Theorem frgrregorufrg 30346

Description: If there is a vertex having degree 𝑘 for each nonnegative integer 𝑘 in a friendship graph, then there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". Variant of frgrregorufr 30345 with generalization. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrregorufrg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrregorufrg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrregorufrg	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑘,𝑣,𝑤   𝐸,𝑎,𝑣   𝑉,𝑎,𝑣,𝑤   𝑘,𝑎,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem frgrregorufrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrregorufrg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrregorufrg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	frgrregorufr 30345	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
5	4	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
6		frgrusgr 30281	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
7		nn0xnn0 12605	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0*)
8	1, 3	usgreqdrusgr 29587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
9	8	3expia 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 → 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
10	6, 7, 9	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 → 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
11	10	orim1d 967	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸) → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
12	5, 11	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
13	12	ralrimiva 3145	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ∖ cdif 3947  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  ℕ₀cn0 12528  ℕ₀^*cxnn0 12601  Vtxcvtx 29014  Edgcedg 29065  USGraphcusgr 29167  VtxDegcvtxdg 29484   RegUSGraph crusgr 29575   FriendGraph cfrgr 30278

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-dju 9942  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-xadd 13156  df-fz 13549  df-hash 14371  df-edg 29066  df-uhgr 29076  df-ushgr 29077  df-upgr 29100  df-umgr 29101  df-uspgr 29168  df-usgr 29169  df-nbgr 29351  df-vtxdg 29485  df-rgr 29576  df-rusgr 29577  df-frgr 30279

This theorem is referenced by:  friendshipgt3  30418