MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrusgrord0lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrusgrord0lem 30136
Description: Lemma for frrusgrord0 30137. (Contributed by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frrusgrord0.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frrusgrord0lem (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜π‘‰) β‰  0))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem frrusgrord0lem
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 30058 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
21anim1i 614 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3 frrusgrord0.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
43isfusgr 29118 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
52, 4sylibr 233 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
6 eqid 2727 . . . . . 6 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
73, 6fusgrregdegfi 29370 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
85, 7stoic3 1771 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾 β†’ 𝐾 ∈ β„•0))
98imp 406 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„•0)
109nn0cnd 12556 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ 𝐾 ∈ β„‚)
11 hashcl 14339 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0)
1211nn0cnd 12556 . . . 4 (𝑉 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„‚)
13123ad2ant2 1132 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„‚)
1413adantr 480 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„‚)
15 hasheq0 14346 . . . . . . 7 (𝑉 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 0 ↔ 𝑉 = βˆ…))
1615biimpd 228 . . . . . 6 (𝑉 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 0 β†’ 𝑉 = βˆ…))
1716necon3d 2956 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin β†’ (𝑉 β‰  βˆ… β†’ (β™―β€˜π‘‰) β‰  0))
1817imp 406 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘‰) β‰  0)
19183adant1 1128 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ (β™―β€˜π‘‰) β‰  0)
2019adantr 480 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (β™―β€˜π‘‰) β‰  0)
2110, 14, 203jca 1126 1 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = 𝐾) β†’ (𝐾 ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„‚ ∧ (β™―β€˜π‘‰) β‰  0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆ…c0 4318  β€˜cfv 6542  Fincfn 8955  β„‚cc 11128  0cc0 11130  β„•0cn0 12494  β™―chash 14313  Vtxcvtx 28796  USGraphcusgr 28949  FinUSGraphcfusgr 29116  VtxDegcvtxdg 29266   FriendGraph cfrgr 30055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-xadd 13117  df-fz 13509  df-hash 14314  df-vtx 28798  df-iedg 28799  df-edg 28848  df-uhgr 28858  df-upgr 28882  df-umgr 28883  df-uspgr 28950  df-usgr 28951  df-fusgr 29117  df-vtxdg 29267  df-frgr 30056
This theorem is referenced by:  frrusgrord0  30137
  Copyright terms: Public domain W3C validator