Theorem func1st2nd 49062

Description: Rewrite the functor predicate with separated parts. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
func1st2nd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func1st2nd	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Proof of Theorem func1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17824	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		func1st2nd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2ndbr 8021	. 2 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  Rel wrel 5643  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  1^st c1st 7966  2^nd c2nd 7967   Func cfunc 17816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-func 17820

This theorem is referenced by:  func0g2  49076  idfu1stalem  49086  idfu2nda  49089  cofid1a  49098  cofid2a  49099  cofidvala  49102  cofidf2a  49103  cofidf1a  49104  oppfoppc2  49128  funcoppc4  49130  2oppffunc  49132  cofuoppf  49136  idfth  49144  idsubc  49146  uppropd  49167  uptrlem2  49197  uptra  49201  uptrar  49202  uobeqw  49205  uobeq  49206  uptr2a  49208  natoppfb  49217  diag1f1  49293  diag2f1  49295  fuco11b  49323  fucocolem1  49339  fucocolem2  49340  fucocolem3  49341  fucocolem4  49342  fucoco  49343  fucolid  49347  fucorid  49348  fucorid2  49349  postcofval  49350  postcofcl  49351  precofval  49353  precofval2  49355  precofcl  49356  prcoftposcurfucoa  49370  prcof1  49374  prcof2a  49375  prcof2  49376  prcof22a  49378  prcofdiag1  49379  prcofdiag  49380  fucoppclem  49393  fucoppcid  49394  fucoppcco  49395  oppfdiag1  49400  oppfdiag  49402  isinito2lem  49484  termcfuncval  49518  diag1f1olem  49519  diagffth  49524  funcsn  49527  cofuterm  49531  uobeqterm  49532  isinito4  49533  lanval  49605  ranval  49606  lanup  49627  ranup  49628  lmdpropd  49643  cmdpropd  49644  islmd  49651  iscmd  49652  lmddu  49653  termolmd  49656  lmdran  49657  cmdlan  49658