Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  3cyclfrgrrn2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3cyclfrgrrn2 28075
 Description: Every vertex in a friendship graph (with more than 1 vertex) is part of a 3-cycle. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 2-Apr-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
3cyclfrgrrn1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3cyclfrgrrn1.e 𝐸 = (Edg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
3cyclfrgrrn2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑏𝑐 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))
Distinct variable groups:   𝑏,𝑐   𝐸,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑎   𝑉,𝑎,𝑏,𝑐   𝐺,𝑏,𝑐,𝑎

Proof of Theorem 3cyclfrgrrn2
StepHypRef Expression
1 3cyclfrgrrn1.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 3cyclfrgrrn1.e . . 3 𝐸 = (Edg‘𝐺)
31, 23cyclfrgrrn 28074 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))
4 frgrusgr 28049 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ FriendGraph → 𝐺 ∈ USGraph)
52usgredgne 26999 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸) → 𝑏𝑐)
65expcom 417 . . . . . . . . 9 ({𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑏𝑐))
763ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) → (𝐺 ∈ USGraph → 𝑏𝑐))
84, 7syl5com 31 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ FriendGraph → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) → 𝑏𝑐))
98adantr 484 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) → 𝑏𝑐))
109ancrd 555 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) → (𝑏𝑐 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
1110reximdv 3265 . . . 4 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∃𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) → ∃𝑐𝑉 (𝑏𝑐 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
1211reximdv 3265 . . 3 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∃𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) → ∃𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑏𝑐 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
1312ralimdv 3173 . 2 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → (∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑏𝑐 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸))))
143, 13mpd 15 1 ((𝐺 ∈ FriendGraph ∧ 1 < (♯‘𝑉)) → ∀𝑎𝑉𝑏𝑉𝑐𝑉 (𝑏𝑐 ∧ ({𝑎, 𝑏} ∈ 𝐸 ∧ {𝑏, 𝑐} ∈ 𝐸 ∧ {𝑐, 𝑎} ∈ 𝐸)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014  ∀wral 3133  ∃wrex 3134  {cpr 4552   class class class wbr 5052  ‘cfv 6343  1c1 10536   < clt 10673  ♯chash 13695  Vtxcvtx 26792  Edgcedg 26843  USGraphcusgr 26945   FriendGraph cfrgr 28046 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-dju 9327  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-xnn0 11965  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-hash 13696  df-edg 26844  df-umgr 26879  df-usgr 26947  df-frgr 28047 This theorem is referenced by:  vdgn1frgrv2  28084
 Copyright terms: Public domain W3C validator