Theorem func1st2nd 49509

Description: Rewrite the functor predicate with separated parts. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
func1st2nd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func1st2nd	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Proof of Theorem func1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17787	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		func1st2nd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2ndbr 7986	. 2 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  Rel wrel 5627  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932   Func cfunc 17779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-func 17783

This theorem is referenced by:  func0g2  49523  idfu1stalem  49533  idfu2nda  49536  cofid1a  49545  cofid2a  49546  cofidvala  49549  cofidf2a  49550  cofidf1a  49551  oppfoppc2  49575  funcoppc4  49577  2oppffunc  49579  cofuoppf  49583  idfth  49591  idsubc  49593  uppropd  49614  uptrlem2  49644  uptra  49648  uptrar  49649  uobeqw  49652  uobeq  49653  uptr2a  49655  natoppfb  49664  diag1f1  49740  diag2f1  49742  fuco11b  49770  fucocolem1  49786  fucocolem2  49787  fucocolem3  49788  fucocolem4  49789  fucoco  49790  fucolid  49794  fucorid  49795  fucorid2  49796  postcofval  49797  postcofcl  49798  precofval  49800  precofval2  49802  precofcl  49803  prcoftposcurfucoa  49817  prcof1  49821  prcof2a  49822  prcof2  49823  prcof22a  49825  prcofdiag1  49826  prcofdiag  49827  fucoppclem  49840  fucoppcid  49841  fucoppcco  49842  oppfdiag1  49847  oppfdiag  49849  isinito2lem  49931  termcfuncval  49965  diag1f1olem  49966  diagffth  49971  funcsn  49974  cofuterm  49978  uobeqterm  49979  isinito4  49980  lanval  50052  ranval  50053  lanup  50074  ranup  50075  lmdpropd  50090  cmdpropd  50091  islmd  50098  iscmd  50099  lmddu  50100  termolmd  50103  lmdran  50104  cmdlan  50105