MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  friendshipgt3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem friendshipgt3 29651
Description: The friendship theorem for big graphs: In every finite friendship graph with order greater than 3 there is a vertex which is adjacent to all other vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Oct-2018.) (Revised by AV, 4-Jun-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
frgrreggt1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
friendshipgt3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝑉   𝑀,𝐺,𝑣   𝑀,𝑉

Proof of Theorem friendshipgt3
Dummy variables π‘˜ π‘š 𝑑 𝑒 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrreggt1.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 eqid 2733 . . . 4 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
31, 2frgrregorufrg 29579 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
433ad2ant1 1134 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
51frgrogt3nreg 29650 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜)
6 frgrusgr 29514 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
76anim1i 616 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
81isfusgr 28575 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
97, 8sylibr 233 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
1093adant3 1133 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 𝐺 ∈ FinUSGraph)
11 0red 11217 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 0 ∈ ℝ)
12 3re 12292 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 3 ∈ ℝ)
14 hashcl 14316 . . . . . . . . . 10 (𝑉 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ β„•0)
1514nn0red 12533 . . . . . . . . 9 (𝑉 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ)
1615adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (β™―β€˜π‘‰) ∈ ℝ)
17 3pos 12317 . . . . . . . . 9 0 < 3
1817a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 0 < 3)
19 simpr 486 . . . . . . . 8 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 3 < (β™―β€˜π‘‰))
2011, 13, 16, 18, 19lttrd 11375 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 0 < (β™―β€˜π‘‰))
2120gt0ne0d 11778 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (β™―β€˜π‘‰) β‰  0)
22 hasheq0 14323 . . . . . . . 8 (𝑉 ∈ Fin β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 0 ↔ 𝑉 = βˆ…))
2322adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((β™―β€˜π‘‰) = 0 ↔ 𝑉 = βˆ…))
2423necon3bid 2986 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((β™―β€˜π‘‰) β‰  0 ↔ 𝑉 β‰  βˆ…))
2521, 24mpbid 231 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
26253adant1 1131 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ 𝑉 β‰  βˆ…)
271fusgrn0degnn0 28756 . . . 4 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘š ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š)
2810, 26, 27syl2anc 585 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘š ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š)
29 r19.26 3112 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) ↔ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜))
30 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ π‘š ∈ β„•0)
31 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 = 𝑑 β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š ↔ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š))
3231rspcev 3613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š)
3332ad4ant13 750 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š)
34 ornld 1061 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
3635adantr 482 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) ∧ π‘˜ = π‘š) β†’ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
37 eqeq2 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ ↔ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š))
3837rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š))
39 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ↔ 𝐺 RegUSGraph π‘š))
4039orbi1d 916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘š β†’ ((𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
4138, 40imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ↔ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
4239notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ (Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ ↔ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š))
4341, 42anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) ↔ ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š)))
4443imbi1d 342 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = π‘š β†’ ((((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
4544adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) ∧ π‘˜ = π‘š) β†’ ((((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ↔ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘š β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘š ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘š) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
4636, 45mpbird 257 . . . . . . . . . 10 (((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) ∧ π‘˜ = π‘š) β†’ (((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4730, 46rspcimdv 3603 . . . . . . . . 9 ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4847com12 32 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 ((βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
4929, 48sylbir 234 . . . . . . 7 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜) β†’ ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
5049expcom 415 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
5150com13 88 . . . . 5 ((((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) ∧ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š) ∧ (𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
5251exp31 421 . . . 4 ((𝑑 ∈ 𝑉 ∧ π‘š ∈ β„•0) β†’ (((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))))
5352rexlimivv 3200 . . 3 (βˆƒπ‘‘ ∈ 𝑉 βˆƒπ‘š ∈ β„•0 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘‘) = π‘š β†’ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))))
5428, 53mpcom 38 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘’) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 Β¬ 𝐺 RegUSGraph π‘˜ β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))))
554, 5, 54mp2d 49 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 3 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ (Edgβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βˆ– cdif 3946  βˆ…c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  Fincfn 8939  β„cr 11109  0cc0 11110   < clt 11248  3c3 12268  β„•0cn0 12472  β™―chash 14290  Vtxcvtx 28256  Edgcedg 28307  USGraphcusgr 28409  FinUSGraphcfusgr 28573  VtxDegcvtxdg 28722   RegUSGraph crusgr 28813   FriendGraph cfrgr 29511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-dju 9896  df-card 9934  df-ac 10111  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xadd 13093  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-reps 14719  df-csh 14739  df-s2 14799  df-s3 14800  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-phi 16699  df-vtx 28258  df-iedg 28259  df-edg 28308  df-uhgr 28318  df-ushgr 28319  df-upgr 28342  df-umgr 28343  df-uspgr 28410  df-usgr 28411  df-fusgr 28574  df-nbgr 28590  df-vtxdg 28723  df-rgr 28814  df-rusgr 28815  df-wlks 28856  df-wlkson 28857  df-trls 28949  df-trlson 28950  df-pths 28973  df-spths 28974  df-pthson 28975  df-spthson 28976  df-wwlks 29084  df-wwlksn 29085  df-wwlksnon 29086  df-wspthsn 29087  df-wspthsnon 29088  df-clwwlk 29235  df-clwwlkn 29278  df-clwwlknon 29341  df-conngr 29440  df-frgr 29512
This theorem is referenced by:  friendship  29652
  Copyright terms: Public domain W3C validator