Theorem initc 49588

Description: Sets with empty base are the only initial objects in the category of small categories. Example 7.2(3) of [Adamek] p. 101. (Contributed by Zhi Wang, 15-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
initc	⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))

Distinct variable group:   𝐶,𝑑,𝑓

Proof of Theorem initc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝐶 ∈ V)
2		simplr 774	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∅ = (Base‘𝐶))
3		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → 𝑑 ∈ Cat)
4	1, 2, 3	0funcg 49582	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → (𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩})
5		opex 5410	. . . . . 6 ⊢ ⟨∅, ∅⟩ ∈ V
6		sneq 4572	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → {𝑓} = {⟨∅, ∅⟩})
7	6	eqeq2d 2751	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = ⟨∅, ∅⟩ → ((𝐶 Func 𝑑) = {𝑓} ↔ (𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩}))
8	5, 7	spcev 3551	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 Func 𝑑) = {⟨∅, ∅⟩} → ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
9	4, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
10		eusn 4669	. . . 4 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ ∃𝑓(𝐶 Func 𝑑) = {𝑓})
11	9, 10	sylibr 235	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ∧ 𝑑 ∈ Cat) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))
12	11	ralrimiva 3132	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) → ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))
13		0cat 17653	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ Cat
14		oveq2 7371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = ∅ → (𝐶 Func 𝑑) = (𝐶 Func ∅))
15	14	eleq2d 2826	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = ∅ → (𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
16	15	eubidv 2590	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = ∅ → (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) ↔ ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
17	16	rspcv 3563	. . . 4 ⊢ (∅ ∈ Cat → (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅)))
18	13, 17	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
19		euex 2581	. . 3 ⊢ (∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
20		funcrcl 17828	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ Cat ∧ ∅ ∈ Cat))
21	20	simpld 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝐶 ∈ Cat)
22	21	elexd 3456	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝐶 ∈ V)
23		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
24		base0 17182	. . . . . . 7 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
25		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∅ = ∅)
26		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅))
27	23, 24, 25, 26	func0g2 49587	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (Base‘𝐶) = ∅)
28	27	eqcomd 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → ∅ = (Base‘𝐶))
29	22, 28	jca 516	. . . 4 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
30	29	exlimiv 1937	. . 3 ⊢ (∃𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func ∅) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
31	18, 19, 30	3syl 18	. 2 ⊢ (∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑) → (𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)))
32	12, 31	impbii 210	1 ⊢ ((𝐶 ∈ V ∧ ∅ = (Base‘𝐶)) ↔ ∀𝑑 ∈ Cat ∃!𝑓 𝑓 ∈ (𝐶 Func 𝑑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547  ∃wex 1786   ∈ wcel 2119  ∃!weu 2572  ∀wral 3054  Vcvv 3432  ∅c0 4268  {csn 4562  ⟨cop 4568  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  Catccat 17628   Func cfunc 17819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-1cn 11094  ax-addcl 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-map 8772  df-ixp 8843  df-nn 12173  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-cat 17632  df-func 17823

This theorem is referenced by: (None)