Theorem frgrregorufrg 30305

Description: If there is a vertex having degree 𝑘 for each nonnegative integer 𝑘 in a friendship graph, then there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". Variant of frgrregorufr 30304 with generalization. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrregorufrg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrregorufrg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrregorufrg	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑘,𝑣,𝑤   𝐸,𝑎,𝑣   𝑉,𝑎,𝑣,𝑤   𝑘,𝑎,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem frgrregorufrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrregorufrg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrregorufrg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	frgrregorufr 30304	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
6		frgrusgr 30240	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
7		nn0xnn0 12495	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0*)
8	1, 3	usgreqdrusgr 29549	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
9	8	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 → 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
10	6, 7, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 → 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
11	10	orim1d 967	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸) → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
12	5, 11	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
13	12	ralrimiva 3125	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ∖ cdif 3908  {csn 4585  {cpr 4587   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  ℕ₀cn0 12418  ℕ₀^*cxnn0 12491  Vtxcvtx 28976  Edgcedg 29027  USGraphcusgr 29129  VtxDegcvtxdg 29446   RegUSGraph crusgr 29537   FriendGraph cfrgr 30237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-xadd 13049  df-fz 13445  df-hash 14272  df-edg 29028  df-uhgr 29038  df-ushgr 29039  df-upgr 29062  df-umgr 29063  df-uspgr 29130  df-usgr 29131  df-nbgr 29313  df-vtxdg 29447  df-rgr 29538  df-rusgr 29539  df-frgr 30238

This theorem is referenced by:  friendshipgt3  30377