Theorem initc 50025

Description: Sets with empty base are the only initial objects in the category of small categories. Example 7.2(3) of [Adamek] p. 101. (Contributed by Zhi Wang, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
initc	⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))

Distinct variable group:   𝐶,𝑑,𝑓

Proof of Theorem initc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ V)
2		simplr 781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∅ = (Base‘𝐶))
3		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝑑 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	0funcg 50019	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩})
5		opex 5443	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
6		sneq 4597	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → {𝑓} = {⟨∅, ∅⟩})
7	6	eqeq2d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → ((𝐶 Func 𝑑) = {𝑓} ↔ (𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩}))
8	5, 7	spcev 3563	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩} → ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
9	4, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
10		eusn 4694	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
11	9, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))
12	11	ralrimiva 3156	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) → ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))
13		0cat 17783	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Cat
14		oveq2 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = ∅ → (𝐶 Func 𝑑) = (𝐶 Func ∅))
15	14	eleq2d 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ∅ → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
16	15	eubidv 2613	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ∅ → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
17	16	rspcv 3575	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ Cat → (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
18	13, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
19		euex 2604	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
20		funcrcl 17958	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ Cat ∧ ∅ ∈ Cat))
21	20	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝐶 ∈ Cat)
22	21	elexd 3476	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝐶 ∈ V)
23		eqid 2762	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24		base0 17312	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
25		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∅ = ∅)
26		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
27	23, 24, 25, 26	func0g2 50024	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (Base‘𝐶) = ∅)
28	27	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∅ = (Base‘𝐶))
29	22, 28	jca 521	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
30	29	exlimiv 1963	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
31	18, 19, 30	3syl 19	. 2 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
32	12, 31	impbii 212	1 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145  ∃!weu 2595  ∀wral 3078  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Catccat 17758   Func cfunc 17949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-1cn 11186  ax-addcl 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-map 8832  df-ixp 8909  df-nn 12262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-cat 17762  df-func 17953

This theorem is used by: (None)