Theorem frgr2wsp1 30388

Description: In a friendship graph, there is exactly one simple path of length 2 between two different vertices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Mar-2018.) (Revised by AV, 13-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
frgr2wwlkeu.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgr2wsp1	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐵)) = 1)

Proof of Theorem frgr2wsp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrusgr 30319	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2		wpthswwlks2on 30020	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) = (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
3	1, 2	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) = (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
4	3	3adant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐵) = (𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵))
5	4	fveq2d 6833	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐵)) = (♯‘(𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)))
6		frgr2wwlkeu.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7	6	frgr2wwlk1 30387	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘(𝐴(2 WWalksNOn 𝐺)𝐵)) = 1)
8	5, 7	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘(𝐴(2 WSPathsNOn 𝐺)𝐵)) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  1c1 11028  2c2 12225  ♯chash 14281  Vtxcvtx 29053  USGraphcusgr 29206   WWalksNOn cwwlksnon 29883   WSPathsNOn cwwspthsnon 29885   FriendGraph cfrgr 30316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-xnn0 12500  df-z 12514  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-hash 14282  df-word 14465  df-concat 14522  df-s1 14548  df-s2 14799  df-s3 14800  df-edg 29105  df-uhgr 29115  df-upgr 29139  df-umgr 29140  df-uspgr 29207  df-usgr 29208  df-wlks 29656  df-wlkson 29657  df-trls 29747  df-trlson 29748  df-pths 29770  df-spths 29771  df-pthson 29772  df-spthson 29773  df-wwlks 29886  df-wwlksn 29887  df-wwlksnon 29888  df-wspthsnon 29890  df-frgr 30317

This theorem is referenced by:  frgrhash2wsp  30390