Theorem frgr2wwlkeu 30089

Description: For two different vertices in a friendship graph, there is exactly one third vertex being the middle vertex of a (simple) path/walk of length 2 between the two vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 18-Feb-2018.) (Revised by AV, 12-May-2021.) (Proof shortened by AV, 4-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgr2wwlkeu.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgr2wwlkeu	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑐   𝐵,𝑐   𝐺,𝑐   𝑉,𝑐

Proof of Theorem frgr2wwlkeu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-3an 1086	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵))
2		frgr2wwlkeu.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
4	2, 3	frcond2 30029	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
5	1, 4	biimtrrid 242	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
6	5	3impib 1113	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))
7		frgrusgr 30023	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
8		usgrumgr 28947	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
9		3anan32 1094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
10	2, 3	umgrwwlks2on 29720	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
11	10	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
12	9, 11	biimtrrid 242	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
13	7, 8, 12	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺)))))
14	13	impl 455	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) → (⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
15	14	reubidva 3386	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉)) → (∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
16	15	3adant3 1129	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵) ↔ ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ({𝐴, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝐵} ∈ (Edg‘𝐺))))
17	6, 16	mpbird 257	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ∃!𝑐 ∈ 𝑉 ⟨“𝐴𝑐𝐵”⟩ ∈ (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ∃!wreu 3368  {cpr 4625  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  2c2 12271  ⟨“cs3 14799  Vtxcvtx 28764  Edgcedg 28815  UMGraphcumgr 28849  USGraphcusgr 28917   WWalksNOn cwwlksnon 29590   FriendGraph cfrgr 30020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-upgr 28850  df-umgr 28851  df-usgr 28919  df-wlks 29365  df-wwlks 29593  df-wwlksn 29594  df-wwlksnon 29595  df-frgr 30021

This theorem is referenced by:  frgr2wwlkn0  30090  frgr2wwlk1  30091  frgr2wwlkeqm  30093