⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → 𝑄 = 𝑃))

Proof of Theorem frgr2wwlkeqm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3l 1199	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → 𝑃 ∈ 𝑋)
2		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
3	2	wwlks2onv 28346	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑋 ∧ ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
4	1, 3	sylan 579	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
5		simp3r 1200	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → 𝑄 ∈ 𝑌)
6	2	wwlks2onv 28346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄 ∈ 𝑌 ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
7	5, 6	sylan 579	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
8		frgrusgr 28653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
9		usgrumgr 27577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
11	10	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → 𝐺 ∈ UMGraph)
12		simpr3 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))
13		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺))
14		simpr1 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))
15	12, 13, 14	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)))
16	2	wwlks2onsym 28351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)))
17	11, 15, 16	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) ↔ ⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)))
18		simpr1 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → 𝐺 ∈ FriendGraph )
19		3simpb 1147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
20	19	ad2antlr 723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)))
21		simpr2 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → 𝐴 ≠ 𝐵)
22	2	frgr2wwlkeu 28719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
23	18, 20, 21, 22	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
24		s3eq2 14611	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑄 → ⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ = ⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩)
25	24	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑄 → (⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)))
26	25	riota2 7278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄))
27	26	ad4ant14 748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄))
28		simplr2 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺))
29		s3eq2 14611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ = ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩)
30	29	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)))
31	30	riota2 7278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑃))
32	28, 31	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ (℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑃))
33		eqtr2 2757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄 ∧ (℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑃) → 𝑄 = 𝑃)
34	33	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑃 → ((℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄 → 𝑄 = 𝑃))
35	32, 34	syl6bi 252	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → ((℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄 → 𝑄 = 𝑃)))
36	35	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → ((℩𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 𝑄 → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
37	27, 36	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) ∧ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺)⟨“𝐴𝑥𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
38	23, 37	mpdan 683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → (⟨“𝐴𝑄𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
39	17, 38	sylbid 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌))) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
40	39	expimpd 453	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ (𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
41	40	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃))))
42	41	com23 86	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃))))
43	42	3ad2ant2 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑄 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃))))
44	7, 43	mpcom 38	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃)))
45	44	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → 𝑄 = 𝑃))))
46	45	com24 95	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → (⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) → 𝑄 = 𝑃))))
47	46	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → ((𝐴 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑃 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) → 𝑄 = 𝑃)))
48	4, 47	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) ∧ ⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) → (⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴) → 𝑄 = 𝑃))
49	48	expimpd 453	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵 ∧ (𝑃 ∈ 𝑋 ∧ 𝑄 ∈ 𝑌)) → ((⟨“𝐴𝑃𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ∧ ⟨“𝐵𝑄𝐴”⟩ ∈ (𝐵(2 WWalksNOn 𝐺)𝐴)) → 𝑄 = 𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ≠ wne 2938  ∃!wreu 3219  ‘cfv 6447  ℩crio 7251  (class class class)co 7295  2c2 12056  ⟨“cs3 14583  Vtxcvtx 27394  UMGraphcumgr 27479  USGraphcusgr 27547   WWalksNOn cwwlksnon 28220   FriendGraph cfrgr 28650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-ac2 10247  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-2o 8318  df-oadd 8321  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-dju 9687  df-card 9725  df-ac 9900  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-n0 12262  df-xnn0 12334  df-z 12348  df-uz 12611  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-hash 14073  df-word 14246  df-concat 14302  df-s1 14329  df-s2 14589  df-s3 14590  df-edg 27446  df-uhgr 27456  df-upgr 27480  df-umgr 27481  df-usgr 27549  df-wlks 27994  df-wwlks 28223  df-wwlksn 28224  df-wwlksnon 28225  df-frgr 28651

This theorem is referenced by: (None)