Theorem initc 49846

Description: Sets with empty base are the only initial objects in the category of small categories. Example 7.2(3) of [Adamek] p. 101. (Contributed by Zhi Wang, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
initc	⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))

Distinct variable group:   𝐶,𝑑,𝑓

Proof of Theorem initc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ V)
2		simplr 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∅ = (Base‘𝐶))
3		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝑑 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	0funcg 49840	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩})
5		opex 5447	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
6		sneq 4600	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → {𝑓} = {⟨∅, ∅⟩})
7	6	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → ((𝐶 Func 𝑑) = {𝑓} ↔ (𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩}))
8	5, 7	spcev 3566	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩} → ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
9	4, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
10		eusn 4697	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
11	9, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))
12	11	ralrimiva 3157	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) → ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))
13		0cat 17746	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Cat
14		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = ∅ → (𝐶 Func 𝑑) = (𝐶 Func ∅))
15	14	eleq2d 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ∅ → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
16	15	eubidv 2614	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ∅ → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
17	16	rspcv 3578	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ Cat → (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
18	13, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
19		euex 2605	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
20		funcrcl 17921	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ Cat ∧ ∅ ∈ Cat))
21	20	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝐶 ∈ Cat)
22	21	elexd 3478	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝐶 ∈ V)
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24		base0 17275	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
25		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∅ = ∅)
26		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
27	23, 24, 25, 26	func0g2 49845	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (Base‘𝐶) = ∅)
28	27	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∅ = (Base‘𝐶))
29	22, 28	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
30	29	exlimiv 1960	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
31	18, 19, 30	3syl 19	. 2 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
32	12, 31	impbii 212	1 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143  ∃!weu 2596  ∀wral 3079  Vcvv 3455  ∅c0 4287  {csn 4590  ⟨cop 4596  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  Catccat 17721   Func cfunc 17912

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-1cn 11159  ax-addcl 11161

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-map 8827  df-ixp 8897  df-nn 12235  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-cat 17725  df-func 17916

This theorem is referenced by: (None)