Theorem frgrncvvdeqlem6 28668

Description: Lemma 6 for frgrncvvdeq 28673. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Dec-2017.) (Revised by AV, 10-May-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrncvvdeq.v1	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrncvvdeq.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
frgrncvvdeq.nx	⊢ 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
frgrncvvdeq.ny	⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
frgrncvvdeq.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
frgrncvvdeq.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
frgrncvvdeq.ne	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
frgrncvvdeq.xy	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∉ 𝐷)
frgrncvvdeq.f	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ FriendGraph )
frgrncvvdeq.a	⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))

Assertion

Ref	Expression
frgrncvvdeqlem6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐸   𝑦,𝐺   𝑦,𝑉   𝑦,𝑌   𝑥,𝑦,𝑁   𝑥,𝐷   𝑥,𝑁   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝐷(𝑦)   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑋(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem frgrncvvdeqlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrncvvdeq.v1	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrncvvdeq.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		frgrncvvdeq.nx	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝐺 NeighbVtx 𝑋)
4		frgrncvvdeq.ny	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝐺 NeighbVtx 𝑌)
5		frgrncvvdeq.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		frgrncvvdeq.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		frgrncvvdeq.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
8		frgrncvvdeq.xy	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∉ 𝐷)
9		frgrncvvdeq.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ FriendGraph )
10		frgrncvvdeq.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (℩𝑦 ∈ 𝑁 {𝑥, 𝑦} ∈ 𝐸))
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	frgrncvvdeqlem5 28667	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {(𝐴‘𝑥)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁))
12		fvex 6787	. . . . 5 ⊢ (𝐴‘𝑥) ∈ V
13		elinsn 4646	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑥) ∈ V ∧ ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁) = {(𝐴‘𝑥)}) → ((𝐴‘𝑥) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝑁))
14	12, 13	mpan 687	. . . 4 ⊢ (((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁) = {(𝐴‘𝑥)} → ((𝐴‘𝑥) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝑁))
15		frgrusgr 28625	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
16	2	nbusgreledg 27720	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐴‘𝑥) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑥) ↔ {(𝐴‘𝑥), 𝑥} ∈ 𝐸))
17		prcom 4668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {(𝐴‘𝑥), 𝑥} = {𝑥, (𝐴‘𝑥)}
18	17	eleq1i 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({(𝐴‘𝑥), 𝑥} ∈ 𝐸 ↔ {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸)
19	16, 18	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐴‘𝑥) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑥) ↔ {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸))
20	19	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → ((𝐴‘𝑥) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑥) → {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸))
21	9, 15, 20	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐴‘𝑥) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑥) → {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸))
22	21	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → ((𝐴‘𝑥) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑥) → {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸))
23	22	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐴‘𝑥) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑥) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸))
24	23	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴‘𝑥) ∈ (𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∧ (𝐴‘𝑥) ∈ 𝑁) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸))
25	14, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁) = {(𝐴‘𝑥)} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸))
26	25	eqcoms 2746	. 2 ⊢ ({(𝐴‘𝑥)} = ((𝐺 NeighbVtx 𝑥) ∩ 𝑁) → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸))
27	11, 26	mpcom 38	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → {𝑥, (𝐴‘𝑥)} ∈ 𝐸)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ∉ wnel 3049  Vcvv 3432   ∩ cin 3886  {csn 4561  {cpr 4563   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  ℩crio 7231  (class class class)co 7275  Vtxcvtx 27366  Edgcedg 27417  USGraphcusgr 27519   NeighbVtx cnbgr 27699   FriendGraph cfrgr 28622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-hash 14045  df-edg 27418  df-upgr 27452  df-umgr 27453  df-usgr 27521  df-nbgr 27700  df-frgr 28623

This theorem is referenced by:  frgrncvvdeqlem8  28670