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Theorem n4cyclfrgr 29277
Description: There is no 4-cycle in a friendship graph, see Proposition 1(a) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G contains no C4 as a subgraph ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
n4cyclfrgr ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)

Proof of Theorem n4cyclfrgr
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 π‘˜ 𝑙 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 29247 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
2 usgrupgr 28175 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
4 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
5 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
64, 5upgr4cycl4dv4e 29171 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 4) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))
74, 5isfrgr 29246 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
8 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
9 necom 2998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž β‰  𝑐 ↔ 𝑐 β‰  π‘Ž)
109biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž β‰  𝑐 β†’ 𝑐 β‰  π‘Ž)
11103ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) β†’ 𝑐 β‰  π‘Ž)
1211ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ 𝑐 β‰  π‘Ž)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑐 β‰  π‘Ž)
14 eldifsn 4752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž}) ↔ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))
158, 13, 14sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑐 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž}))
16 sneq 4601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = π‘Ž β†’ {π‘˜} = {π‘Ž})
1716difeq2d 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = π‘Ž β†’ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜}) = ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž}))
18 preq2 4700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = π‘Ž β†’ {π‘₯, π‘˜} = {π‘₯, π‘Ž})
1918preq1d 4705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = π‘Ž β†’ {{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} = {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}})
2019sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = π‘Ž β†’ ({{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2120reubidv 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = π‘Ž β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2217, 21raleqbidv 3322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = π‘Ž β†’ (βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2322rspcv 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2423ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
25 preq2 4700 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑐 β†’ {π‘₯, 𝑙} = {π‘₯, 𝑐})
2625preq2d 4706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑐 β†’ {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} = {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}})
2726sseq1d 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑐 β†’ ({{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2827reubidv 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑐 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2928rspcv 3580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž}) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
3015, 24, 29sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
31 prcom 4698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {π‘₯, π‘Ž} = {π‘Ž, π‘₯}
3231preq1i 4702 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} = {{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}}
3332sseq1i 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ {{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ))
3433reubii 3365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ))
35 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
36 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
37 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
38 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
39 simprr2 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ 𝑏 β‰  𝑑)
4039adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑏 β‰  𝑑)
41 4cycl2vnunb 29276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 β‰  𝑑)) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ))
4235, 36, 37, 38, 40, 41syl113anc 1383 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ))
4342pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
4534, 44sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
4630, 45syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)))
4746pm2.43b 55 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
4847adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
497, 48sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
5049expdcom 416 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)))
5150rexlimdvva 3206 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)))
5251rexlimivv 3197 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
536, 52syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 4) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
54533exp 1120 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))))
5554com34 91 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))))
5655com23 86 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))))
573, 56mpcom 38 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)))
5857imp 408 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
59 neqne 2952 . 2 (Β¬ (β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)
6058, 59pm2.61d1 180 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  βˆƒ!wreu 3354   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593   class class class wbr 5110  β€˜cfv 6501  4c4 12217  β™―chash 14237  Vtxcvtx 27989  Edgcedg 28040  UPGraphcupgr 28073  USGraphcusgr 28142  Cyclesccycls 28775   FriendGraph cfrgr 29244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-hash 14238  df-word 14410  df-edg 28041  df-uhgr 28051  df-upgr 28075  df-uspgr 28143  df-usgr 28144  df-wlks 28589  df-trls 28682  df-pths 28706  df-cycls 28777  df-frgr 29245
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