Theorem frgr2wwlkeu 30416

Description: For two different vertices in a friendship graph, there is exactly one third vertex being the middle vertex of a (simple) path/walk of length 2 between the two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Jan-2022.) (Revised by Ender Ting, 29-Jan-2026.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgr2wwlkeu.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgr2wwlkeu	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐺,𝑐   𝑉,𝑐

Proof of Theorem frgr2wwlkeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1089	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		frgr2wwlkeu.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	frcond2 30356	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
5	1, 4	biimtrrid 243	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
6	5	3impib 1117	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		frgrusgr 30350	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
8		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
9		3anan32 1097	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
10	2, 3	usgrwwlks2on 30045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
12	9, 11	biimtrrid 243	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
13	7, 8, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
14	13	impl 455	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
15	14	reubidva 3357	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
16	15	3adant3 1133	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
17	6, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃!wreu 3341  {cpr 4570  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  2c2 12231  ⟨“cs3 14799  Vtxcvtx 29083  Edgcedg 29134  USGraphcusgr 29236   WWalksNOn cwwlksnon 29914   FriendGraph cfrgr 30347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-oadd 8404  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-hash 14288  df-word 14471  df-concat 14528  df-s1 14554  df-s2 14805  df-s3 14806  df-edg 29135  df-uhgr 29145  df-upgr 29169  df-umgr 29170  df-uspgr 29237  df-usgr 29238  df-wlks 29687  df-wwlks 29917  df-wwlksn 29918  df-wwlksnon 29919  df-frgr 30348

This theorem is referenced by:  frgr2wwlkn0  30417  frgr2wwlk1  30418  frgr2wwlkeqm  30420