Theorem vdgn0frgrv2 30494

Description: A vertex in a friendship graph with more than one vertex cannot have degree 0. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Dec-2017.) (Revised by AV, 4-Apr-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
vdn1frgrv2.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
vdgn0frgrv2	⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))

Proof of Theorem vdgn0frgrv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frgrconngr 30493	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ ConnGraph)
2		frgrusgr 30460	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
3		usgrumgr 29379	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
4	2, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ UMGraph)
5		vdn1frgrv2.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
6	5	vdn0conngrumgrv2 30395	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) ∧ (𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉))) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0)
7	6	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ ConnGraph ∧ 𝐺 ∈ UMGraph) → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
8	1, 4, 7	syl2anc 593	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ FriendGraph → ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))
9	8	expdimp 456	1 ⊢ ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (1 < (♯‘𝑉) → ((VtxDeg‘𝐺)‘𝑁) ≠ 0))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ‘cfv 6521  0cc0 11073  1c1 11074   < clt 11216  ♯chash 14343  Vtxcvtx 29194  UMGraphcumgr 29279  USGraphcusgr 29347  VtxDegcvtxdg 29663  ConnGraphcconngr 30385   FriendGraph cfrgr 30457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-ifp 1075  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-uz 12840  df-xadd 13115  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-hash 14344  df-word 14527  df-concat 14584  df-s1 14610  df-s2 14861  df-s3 14862  df-edg 29246  df-uhgr 29256  df-upgr 29280  df-umgr 29281  df-uspgr 29348  df-usgr 29349  df-vtxdg 29664  df-wlks 29797  df-wlkson 29798  df-trls 29888  df-trlson 29889  df-pths 29911  df-spths 29912  df-pthson 29913  df-spthson 29914  df-conngr 30386  df-frgr 30458

This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  30497  frgrregord013  30594