Theorem frgr0v 30624

Description: Any null graph (set with no vertices) is a friendship graph iff its edge function is empty. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Oct-2017.) (Revised by AV, 29-Mar-2021.)

Assertion

Ref	Expression
frgr0v	⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

Proof of Theorem frgr0v

Dummy variables 𝑘 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	isfrgr 30622	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
4		usgruhgr 29547	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UHGraph)
5	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)) → 𝐺 ∈ UHGraph)
6		uhgr0vb 29433	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ UHGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
7	5, 6	imbitrid 247	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)) → (iEdg‘𝐺) = ∅))
8		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ 𝑊)
9		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (iEdg‘𝐺) = ∅)
10	8, 9	usgr0e 29597	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → 𝐺 ∈ USGraph)
11		ral0 4458	. . . . . . 7 ⊢ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)
12		raleq 3319	. . . . . . . 8 ⊢ ((Vtx‘𝐺) = ∅ → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
13	12	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
14	11, 13	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺))
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺))
16	10, 15	jca 520	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) ∧ (iEdg‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
17	16	ex 417	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((iEdg‘𝐺) = ∅ → (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺))))
18	7, 17	impbid 215	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)) ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))
19	3, 18	bitrid 286	1 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝑊 ∧ (Vtx‘𝐺) = ∅) → (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (iEdg‘𝐺) = ∅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ∀wral 3078  ∃!wreu 3366   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  {csn 4588  {cpr 4590  ‘cfv 6536  Vtxcvtx 29357  iEdgciedg 29358  Edgcedg 29408  UHGraphcuhgr 29417  USGraphcusgr 29510   FriendGraph cfrgr 30620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-2 12309  df-uhgr 29419  df-upgr 29443  df-uspgr 29511  df-usgr 29512  df-frgr 30621

This theorem is used by:  frgr0vb  30625