Theorem initc 50411

Description: Sets with empty base are the only initial objects in the category of small categories. Example 7.2(3) of [Adamek] p. 101. (Contributed by Zhi Wang, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
initc	⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))

Distinct variable group:   𝐶,𝑑,𝑓

Proof of Theorem initc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ V)
2		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∅ = (Base‘𝐶))
3		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝑑 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	0funcg 50405	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩})
5		opex 5436	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
6		sneq 4594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → {𝑓} = {⟨∅, ∅⟩})
7	6	eqeq2d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → ((𝐶 Func 𝑑) = {𝑓} ↔ (𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩}))
8	5, 7	spcev 3564	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩} → ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
9	4, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
10		eusn 4691	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
11	9, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))
12	11	ralrimiva 3158	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) → ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))
13		0cat 17892	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Cat
14		oveq2 7451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = ∅ → (𝐶 Func 𝑑) = (𝐶 Func ∅))
15	14	eleq2d 2850	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ∅ → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
16	15	eubidv 2614	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ∅ → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
17	16	rspcv 3576	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ Cat → (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
18	13, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
19		euex 2605	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
20		funcrcl 18067	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ Cat ∧ ∅ ∈ Cat))
21	20	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝐶 ∈ Cat)
22	21	elexd 3477	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝐶 ∈ V)
23		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24		base0 17421	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
25		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∅ = ∅)
26		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
27	23, 24, 25, 26	func0g2 50410	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (Base‘𝐶) = ∅)
28	27	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∅ = (Base‘𝐶))
29	22, 28	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
30	29	exlimiv 1965	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
31	18, 19, 30	3syl 19	. 2 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
32	12, 31	impbii 212	1 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147  ∃!weu 2596  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  Basecbs 17416  Catccat 17867   Func cfunc 18058

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-1cn 11285  ax-addcl 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-map 8877  df-ixp 8954  df-nn 12363  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-cat 17871  df-func 18062

This theorem is used by: (None)