MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cyclfrgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cyclfrgr 27822
Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
3cyclfrgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgr ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝,𝑣   𝑣,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 3cyclfrgr
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cyclfrgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2778 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 23cyclfrgrrn 27820 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 frgrusgr 27794 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5 usgrumgr 26667 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
76ad4antr 719 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝐺 ∈ UMGraph)
8 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
98anim1i 605 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑣𝑉 ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
10 3anass 1076 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
119, 10sylibr 226 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉))
1211adantr 473 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉))
13 simpr 477 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)))
141, 2umgr3cyclex 27712 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
157, 12, 13, 14syl3anc 1351 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
1615ex 405 . . . 4 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
1716rexlimdvva 3239 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
1817ralimdva 3127 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∀𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑣𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
193, 18mpd 15 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2050  wral 3088  wrex 3089  {cpr 4443   class class class wbr 4929  cfv 6188  0cc0 10335  1c1 10336   < clt 10474  3c3 11496  chash 13505  Vtxcvtx 26484  Edgcedg 26535  UMGraphcumgr 26569  USGraphcusgr 26637  Cyclesccycls 27274   FriendGraph cfrgr 27790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-ifp 1044  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-int 4750  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-1st 7501  df-2nd 7502  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-1o 7905  df-oadd 7909  df-er 8089  df-map 8208  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-fin 8310  df-dju 9124  df-card 9162  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-3 11504  df-4 11505  df-n0 11708  df-xnn0 11780  df-z 11794  df-uz 12059  df-fz 12709  df-fzo 12850  df-hash 13506  df-word 13673  df-concat 13734  df-s1 13759  df-s2 14072  df-s3 14073  df-s4 14074  df-edg 26536  df-uhgr 26546  df-upgr 26570  df-umgr 26571  df-usgr 26639  df-wlks 27084  df-trls 27180  df-pths 27205  df-cycls 27276  df-frgr 27791
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator