Theorem frgr0v 28527

Description: Any null graph (set with no vertices) is a friendship graph iff its edge function is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frgr0v	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem frgr0v

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	isfrgr 28525	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
4		usgruhgr 27456	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)) → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		uhgr0vb 27345	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
7	5, 6	syl5ib 243	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = ∅))
8		simpll 763	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ 𝑊)
9		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
10	8, 9	usgr0e 27506	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
11		ral0 4440	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)
12		raleq 3333	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
14	11, 13	mpbiri 257	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺))
15	14	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺))
16	10, 15	jca 511	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
17	16	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺))))
18	7, 17	impbid 211	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)) ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
19	3, 18	syl5bb 282	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃!wreu 3065   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  {cpr 4560  ‘cfv 6418  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  Edgcedg 27320  UHGraphcuhgr 27329  USGraphcusgr 27422   FriendGraph cfrgr 28523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-2 11966  df-uhgr 27331  df-upgr 27355  df-uspgr 27423  df-usgr 27424  df-frgr 28524

This theorem is referenced by:  frgr0vb  28528