Theorem n4cyclfrgr 30350

Description: There is no 4-cycle in a friendship graph, see Proposition 1(a) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G contains no C4 as a subgraph ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
n4cyclfrgr	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 4)

Proof of Theorem n4cyclfrgr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑘 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrusgr 30320	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2		usgrupgr 29242	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
4		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	upgr4cycl4dv4e 30244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))))
7	4, 5	isfrgr 30319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
8		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))
9		necom 2986	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ 𝑐 ≠ 𝑎)
10	9	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑎 ≠ 𝑐 → 𝑐 ≠ 𝑎)
11	10	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) → 𝑐 ≠ 𝑎)
12	11	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑐 ≠ 𝑎)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑐 ≠ 𝑎)
14		eldifsn 4730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑐 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}) ↔ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑐 ≠ 𝑎))
15	8, 13, 14	sylanbrc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑐 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}))
16		sneq 4578	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
17	16	difeq2d 4067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}))
18		preq2 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {𝑥, 𝑘} = {𝑥, 𝑎})
19	18	preq1d 4684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → {{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} = {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}})
20	19	sseq1d 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → ({{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
21	20	reubidv 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
22	17, 21	raleqbidv 3312	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
23	22	rspcv 3561	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
24	23	ad3antrrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
25		preq2 4679	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑙 = 𝑐 → {𝑥, 𝑙} = {𝑥, 𝑐})
26	25	preq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑙 = 𝑐 → {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} = {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}})
27	26	sseq1d 3954	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑙 = 𝑐 → ({{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
28	27	reubidv 3359	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑙 = 𝑐 → (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
29	28	rspcv 3561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}) → (∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
30	15, 24, 29	sylsyld 61	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
31		prcom 4677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {𝑥, 𝑎} = {𝑎, 𝑥}
32	31	preq1i 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}}
33	32	sseq1i 3951	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
34	33	reubii 3352	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
35		simprll 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36		simprlr 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
37		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))
38		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))
39		simprr2 1224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → 𝑏 ≠ 𝑑)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → 𝑏 ≠ 𝑑)
41		4cycl2vnunb 30349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ≠ 𝑑)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
42	35, 36, 37, 38, 40, 41	syl113anc 1385	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → ¬ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
43	42	pm2.21d 121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
44	43	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
45	34, 44	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
46	30, 45	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
47	46	pm2.43b 55	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
48	47	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
49	7, 48	sylbi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
50	49	expdcom 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
51	50	rexlimdvva 3195	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
52	51	rexlimivv 3180	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑎 ≠ 𝑑) ∧ (𝑏 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑑 ∧ 𝑐 ≠ 𝑑))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4))
53	6, 52	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4))
54	53	3exp 1120	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4))))
55	54	com34 91	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4))))
56	55	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4))))
57	3, 56	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
58	57	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4))
59		neqne 2941	. 2 ⊢ (¬ (♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4)
60	58, 59	pm2.61d1 180	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 4)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∃!wreu 3341   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  {csn 4568  {cpr 4570   class class class wbr 5086  ‘cfv 6490  4c4 12203  ♯chash 14254  Vtxcvtx 29053  Edgcedg 29104  UPGraphcupgr 29137  USGraphcusgr 29206  Cyclesccycls 29842   FriendGraph cfrgr 30317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-oadd 8400  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9814  df-card 9852  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-xr 11171  df-ltxr 11172  df-le 11173  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12753  df-fz 13425  df-fzo 13572  df-hash 14255  df-word 14438  df-edg 29105  df-uhgr 29115  df-upgr 29139  df-uspgr 29207  df-usgr 29208  df-wlks 29657  df-trls 29748  df-pths 29771  df-cycls 29844  df-frgr 30318

This theorem is referenced by: (None)