Theorem 3cyclfrgr 30050

Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
3cyclfrgr.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
3cyclfrgr	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝,𝑣   𝑣,𝑉

Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 3cyclfrgr

Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3cyclfrgr.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
3	1, 2	3cyclfrgrrn 30048	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)))
4		frgrusgr 30023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5		usgrumgr 28947	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
6	4, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
7	6	ad4antr 729	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝐺 ∈ UMGraph)
8		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → 𝑣 ∈ 𝑉)
9	8	anim1i 614	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
10		3anass 1092	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ↔ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)))
11	9, 10	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉))
13		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)))
14	1, 2	umgr3cyclex 29945	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑣 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
15	7, 12, 13, 14	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
16	15	ex 412	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) ∧ (𝑏 ∈ 𝑉 ∧ 𝑐 ∈ 𝑉)) → (({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
17	16	rexlimdvva 3205	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣 ∈ 𝑉) → (∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
18	17	ralimdva 3161	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑏 ∈ 𝑉 ∃𝑐 ∈ 𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
19	3, 18	mpd 15	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣 ∈ 𝑉 ∃𝑓∃𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055  ∃wrex 3064  {cpr 4625   class class class wbr 5141  ‘cfv 6537  0cc0 11112  1c1 11113   < clt 11252  3c3 12272  ♯chash 14295  Vtxcvtx 28764  Edgcedg 28815  UMGraphcumgr 28849  USGraphcusgr 28917  Cyclesccycls 29551   FriendGraph cfrgr 30020

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-n0 12477  df-xnn0 12549  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-concat 14527  df-s1 14552  df-s2 14805  df-s3 14806  df-s4 14807  df-edg 28816  df-uhgr 28826  df-upgr 28850  df-umgr 28851  df-usgr 28919  df-wlks 29365  df-trls 29458  df-pths 29482  df-cycls 29553  df-frgr 30021

This theorem is referenced by: (None)