MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frgrregorufrg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frgrregorufrg 30110
Description: If there is a vertex having degree π‘˜ for each nonnegative integer π‘˜ in a friendship graph, then there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". Variant of frgrregorufr 30109 with generalization. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frgrregorufrg.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
frgrregorufrg.e 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
frgrregorufrg (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘Ž) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝐺,π‘Ž,π‘˜,𝑣,𝑀   𝐸,π‘Ž,𝑣   𝑉,π‘Ž,𝑣,𝑀   π‘˜,π‘Ž,𝑣,𝑀
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑀,π‘˜)   𝑉(π‘˜)

Proof of Theorem frgrregorufrg
StepHypRef Expression
1 frgrregorufrg.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
2 frgrregorufrg.e . . . . 5 𝐸 = (Edgβ€˜πΊ)
3 eqid 2727 . . . . 5 (VtxDegβ€˜πΊ) = (VtxDegβ€˜πΊ)
41, 2, 3frgrregorufr 30109 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘Ž) = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
54adantr 480 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘Ž) = π‘˜ β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
6 frgrusgr 30045 . . . . 5 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
7 nn0xnn0 12564 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ π‘˜ ∈ β„•0*)
81, 3usgreqdrusgr 29356 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘˜ ∈ β„•0* ∧ βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = π‘˜) β†’ 𝐺 RegUSGraph π‘˜)
983expia 1119 . . . . 5 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ π‘˜ ∈ β„•0*) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = π‘˜ β†’ 𝐺 RegUSGraph π‘˜))
106, 7, 9syl2an 595 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = π‘˜ β†’ 𝐺 RegUSGraph π‘˜))
1110orim1d 964 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((βˆ€π‘£ ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘£) = π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸) β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
125, 11syld 47 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘Ž) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
1312ralrimiva 3141 1 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (βˆƒπ‘Ž ∈ 𝑉 ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘Ž) = π‘˜ β†’ (𝐺 RegUSGraph π‘˜ ∨ βˆƒπ‘£ ∈ 𝑉 βˆ€π‘€ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑣}){𝑣, 𝑀} ∈ 𝐸)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065   βˆ– cdif 3941  {csn 4624  {cpr 4626   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  β„•0cn0 12488  β„•0*cxnn0 12560  Vtxcvtx 28783  Edgcedg 28834  USGraphcusgr 28936  VtxDegcvtxdg 29253   RegUSGraph crusgr 29344   FriendGraph cfrgr 30042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-uz 12839  df-xadd 13111  df-fz 13503  df-hash 14308  df-edg 28835  df-uhgr 28845  df-ushgr 28846  df-upgr 28869  df-umgr 28870  df-uspgr 28937  df-usgr 28938  df-nbgr 29120  df-vtxdg 29254  df-rgr 29345  df-rusgr 29346  df-frgr 30043
This theorem is referenced by:  friendshipgt3  30182
  Copyright terms: Public domain W3C validator