Theorem 2pthfrgr 30259

Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph, there is a 2-path (simple path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthfrgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthfrgr	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 2pthfrgr

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthfrgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	2pthfrgrrn2 30258	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)))
4		frgrusgr 30236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5		usgruhgr 29162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ UHGraph)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
10		simpllr 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝑚 ∈ 𝑉)
12		eldifi 4081	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏 ∈ 𝑉)
13	12	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
14	10, 11, 13	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
15	9, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
17		simprrl 780	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → 𝑎 ≠ 𝑚)
18		eldifsn 4738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
19		necom 2981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑎 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑎 → 𝑎 ≠ 𝑏)
21	18, 20	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
22	21	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
23		simprrr 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → 𝑚 ≠ 𝑏)
24		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	1, 2	2pthon3v 29919	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏) ∧ ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
26	16, 17, 22, 23, 24, 25	syl131anc 1385	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
27	26	rexlimdva2 3135	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
28	27	ralimdva 3144	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
29	28	ralimdva 3144	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
30	3, 29	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  ∃wrex 3056   ∖ cdif 3899  {csn 4576  {cpr 4578   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  2c2 12177  ♯chash 14234  Vtxcvtx 28972  Edgcedg 29023  UHGraphcuhgr 29032  USGraphcusgr 29125  SPathsOncspthson 29689   FriendGraph cfrgr 30233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-oadd 8389  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-dju 9791  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-hash 14235  df-word 14418  df-concat 14475  df-s1 14501  df-s2 14752  df-s3 14753  df-edg 29024  df-uhgr 29034  df-upgr 29058  df-umgr 29059  df-uspgr 29126  df-usgr 29127  df-wlks 29576  df-wlkson 29577  df-trls 29667  df-trlson 29668  df-spths 29691  df-spthson 29693  df-frgr 30234

This theorem is referenced by:  frgrconngr  30269