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Theorem n4cyclfrgr 30088
Description: There is no 4-cycle in a friendship graph, see Proposition 1(a) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G contains no C4 as a subgraph ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
n4cyclfrgr ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)

Proof of Theorem n4cyclfrgr
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 π‘˜ 𝑙 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 30058 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
2 usgrupgr 28985 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ UPGraph)
4 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Vtxβ€˜πΊ) = (Vtxβ€˜πΊ)
5 eqid 2727 . . . . . . . . 9 (Edgβ€˜πΊ) = (Edgβ€˜πΊ)
64, 5upgr4cycl4dv4e 29982 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 4) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))))
74, 5isfrgr 30057 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
8 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
9 necom 2989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘Ž β‰  𝑐 ↔ 𝑐 β‰  π‘Ž)
109biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Ž β‰  𝑐 β†’ 𝑐 β‰  π‘Ž)
11103ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) β†’ 𝑐 β‰  π‘Ž)
1211ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ 𝑐 β‰  π‘Ž)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑐 β‰  π‘Ž)
14 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž}) ↔ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑐 β‰  π‘Ž))
158, 13, 14sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑐 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž}))
16 sneq 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = π‘Ž β†’ {π‘˜} = {π‘Ž})
1716difeq2d 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = π‘Ž β†’ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜}) = ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž}))
18 preq2 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘˜ = π‘Ž β†’ {π‘₯, π‘˜} = {π‘₯, π‘Ž})
1918preq1d 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ = π‘Ž β†’ {{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} = {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}})
2019sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘˜ = π‘Ž β†’ ({{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2120reubidv 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = π‘Ž β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2217, 21raleqbidv 3337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = π‘Ž β†’ (βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2322rspcv 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2423ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
25 preq2 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑐 β†’ {π‘₯, 𝑙} = {π‘₯, 𝑐})
2625preq2d 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑐 β†’ {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} = {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}})
2726sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑐 β†’ ({{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2827reubidv 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑐 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
2928rspcv 3603 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž}) β†’ (βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘Ž})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
3015, 24, 29sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)))
31 prcom 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {π‘₯, π‘Ž} = {π‘Ž, π‘₯}
3231preq1i 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} = {{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}}
3332sseq1i 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ {{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ))
3433reubii 3380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ))
35 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ ({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
36 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)))
37 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
38 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))
39 simprr2 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ 𝑏 β‰  𝑑)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ 𝑏 β‰  𝑑)
41 4cycl2vnunb 30087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ (𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 β‰  𝑑)) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ))
4235, 36, 37, 38, 40, 41syl113anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ Β¬ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ))
4342pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘Ž, π‘₯}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
4534, 44sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘Ž}, {π‘₯, 𝑐}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
4630, 45syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)))
4746pm2.43b 55 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ) β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ βˆ€π‘˜ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆ€π‘™ ∈ ((Vtxβ€˜πΊ) βˆ– {π‘˜})βˆƒ!π‘₯ ∈ (Vtxβ€˜πΊ){{π‘₯, π‘˜}, {π‘₯, 𝑙}} βŠ† (Edgβ€˜πΊ)) β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
497, 48sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) ∧ ((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑)))) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
5049expdcom 414 . . . . . . . . . 10 (((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑑 ∈ (Vtxβ€˜πΊ))) β†’ (((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)))
5150rexlimdvva 3206 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ) ∧ 𝑏 ∈ (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)))
5251rexlimivv 3194 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘Ž ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)βˆƒπ‘‘ ∈ (Vtxβ€˜πΊ)((({π‘Ž, 𝑏} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edgβ€˜πΊ)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edgβ€˜πΊ) ∧ {𝑑, π‘Ž} ∈ (Edgβ€˜πΊ))) ∧ ((π‘Ž β‰  𝑏 ∧ π‘Ž β‰  𝑐 ∧ π‘Ž β‰  𝑑) ∧ (𝑏 β‰  𝑐 ∧ 𝑏 β‰  𝑑 ∧ 𝑐 β‰  𝑑))) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
536, 52syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 ∧ (β™―β€˜πΉ) = 4) β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
54533exp 1117 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))))
5554com34 91 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))))
5655com23 86 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph β†’ (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))))
573, 56mpcom 38 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)))
5857imp 406 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ ((β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4))
59 neqne 2943 . 2 (Β¬ (β™―β€˜πΉ) = 4 β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)
6058, 59pm2.61d1 180 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cyclesβ€˜πΊ)𝑃) β†’ (β™―β€˜πΉ) β‰  4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  βˆƒ!wreu 3369   βˆ– cdif 3941   βŠ† wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  4c4 12291  β™―chash 14313  Vtxcvtx 28796  Edgcedg 28847  UPGraphcupgr 28880  USGraphcusgr 28949  Cyclesccycls 29586   FriendGraph cfrgr 30055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-dju 9916  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-n0 12495  df-xnn0 12567  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-hash 14314  df-word 14489  df-edg 28848  df-uhgr 28858  df-upgr 28882  df-uspgr 28950  df-usgr 28951  df-wlks 29400  df-trls 29493  df-pths 29517  df-cycls 29588  df-frgr 30056
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