Theorem func1st2nd 49989

Description: Rewrite the functor predicate with separated parts. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
func1st2nd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func1st2nd	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Proof of Theorem func1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17955	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		func1st2nd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2ndbr 8042	. 2 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  Rel wrel 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  1^st c1st 7987  2^nd c2nd 7988   Func cfunc 17947

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-func 17951

This theorem is used by:  func0g2  50003  idfu1stalem  50013  idfu2nda  50016  cofid1a  50025  cofid2a  50026  cofidvala  50029  cofidf2a  50030  cofidf1a  50031  oppfoppc2  50055  funcoppc4  50057  2oppffunc  50059  cofuoppf  50063  idfth  50071  idsubc  50073  uppropd  50094  uptrlem2  50124  uptra  50128  uptrar  50129  uobeqw  50132  uobeq  50133  uptr2a  50135  natoppfb  50144  diag1f1  50220  diag2f1  50222  fuco11b  50250  fucocolem1  50266  fucocolem2  50267  fucocolem3  50268  fucocolem4  50269  fucoco  50270  fucolid  50274  fucorid  50275  fucorid2  50276  postcofval  50277  postcofcl  50278  precofval  50280  precofval2  50282  precofcl  50283  prcoftposcurfucoa  50297  prcof1  50301  prcof2a  50302  prcof2  50303  prcof22a  50305  prcofdiag1  50306  prcofdiag  50307  fucoppclem  50320  fucoppcid  50321  fucoppcco  50322  oppfdiag1  50327  oppfdiag  50329  isinito2lem  50411  termcfuncval  50445  diag1f1olem  50446  diagffth  50451  funcsn  50454  cofuterm  50458  uobeqterm  50459  isinito4  50460  lanval  50532  ranval  50533  lanup  50554  ranup  50555  lmdpropd  50570  cmdpropd  50571  islmd  50578  iscmd  50579  lmddu  50580  termolmd  50583  lmdran  50584  cmdlan  50585