Theorem 2pthfrgrrn2 30067

Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph is a 2-path (path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2pthfrgrrn.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2pthfrgrrn.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthfrgrrn2	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem 2pthfrgrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthfrgrrn.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		2pthfrgrrn.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	2pthfrgrrn 30066	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸))
4		frgrusgr 30045	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5	2	usgredgne 28993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → 𝑎 ≠ 𝑏)
6	5	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → 𝑎 ≠ 𝑏))
7	2	usgredgne 28993	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → 𝑏 ≠ 𝑐)
8	7	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 𝑐))
9	6, 8	anim12d 608	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
11	10	ad2antrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
12	11	ancld 550	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
13	12	reximdva 3163	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
14	13	ralimdvva 3199	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
15	3, 14	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6542  Vtxcvtx 28783  Edgcedg 28834  USGraphcusgr 28936   FriendGraph cfrgr 30042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-hash 14308  df-edg 28835  df-umgr 28870  df-usgr 28938  df-frgr 30043

This theorem is referenced by:  2pthfrgr  30068  3cyclfrgrrn1  30069