Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregorufrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregorufrg 28107
 Description: If there is a vertex having degree 𝑘 for each nonnegative integer 𝑘 in a friendship graph, then there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". Variant of frgrregorufr 28106 with generalization. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrregorufrg.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrregorufrg.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frgrregorufrg (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑘,𝑣,𝑤   𝐸,𝑎,𝑣   𝑉,𝑎,𝑣,𝑤   𝑘,𝑎,𝑣,𝑤
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem frgrregorufrg
StepHypRef Expression
1 frgrregorufrg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 frgrregorufrg.e . . . . 5 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3 eqid 2824 . . . . 5 (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
41, 2, 3frgrregorufr 28106 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
54adantr 484 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
6 frgrusgr 28042 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
7 nn0xnn0 11964 . . . . 5 (𝑘 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℕ0*)
81, 3usgreqdrusgr 27354 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
983expia 1118 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘𝐺 RegUSGraph 𝑘))
106, 7, 9syl2an 598 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘𝐺 RegUSGraph 𝑘))
1110orim1d 963 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸) → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
125, 11syld 47 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
1312ralrimiva 3177 1 (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣𝑉𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134   ∖ cdif 3916  {csn 4549  {cpr 4551   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  ℕ0cn0 11890  ℕ0*cxnn0 11960  Vtxcvtx 26785  Edgcedg 26836  USGraphcusgr 26938  VtxDegcvtxdg 27251   RegUSGraph crusgr 27342   FriendGraph cfrgr 28039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7451  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4276  df-if 4450  df-pw 4523  df-sn 4550  df-pr 4552  df-tp 4554  df-op 4556  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7571  df-1st 7679  df-2nd 7680  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-2o 8093  df-oadd 8096  df-er 8279  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-dju 9321  df-card 9359  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11693  df-n0 11891  df-xnn0 11961  df-z 11975  df-uz 12237  df-xadd 12501  df-fz 12891  df-hash 13692  df-edg 26837  df-uhgr 26847  df-ushgr 26848  df-upgr 26871  df-umgr 26872  df-uspgr 26939  df-usgr 26940  df-nbgr 27119  df-vtxdg 27252  df-rgr 27343  df-rusgr 27344  df-frgr 28040 This theorem is referenced by:  friendshipgt3  28179
 Copyright terms: Public domain W3C validator