MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  n4cyclfrgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem n4cyclfrgr 30094
Description: There is no 4-cycle in a friendship graph, see Proposition 1(a) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G contains no C4 as a subgraph ...". (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
n4cyclfrgr ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 4)

Proof of Theorem n4cyclfrgr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑘 𝑙 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 30064 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2 usgrupgr 28991 . . . . 5 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UPGraph)
4 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
64, 5upgr4cycl4dv4e 29988 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → ∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))))
74, 5isfrgr 30063 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ FriendGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
8 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → 𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺))
9 necom 2990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑎𝑐𝑐𝑎)
109biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎𝑐𝑐𝑎)
11103ad2ant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) → 𝑐𝑎)
1211ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))) → 𝑐𝑎)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → 𝑐𝑎)
14 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑐 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}) ↔ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑐𝑎))
158, 13, 14sylanbrc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → 𝑐 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}))
16 sneq 4634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑎 → {𝑘} = {𝑎})
1716difeq2d 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑎 → ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘}) = ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}))
18 preq2 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 = 𝑎 → {𝑥, 𝑘} = {𝑥, 𝑎})
1918preq1d 4739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑘 = 𝑎 → {{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} = {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}})
2019sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 = 𝑎 → ({{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
2120reubidv 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑎 → (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
2217, 21raleqbidv 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑎 → (∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
2322rspcv 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
2423ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
25 preq2 4734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑙 = 𝑐 → {𝑥, 𝑙} = {𝑥, 𝑐})
2625preq2d 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑙 = 𝑐 → {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} = {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}})
2726sseq1d 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑐 → ({{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
2827reubidv 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑐 → (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
2928rspcv 3604 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎}) → (∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑎})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
3015, 24, 29sylsyld 61 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺)))
31 prcom 4732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 {𝑥, 𝑎} = {𝑎, 𝑥}
3231preq1i 4736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 {{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} = {{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}}
3332sseq1i 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ {{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
3433reubii 3381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
35 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → ({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)))
36 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)))
37 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺))
38 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))
39 simprr2 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))) → 𝑏𝑑)
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → 𝑏𝑑)
41 4cycl2vnunb 30093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏𝑑)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
4235, 36, 37, 38, 40, 41syl113anc 1380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → ¬ ∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺))
4342pm2.21d 121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
4443com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑎, 𝑥}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
4534, 44sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑎}, {𝑥, 𝑐}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
4630, 45syl6 35 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
4746pm2.43b 55 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
4847adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ ∀𝑘 ∈ (Vtx‘𝐺)∀𝑙 ∈ ((Vtx‘𝐺) ∖ {𝑘})∃!𝑥 ∈ (Vtx‘𝐺){{𝑥, 𝑘}, {𝑥, 𝑙}} ⊆ (Edg‘𝐺)) → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
497, 48sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ FriendGraph → ((((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) ∧ ((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑)))) → (♯‘𝐹) ≠ 4))
5049expdcom 414 . . . . . . . . . 10 (((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) ∧ (𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺))) → (((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
5150rexlimdvva 3207 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
5251rexlimivv 3195 . . . . . . . 8 (∃𝑎 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑏 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑐 ∈ (Vtx‘𝐺)∃𝑑 ∈ (Vtx‘𝐺)((({𝑎, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ({𝑐, 𝑑} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑑, 𝑎} ∈ (Edg‘𝐺))) ∧ ((𝑎𝑏𝑎𝑐𝑎𝑑) ∧ (𝑏𝑐𝑏𝑑𝑐𝑑))) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4))
536, 52syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ UPGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) = 4) → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4))
54533exp 1117 . . . . . 6 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → (𝐺 ∈ FriendGraph → (♯‘𝐹) ≠ 4))))
5554com34 91 . . . . 5 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐺 ∈ FriendGraph → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4))))
5655com23 86 . . . 4 (𝐺 ∈ UPGraph → (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4))))
573, 56mpcom 38 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4)))
5857imp 406 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → ((♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4))
59 neqne 2944 . 2 (¬ (♯‘𝐹) = 4 → (♯‘𝐹) ≠ 4)
6058, 59pm2.61d1 180 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃) → (♯‘𝐹) ≠ 4)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2936  wral 3057  wrex 3066  ∃!wreu 3370  cdif 3942  wss 3945  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5142  cfv 6542  4c4 12293  chash 14315  Vtxcvtx 28802  Edgcedg 28853  UPGraphcupgr 28886  USGraphcusgr 28955  Cyclesccycls 29592   FriendGraph cfrgr 30061
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9918  df-card 9956  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-n0 12497  df-xnn0 12569  df-z 12583  df-uz 12847  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-hash 14316  df-word 14491  df-edg 28854  df-uhgr 28864  df-upgr 28888  df-uspgr 28956  df-usgr 28957  df-wlks 29406  df-trls 29499  df-pths 29523  df-cycls 29594  df-frgr 30062
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator