MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdgn0frgrv2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdgn0frgrv2 29242
Description: A vertex in a friendship graph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
vdn1frgrv2.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
vdgn0frgrv2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0))

Proof of Theorem vdgn0frgrv2
StepHypRef Expression
1 frgrconngr 29241 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ ConnGraph)
2 frgrusgr 29208 . . . 4 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ USGraph)
3 usgrumgr 28133 . . . 4 (𝐺 ∈ USGraph β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
42, 3syl 17 . . 3 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ 𝐺 ∈ UMGraph)
5 vdn1frgrv2.v . . . . 5 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
65vdn0conngrumgrv2 29143 . . . 4 (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰))) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0)
76ex 414 . . 3 ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) β†’ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0))
81, 4, 7syl2anc 585 . 2 (𝐺 ∈ FriendGraph β†’ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (β™―β€˜π‘‰)) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0))
98expdimp 454 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (1 < (β™―β€˜π‘‰) β†’ ((VtxDegβ€˜πΊ)β€˜π‘) β‰  0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  0cc0 11052  1c1 11053   < clt 11190  β™―chash 14231  Vtxcvtx 27950  UMGraphcumgr 28035  USGraphcusgr 28103  VtxDegcvtxdg 28416  ConnGraphcconngr 29133   FriendGraph cfrgr 29205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-ifp 1063  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-oadd 8417  df-er 8649  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-uz 12765  df-xadd 13035  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-hash 14232  df-word 14404  df-concat 14460  df-s1 14485  df-s2 14738  df-s3 14739  df-edg 28002  df-uhgr 28012  df-upgr 28036  df-umgr 28037  df-uspgr 28104  df-usgr 28105  df-vtxdg 28417  df-wlks 28550  df-wlkson 28551  df-trls 28643  df-trlson 28644  df-pths 28667  df-spths 28668  df-pthson 28669  df-spthson 28670  df-conngr 29134  df-frgr 29206
This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  29245  frgrregord013  29342
  Copyright terms: Public domain W3C validator