Theorem initc 50143

Description: Sets with empty base are the only initial objects in the category of small categories. Example 7.2(3) of [Adamek] p. 101. (Contributed by Zhi Wang, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
initc	⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))

Distinct variable group:   𝐶,𝑑,𝑓

Proof of Theorem initc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ V)
2		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∅ = (Base‘𝐶))
3		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝑑 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	0funcg 50137	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩})
5		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
6		sneq 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → {𝑓} = {⟨∅, ∅⟩})
7	6	eqeq2d 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → ((𝐶 Func 𝑑) = {𝑓} ↔ (𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩}))
8	5, 7	spcev 3561	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩} → ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
9	4, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
10		eusn 4691	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
11	9, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))
12	11	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) → ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))
13		0cat 17843	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Cat
14		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = ∅ → (𝐶 Func 𝑑) = (𝐶 Func ∅))
15	14	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ∅ → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
16	15	eubidv 2612	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ∅ → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
17	16	rspcv 3573	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ Cat → (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
18	13, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
19		euex 2603	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
20		funcrcl 18018	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ Cat ∧ ∅ ∈ Cat))
21	20	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝐶 ∈ Cat)
22	21	elexd 3474	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝐶 ∈ V)
23		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24		base0 17372	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
25		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∅ = ∅)
26		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
27	23, 24, 25, 26	func0g2 50142	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (Base‘𝐶) = ∅)
28	27	eqcomd 2767	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∅ = (Base‘𝐶))
29	22, 28	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
30	29	exlimiv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
31	18, 19, 30	3syl 19	. 2 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
32	12, 31	impbii 212	1 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2594  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  Catccat 17818   Func cfunc 18009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-1cn 11239  ax-addcl 11241

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-map 8833  df-ixp 8910  df-nn 12317  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-cat 17822  df-func 18013

This theorem is used by: (None)