Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrusgrord0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrusgrord0 28123
 Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frrusgrord0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frrusgrord0 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem frrusgrord0
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 28044 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
21anim1i 617 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3 frrusgrord0.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43isfusgr 27106 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
52, 4sylibr 237 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
63fusgreghash2wsp 28121 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
75, 6stoic3 1778 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
87imp 410 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
93frgrhash2wsp 28115 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
109eqcomd 2830 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)))
1110eqeq1d 2826 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
12113adant3 1129 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
1312adantr 484 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
143frrusgrord0lem 28122 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0))
15 peano2cnm 10946 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) ∈ ℂ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
16153ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
17 kcnktkm1cn 11065 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
18173ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
19 simp2 1134 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (♯‘𝑉) ∈ ℂ)
20 simp3 1135 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
2116, 18, 19, 20mulcand 11267 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
22 npcan1 11059 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑉) ∈ ℂ → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = (♯‘𝑉))
23 oveq1 7153 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
2422, 23sylan9req 2880 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ ((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
2524ex 416 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) ∈ ℂ → (((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
26253ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
2721, 26sylbid 243 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
2814, 27syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
2913, 28sylbird 263 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
308, 29mpd 15 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
3130ex 416 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ∅c0 4276  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146  Fincfn 8501  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   − cmin 10864  2c2 11687  ♯chash 13693  Vtxcvtx 26787  USGraphcusgr 26940  FinUSGraphcfusgr 27104  VtxDegcvtxdg 27253   WSPathsN cwwspthsn 27612   FriendGraph cfrgr 28041 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-ac2 9879  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-pm 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8899  df-oi 8967  df-dju 9323  df-card 9361  df-ac 9536  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-n0 11893  df-xnn0 11963  df-z 11977  df-uz 12239  df-rp 12385  df-xadd 12503  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13921  df-s1 13948  df-s2 14208  df-s3 14209  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-sum 15041  df-vtx 26789  df-iedg 26790  df-edg 26839  df-uhgr 26849  df-ushgr 26850  df-upgr 26873  df-umgr 26874  df-uspgr 26941  df-usgr 26942  df-fusgr 27105  df-nbgr 27121  df-vtxdg 27254  df-wlks 27387  df-wlkson 27388  df-trls 27480  df-trlson 27481  df-pths 27503  df-spths 27504  df-pthson 27505  df-spthson 27506  df-wwlks 27614  df-wwlksn 27615  df-wwlksnon 27616  df-wspthsn 27617  df-wspthsnon 27618  df-frgr 28042 This theorem is referenced by:  frrusgrord  28124
 Copyright terms: Public domain W3C validator