MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frrusgrord0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frrusgrord0 30369
Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
frrusgrord0.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
frrusgrord0 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem frrusgrord0
StepHypRef Expression
1 frgrusgr 30290 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
21anim1i 615 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3 frrusgrord0.v . . . . . . 7 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43isfusgr 29350 . . . . . 6 (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
52, 4sylibr 234 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
63fusgreghash2wsp 30367 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
75, 6stoic3 1773 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
87imp 406 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
93frgrhash2wsp 30361 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
109eqcomd 2741 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)))
1110eqeq1d 2737 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
12113adant3 1131 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
1312adantr 480 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
143frrusgrord0lem 30368 . . . . 5 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0))
15 peano2cnm 11573 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑉) ∈ ℂ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
16153ad2ant2 1133 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
17 kcnktkm1cn 11692 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
18173ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
19 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (♯‘𝑉) ∈ ℂ)
20 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
2116, 18, 19, 20mulcand 11894 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
22 npcan1 11686 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑉) ∈ ℂ → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = (♯‘𝑉))
23 oveq1 7438 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
2422, 23sylan9req 2796 . . . . . . . 8 (((♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ ((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
2524ex 412 . . . . . . 7 ((♯‘𝑉) ∈ ℂ → (((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
26253ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
2721, 26sylbid 240 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
2814, 27syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
2913, 28sylbird 260 . . 3 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
308, 29mpd 15 . 2 (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
3130ex 412 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  c0 4339  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490  2c2 12319  chash 14366  Vtxcvtx 29028  USGraphcusgr 29181  FinUSGraphcfusgr 29348  VtxDegcvtxdg 29498   WSPathsN cwwspthsn 29858   FriendGraph cfrgr 30287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-clim 15521  df-sum 15720  df-vtx 29030  df-iedg 29031  df-edg 29080  df-uhgr 29090  df-ushgr 29091  df-upgr 29114  df-umgr 29115  df-uspgr 29182  df-usgr 29183  df-fusgr 29349  df-nbgr 29365  df-vtxdg 29499  df-wlks 29632  df-wlkson 29633  df-trls 29725  df-trlson 29726  df-pths 29749  df-spths 29750  df-pthson 29751  df-spthson 29752  df-wwlks 29860  df-wwlksn 29861  df-wwlksnon 29862  df-wspthsn 29863  df-wspthsnon 29864  df-frgr 30288
This theorem is referenced by:  frrusgrord  30370
  Copyright terms: Public domain W3C validator