Theorem 2pthfrgrrn2 30574

Description: Between any two (different) vertices in a friendship graph is a 2-path (path of length 2), see Proposition 1(b) of [MertziosUnger] p. 153 : "A friendship graph G ..., as well as the distance between any two nodes in G is at most two". (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Nov-2017.) (Revised by AV, 1-Apr-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2pthfrgrrn.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2pthfrgrrn.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
2pthfrgrrn2	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))

Distinct variable groups:   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎,𝑏,𝑐   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐

Proof of Theorem 2pthfrgrrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2pthfrgrrn.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		2pthfrgrrn.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	2pthfrgrrn 30573	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸))
4		frgrusgr 30552	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5	2	usgredgne 29496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸) → 𝑎 ≠ 𝑏)
6	5	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 → 𝑎 ≠ 𝑏))
7	2	usgredgne 29496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → 𝑏 ≠ 𝑐)
8	7	ex 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 → 𝑏 ≠ 𝑐))
9	6, 8	anim12d 620	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
10	4, 9	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
11	10	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))
12	11	ancld 559	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
13	12	reximdva 3184	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ (𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎}))) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → ∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
14	13	ralimdvva 3218	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐))))
15	3, 14	mpd 16	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑎 ∈ 𝑉 ∀𝑐 ∈ (𝑉 ∖ {𝑎})∃𝑏 ∈ 𝑉 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) ∧ (𝑎 ≠ 𝑏 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  ∃wrex 3095   ∖ cdif 3910  {csn 4594  {cpr 4596  ‘cfv 6537  Vtxcvtx 29286  Edgcedg 29337  USGraphcusgr 29439   FriendGraph cfrgr 30549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-hash 14366  df-edg 29338  df-umgr 29373  df-usgr 29441  df-frgr 30550

This theorem is referenced by:  2pthfrgr  30575  3cyclfrgrrn1  30576