Theorem 2pthfrgr 30369

Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph, there is a 2-path (simple path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
2pthfrgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthfrgr	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑏,𝑓,𝑝   𝑉,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 2pthfrgr

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthfrgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	2pthfrgrrn2 30368	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)))
4		frgrusgr 30346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5		usgruhgr 29269	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
8	7	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → 𝐺 ∈ UHGraph)
9	8	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ UHGraph)
10		simpllr 776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝑎 ∈ 𝑉)
11		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝑚 ∈ 𝑉)
12		eldifi 4072	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑏 ∈ 𝑉)
13	12	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → 𝑏 ∈ 𝑉)
14	10, 11, 13	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉))
15	9, 14	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → (𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)))
17		simprrl 781	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → 𝑎 ≠ 𝑚)
18		eldifsn 4730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) ↔ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ≠ 𝑎))
19		necom 2986	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑎 ↔ 𝑎 ≠ 𝑏)
20	19	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ≠ 𝑎 → 𝑎 ≠ 𝑏)
21	18, 20	simplbiim 504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}) → 𝑎 ≠ 𝑏)
22	21	ad3antlr 732	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → 𝑎 ≠ 𝑏)
23		simprrr 782	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → 𝑚 ≠ 𝑏)
24		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	1, 2	2pthon3v 30026	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ UHGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑚 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏) ∧ ({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
26	16, 17, 22, 23, 24, 25	syl131anc 1386	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) ∧ 𝑚 ∈ 𝑉) ∧ (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))
27	26	rexlimdva2 3141	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) ∧ 𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})) → (∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
28	27	ralimdva 3150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑎 ∈ 𝑉) → (∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)) → ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
29	28	ralimdva 3150	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑚 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑚} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑚, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑚 ∧ 𝑚 ≠ 𝑏)) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2)))
30	3, 29	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑏 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑓∃𝑝(𝑓(𝑎(SPathsOn‘𝐺)𝑏)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3887  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  2c2 12227  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29079  Edgcedg 29130  UHGraphcuhgr 29139  USGraphcusgr 29232  SPathsOncspthson 29796   FriendGraph cfrgr 30343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-oadd 8402  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-concat 14524  df-s1 14550  df-s2 14801  df-s3 14802  df-edg 29131  df-uhgr 29141  df-upgr 29165  df-umgr 29166  df-uspgr 29233  df-usgr 29234  df-wlks 29683  df-wlkson 29684  df-trls 29774  df-trlson 29775  df-spths 29798  df-spthson 29800  df-frgr 30344

This theorem is referenced by:  frgrconngr  30379