MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  friendshipgt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem friendshipgt3 29342
Description: The friendship theorem for big graphs: In every finite friendship graph with order greater than 3 there is a vertex which is adjacent to all other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
friendshipgt3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑀,𝐺,𝑣   𝑀,𝑉

Proof of Theorem friendshipgt3
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrreggt1.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2736 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2frgrregorufrg 29270 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
433ad2ant1 1133 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
51frgrogt3nreg 29341 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜)
6 frgrusgr 29205 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
76anim1i 615 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
81isfusgr 28266 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
97, 8sylibr 233 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
1093adant3 1132 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
11 0red 11158 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 0 ∈ ℝ)
12 3re 12233 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 3 ∈ ℝ)
14 hashcl 14256 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0)
1514nn0red 12474 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ)
1615adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ)
17 3pos 12258 . . . . . . . . 9 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 0 < 3)
19 simpr 485 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 3 < (β™―β€˜π‘‰))
2011, 13, 16, 18, 19lttrd 11316 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘‰))
2120gt0ne0d 11719 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (β™―β€˜π‘‰) β‰  0)
22 hasheq0 14263 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 0 ↔ 𝑉 = βˆ…))
2322adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 0 ↔ 𝑉 = βˆ…))
2423necon3bid 2988 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((β™―β€˜π‘‰) β‰  0 ↔ 𝑉 β‰  βˆ…))
2521, 24mpbid 231 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
26253adant1 1130 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
271fusgrn0degnn0 28447 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘š ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š)
2810, 26, 27syl2anc 584 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘š ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š)
29 r19.26 3114 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜))
30 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
31 fveqeq2 6851 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑑 β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š ↔ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š))
3231rspcev 3581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š)
3332ad4ant13 749 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š)
34 ornld 1060 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3635adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) ∧ π‘˜ = π‘š) β†’ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
37 eqeq2 2748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ ↔ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š))
3837rexbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š))
39 breq2 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ↔ 𝐺 RegUSGraph π‘š))
4039orbi1d 915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ ((𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
4138, 40imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
4239notbid 317 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ (Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ ↔ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š))
4341, 42anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) ↔ ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š)))
4443imbi1d 341 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘š β†’ ((((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
4544adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) ∧ π‘˜ = π‘š) β†’ ((((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
4636, 45mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) ∧ π‘˜ = π‘š) β†’ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4730, 46rspcimdv 3571 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4847com12 32 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4929, 48sylbir 234 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5049expcom 414 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
5150com13 88 . . . . 5 ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
5251exp31 420 . . . 4 ((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))))
5352rexlimivv 3196 . . 3 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘š ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
5428, 53mpcom 38 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
554, 5, 54mp2d 49 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2943  βˆ€wral 3064  βˆƒwrex 3073   βˆ– cdif 3907  βˆ…c0 4282  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105  β€˜cfv 6496  Fincfn 8883  β„cr 11050  0cc0 11051   < clt 11189  3c3 12209  β„•0cn0 12413  β™―chash 14230  Vtxcvtx 27947  Edgcedg 27998  USGraphcusgr 28100  FinUSGraphcfusgr 28264  VtxDegcvtxdg 28413   RegUSGraph crusgr 28504   FriendGraph cfrgr 29202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-ec 8650  df-qs 8654  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-reps 14657  df-csh 14677  df-s2 14737  df-s3 14738  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-dvds 16137  df-gcd 16375  df-prm 16548  df-phi 16638  df-vtx 27949  df-iedg 27950  df-edg 27999  df-uhgr 28009  df-ushgr 28010  df-upgr 28033  df-umgr 28034  df-uspgr 28101  df-usgr 28102  df-fusgr 28265  df-nbgr 28281  df-vtxdg 28414  df-rgr 28505  df-rusgr 28506  df-wlks 28547  df-wlkson 28548  df-trls 28640  df-trlson 28641  df-pths 28664  df-spths 28665  df-pthson 28666  df-spthson 28667  df-wwlks 28775  df-wwlksn 28776  df-wwlksnon 28777  df-wspthsn 28778  df-wspthsnon 28779  df-clwwlk 28926  df-clwwlkn 28969  df-clwwlknon 29032  df-conngr 29131  df-frgr 29203
This theorem is referenced by:  friendship  29343
  Copyright terms: Public domain W3C validator