MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cyclfrgr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cyclfrgr 30307
Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Nov-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
3cyclfrgr.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgr ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐺,𝑝,𝑣   𝑣,𝑉
Allowed substitution hints:   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem 3cyclfrgr
Dummy variables 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3cyclfrgr.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 eqid 2737 . . 3 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
31, 23cyclfrgrrn 30305 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)))
4 frgrusgr 30280 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
5 usgrumgr 29198 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
64, 5syl 17 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
76ad4antr 732 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → 𝐺 ∈ UMGraph)
8 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → 𝑣𝑉)
98anim1i 615 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑣𝑉 ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
10 3anass 1095 . . . . . . . 8 ((𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ↔ (𝑣𝑉 ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)))
119, 10sylibr 234 . . . . . . 7 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉))
1211adantr 480 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → (𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉))
13 simpr 484 . . . . . 6 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)))
141, 2umgr3cyclex 30202 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
157, 12, 13, 14syl3anc 1373 . . . . 5 (((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) ∧ ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
1615ex 412 . . . 4 ((((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) ∧ (𝑏𝑉𝑐𝑉)) → (({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
1716rexlimdvva 3213 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) ∧ 𝑣𝑉) → (∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∃𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
1817ralimdva 3167 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∀𝑣𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑣, 𝑏} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {𝑐, 𝑣} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑣𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣)))
193, 18mpd 15 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑣𝑉𝑓𝑝(𝑓(Cycles‘𝐺)𝑝 ∧ (♯‘𝑓) = 3 ∧ (𝑝‘0) = 𝑣))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cfv 6561  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  3c3 12322  chash 14369  Vtxcvtx 29013  Edgcedg 29064  UMGraphcumgr 29098  USGraphcusgr 29166  Cyclesccycls 29805   FriendGraph cfrgr 30277
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-concat 14609  df-s1 14634  df-s2 14887  df-s3 14888  df-s4 14889  df-edg 29065  df-uhgr 29075  df-upgr 29099  df-umgr 29100  df-usgr 29168  df-wlks 29617  df-trls 29710  df-pths 29734  df-cycls 29807  df-frgr 30278
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator