Theorem func1st2nd 49049

Description: Rewrite the functor predicate with separated parts. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
func1st2nd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func1st2nd	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Proof of Theorem func1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17787	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		func1st2nd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2ndbr 7984	. 2 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5095  Rel wrel 5628  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  1^st c1st 7929  2^nd c2nd 7930   Func cfunc 17779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fv 6494  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-func 17783

This theorem is referenced by:  func0g2  49063  idfu1stalem  49073  idfu2nda  49076  cofid1a  49085  cofid2a  49086  cofidvala  49089  cofidf2a  49090  cofidf1a  49091  oppfoppc2  49115  funcoppc4  49117  2oppffunc  49119  cofuoppf  49123  idfth  49131  idsubc  49133  uppropd  49154  uptrlem2  49184  uptra  49188  uptrar  49189  uobeqw  49192  uobeq  49193  uptr2a  49195  natoppfb  49204  diag1f1  49280  diag2f1  49282  fuco11b  49310  fucocolem1  49326  fucocolem2  49327  fucocolem3  49328  fucocolem4  49329  fucoco  49330  fucolid  49334  fucorid  49335  fucorid2  49336  postcofval  49337  postcofcl  49338  precofval  49340  precofval2  49342  precofcl  49343  prcoftposcurfucoa  49357  prcof1  49361  prcof2a  49362  prcof2  49363  prcof22a  49365  prcofdiag1  49366  prcofdiag  49367  fucoppclem  49380  fucoppcid  49381  fucoppcco  49382  oppfdiag1  49387  oppfdiag  49389  isinito2lem  49471  termcfuncval  49505  diag1f1olem  49506  diagffth  49511  funcsn  49514  cofuterm  49518  uobeqterm  49519  isinito4  49520  lanval  49592  ranval  49593  lanup  49614  ranup  49615  lmdpropd  49630  cmdpropd  49631  islmd  49638  iscmd  49639  lmddu  49640  termolmd  49643  lmdran  49644  cmdlan  49645