MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregorufrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregorufrg 29156
Description: If there is a vertex having degree 𝑘 for each nonnegative integer 𝑘 in a friendship graph, then there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". Variant of frgrregorufr 29155 with generalization. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrregorufrg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrregorufrg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrregorufrg (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑘,𝑣,𝑤   𝐸,𝑎,𝑣   𝑉,𝑎,𝑣,𝑤   𝑘,𝑎,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem frgrregorufrg
StepHypRef Expression
1 frgrregorufrg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrregorufrg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 eqid 2736 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3frgrregorufr 29155 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
54adantr 481 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
6 frgrusgr 29091 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
7 nn0xnn0 12485 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0*)
81, 3usgreqdrusgr 28402 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
983expia 1121 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘𝐺 RegUSGraph 𝑘))
106, 7, 9syl2an 596 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘𝐺 RegUSGraph 𝑘))
1110orim1d 964 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸) → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
125, 11syld 47 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1312ralrimiva 3141 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  wrex 3071  cdif 3905  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  cfv 6493  0cn0 12409  0*cxnn0 12481  Vtxcvtx 27833  Edgcedg 27884  USGraphcusgr 27986  VtxDegcvtxdg 28299   RegUSGraph crusgr 28390   FriendGraph cfrgr 29088
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-oadd 8412  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9833  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12410  df-xnn0 12482  df-z 12496  df-uz 12760  df-xadd 13026  df-fz 13417  df-hash 14223  df-edg 27885  df-uhgr 27895  df-ushgr 27896  df-upgr 27919  df-umgr 27920  df-uspgr 27987  df-usgr 27988  df-nbgr 28167  df-vtxdg 28300  df-rgr 28391  df-rusgr 28392  df-frgr 29089
This theorem is referenced by:  friendshipgt3  29228
  Copyright terms: Public domain W3C validator