Theorem 2pthfrgr 27833

Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph, tere is a 2-path (simple path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthfrgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthfrgr	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 2pthfrgr

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthfrgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2780	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	2pthfrgrrn2 27832	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)))
4		frgrusgr 27809	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5		usgruhgr 26686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
7	6	adantr 473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	7	adantr 473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ UHGraph)
9	8	adantr 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
10		simpllr 764	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
11		simpr 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝑚 ∈ 𝑉)
12		eldifi 3995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏 ∈ 𝑉)
13	12	ad2antlr 715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
14	10, 11, 13	3jca 1109	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
15	9, 14	jca 504	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
16	15	adantr 473	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
17		simprrl 769	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → 𝑎 ≠ 𝑚)
18		eldifsn 4598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
19		necom 3022	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑎 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	biimpi 208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑎 → 𝑎 ≠ 𝑏)
21	18, 20	simplbiim 497	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
22	21	ad3antlr 719	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
23		simprrr 770	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → 𝑚 ≠ 𝑏)
24		simprl 759	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	1, 2	2pthon3v 27464	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏) ∧ ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
26	16, 17, 22, 23, 24, 25	syl131anc 1364	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
27	26	rexlimdva2 3234	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
28	27	ralimdva 3129	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
29	28	ralimdva 3129	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
30	3, 29	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508  ∃wex 1743   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2969  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   ∖ cdif 3828  {csn 4444  {cpr 4446   class class class wbr 4934  ‘cfv 6193  (class class class)co 6982  2c2 11501  ♯chash 13511  Vtxcvtx 26499  Edgcedg 26550  UHGraphcuhgr 26559  USGraphcusgr 26652  SPathsOncspthson 27219   FriendGraph cfrgr 27805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2752  ax-rep 5053  ax-sep 5064  ax-nul 5071  ax-pow 5123  ax-pr 5190  ax-un 7285  ax-cnex 10397  ax-resscn 10398  ax-1cn 10399  ax-icn 10400  ax-addcl 10401  ax-addrcl 10402  ax-mulcl 10403  ax-mulrcl 10404  ax-mulcom 10405  ax-addass 10406  ax-mulass 10407  ax-distr 10408  ax-i2m1 10409  ax-1ne0 10410  ax-1rid 10411  ax-rnegex 10412  ax-rrecex 10413  ax-cnre 10414  ax-pre-lttri 10415  ax-pre-lttrn 10416  ax-pre-ltadd 10417  ax-pre-mulgt0 10418

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-ifp 1045  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2551  df-eu 2589  df-clab 2761  df-cleq 2773  df-clel 2848  df-nfc 2920  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3419  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4182  df-if 4354  df-pw 4427  df-sn 4445  df-pr 4447  df-tp 4449  df-op 4451  df-uni 4718  df-int 4755  df-iun 4799  df-br 4935  df-opab 4997  df-mpt 5014  df-tr 5036  df-id 5316  df-eprel 5321  df-po 5330  df-so 5331  df-fr 5370  df-we 5372  df-xp 5417  df-rel 5418  df-cnv 5419  df-co 5420  df-dm 5421  df-rn 5422  df-res 5423  df-ima 5424  df-pred 5991  df-ord 6037  df-on 6038  df-lim 6039  df-suc 6040  df-iota 6157  df-fun 6195  df-fn 6196  df-f 6197  df-f1 6198  df-fo 6199  df-f1o 6200  df-fv 6201  df-riota 6943  df-ov 6985  df-oprab 6986  df-mpo 6987  df-om 7403  df-1st 7507  df-2nd 7508  df-wrecs 7756  df-recs 7818  df-rdg 7856  df-1o 7911  df-oadd 7915  df-er 8095  df-map 8214  df-en 8313  df-dom 8314  df-sdom 8315  df-fin 8316  df-dju 9130  df-card 9168  df-pnf 10482  df-mnf 10483  df-xr 10484  df-ltxr 10485  df-le 10486  df-sub 10678  df-neg 10679  df-nn 11446  df-2 11509  df-3 11510  df-n0 11714  df-z 11800  df-uz 12065  df-fz 12715  df-fzo 12856  df-hash 13512  df-word 13679  df-concat 13740  df-s1 13765  df-s2 14078  df-s3 14079  df-edg 26551  df-uhgr 26561  df-upgr 26585  df-umgr 26586  df-uspgr 26653  df-usgr 26654  df-wlks 27099  df-wlkson 27100  df-trls 27195  df-trlson 27196  df-pths 27220  df-spths 27221  df-spthson 27223  df-frgr 27806

This theorem is referenced by:  frgrconngr  27843