Theorem frgrregorufrg 30175

Description: If there is a vertex having degree 𝑘 for each nonnegative integer 𝑘 in a friendship graph, then there is a universal friend. This corresponds to claim 2 in [Huneke] p. 2: "Suppose there is a vertex of degree k > 1. ... all vertices have degree k, unless there is a universal friend. ... It follows that G is k-regular, i.e., the degree of every vertex is k". Variant of frgrregorufr 30174 with generalization. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Sep-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frgrregorufrg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
frgrregorufrg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frgrregorufrg	⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Distinct variable groups:   𝐺,𝑎,𝑘,𝑣,𝑤   𝐸,𝑎,𝑣   𝑉,𝑎,𝑣,𝑤   𝑘,𝑎,𝑣,𝑤

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑤,𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem frgrregorufrg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrregorufrg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		frgrregorufrg.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
3		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ (VtxDeg‘𝐺) = (VtxDeg‘𝐺)
4	1, 2, 3	frgrregorufr 30174	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
5	4	adantr 479	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
6		frgrusgr 30110	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
7		nn0xnn0 12573	. . . . 5 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → 𝑘 ∈ ℕ0*)
8	1, 3	usgreqdrusgr 29421	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0* ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘) → 𝐺 RegUSGraph 𝑘)
9	8	3expia 1118	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0*) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 → 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
10	6, 7, 9	syl2an 594	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 → 𝐺 RegUSGraph 𝑘))
11	10	orim1d 963	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸) → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
12	5, 11	syld 47	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))
13	12	ralrimiva 3136	1 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (∃𝑎 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑎) = 𝑘 → (𝐺 RegUSGraph 𝑘 ∨ ∃𝑣 ∈ 𝑉 ∀𝑤 ∈ (𝑉 ∖ {𝑣}){𝑣, 𝑤} ∈ 𝐸)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ∖ cdif 3938  {csn 4625  {cpr 4627   class class class wbr 5144  ‘cfv 6543  ℕ₀cn0 12497  ℕ₀^*cxnn0 12569  Vtxcvtx 28848  Edgcedg 28899  USGraphcusgr 29001  VtxDegcvtxdg 29318   RegUSGraph crusgr 29409   FriendGraph cfrgr 30107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-dju 9919  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-uz 12848  df-xadd 13120  df-fz 13512  df-hash 14317  df-edg 28900  df-uhgr 28910  df-ushgr 28911  df-upgr 28934  df-umgr 28935  df-uspgr 29002  df-usgr 29003  df-nbgr 29185  df-vtxdg 29319  df-rgr 29410  df-rusgr 29411  df-frgr 30108

This theorem is referenced by:  friendshipgt3  30247