Theorem 2pthfrgrrn2 28647

Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph is a 2-path (path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2pthfrgrrn.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2pthfrgrrn.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthfrgrrn2	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem 2pthfrgrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthfrgrrn.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		2pthfrgrrn.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	2pthfrgrrn 28646	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸))
4		frgrusgr 28625	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5	2	usgredgne 27573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → 𝑎 ≠ 𝑏)
6	5	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → 𝑎 ≠ 𝑏))
7	2	usgredgne 27573	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → 𝑏 ≠ 𝑐)
8	7	ex 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 𝑐))
9	6, 8	anim12d 609	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
10	4, 9	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
11	10	ad2antrr 723	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
12	11	ancld 551	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
13	12	reximdva 3203	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
14	13	ralimdvva 3126	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
15	3, 14	mpd 15	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3884  {csn 4561  {cpr 4563  ‘cfv 6433  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417  USGraphcusgr 27519   FriendGraph cfrgr 28622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-umgr 27453  df-usgr 27521  df-frgr 28623

This theorem is referenced by:  2pthfrgr  28648  3cyclfrgrrn1  28649