Theorem frrusgrord0 30326

Description: If a nonempty finite friendship graph is k-regular, its order is k(k-1)+1. This corresponds to claim 3 in [Huneke] p. 2: "Next we claim that the number n of vertices in G is exactly k(k-1)+1.". (Contributed by Alexander van der Vekens, 11-Mar-2018.) (Revised by AV, 26-May-2021.) (Proof shortened by AV, 12-Jan-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
frrusgrord0.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
frrusgrord0	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Distinct variable groups:   𝑣,𝐺   𝑣,𝐾   𝑣,𝑉

Proof of Theorem frrusgrord0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrusgr 30247	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
2	1	anim1i 615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
3		frrusgrord0.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	isfusgr 29302	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ FinUSGraph ↔ (𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin))
5	2, 4	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
6	3	fusgreghash2wsp 30324	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
7	5, 6	stoic3 1776	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
8	7	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))))
9	3	frgrhash2wsp 30318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)))
10	9	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → ((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)))
11	10	eqeq1d 2738	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
12	11	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
13	12	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ (♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1)))))
14	3	frrusgrord0lem 30325	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0))
15		peano2cnm 11554	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℂ → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
16	15	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → ((♯‘𝑉) − 1) ∈ ℂ)
17		kcnktkm1cn 11673	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℂ → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
18	17	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (𝐾 · (𝐾 − 1)) ∈ ℂ)
19		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (♯‘𝑉) ∈ ℂ)
20		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (♯‘𝑉) ≠ 0)
21	16, 18, 19, 20	mulcand 11875	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) ↔ ((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))))
22		npcan1 11667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℂ → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = (♯‘𝑉))
23		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (((♯‘𝑉) − 1) + 1) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
24	22, 23	sylan9req 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ ((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
25	24	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑉) ∈ ℂ → (((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
26	25	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (((♯‘𝑉) − 1) = (𝐾 · (𝐾 − 1)) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
27	21, 26	sylbid 240	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ∈ ℂ ∧ (♯‘𝑉) ≠ 0) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
28	14, 27	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (((♯‘𝑉) · ((♯‘𝑉) − 1)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
29	13, 28	sylbird 260	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → ((♯‘(2 WSPathsN 𝐺)) = ((♯‘𝑉) · (𝐾 · (𝐾 − 1))) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))
30	8, 29	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) ∧ ∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾) → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1))
31	30	ex 412	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑉 ≠ ∅) → (∀𝑣 ∈ 𝑉 ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑣) = 𝐾 → (♯‘𝑉) = ((𝐾 · (𝐾 − 1)) + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∅c0 4313  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Fincfn 8964  ℂcc 11132  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   − cmin 11471  2c2 12300  ♯chash 14353  Vtxcvtx 28980  USGraphcusgr 29133  FinUSGraphcfusgr 29300  VtxDegcvtxdg 29450   WSPathsN cwwspthsn 29815   FriendGraph cfrgr 30244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-ac2 10482  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-disj 5092  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-oi 9529  df-dju 9920  df-card 9958  df-ac 10135  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-rp 13014  df-xadd 13134  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872  df-s3 14873  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-clim 15509  df-sum 15708  df-vtx 28982  df-iedg 28983  df-edg 29032  df-uhgr 29042  df-ushgr 29043  df-upgr 29066  df-umgr 29067  df-uspgr 29134  df-usgr 29135  df-fusgr 29301  df-nbgr 29317  df-vtxdg 29451  df-wlks 29584  df-wlkson 29585  df-trls 29677  df-trlson 29678  df-pths 29701  df-spths 29702  df-pthson 29703  df-spthson 29704  df-wwlks 29817  df-wwlksn 29818  df-wwlksnon 29819  df-wspthsn 29820  df-wspthsnon 29821  df-frgr 30245

This theorem is referenced by:  frrusgrord  30327