Theorem func1st2nd 49398

Description: Rewrite the functor predicate with separated parts. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
func1st2nd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func1st2nd	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Proof of Theorem func1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17791	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		func1st2nd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2ndbr 7989	. 2 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  Rel wrel 5630  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1^st c1st 7934  2^nd c2nd 7935   Func cfunc 17783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-func 17787

This theorem is referenced by:  func0g2  49412  idfu1stalem  49422  idfu2nda  49425  cofid1a  49434  cofid2a  49435  cofidvala  49438  cofidf2a  49439  cofidf1a  49440  oppfoppc2  49464  funcoppc4  49466  2oppffunc  49468  cofuoppf  49472  idfth  49480  idsubc  49482  uppropd  49503  uptrlem2  49533  uptra  49537  uptrar  49538  uobeqw  49541  uobeq  49542  uptr2a  49544  natoppfb  49553  diag1f1  49629  diag2f1  49631  fuco11b  49659  fucocolem1  49675  fucocolem2  49676  fucocolem3  49677  fucocolem4  49678  fucoco  49679  fucolid  49683  fucorid  49684  fucorid2  49685  postcofval  49686  postcofcl  49687  precofval  49689  precofval2  49691  precofcl  49692  prcoftposcurfucoa  49706  prcof1  49710  prcof2a  49711  prcof2  49712  prcof22a  49714  prcofdiag1  49715  prcofdiag  49716  fucoppclem  49729  fucoppcid  49730  fucoppcco  49731  oppfdiag1  49736  oppfdiag  49738  isinito2lem  49820  termcfuncval  49854  diag1f1olem  49855  diagffth  49860  funcsn  49863  cofuterm  49867  uobeqterm  49868  isinito4  49869  lanval  49941  ranval  49942  lanup  49963  ranup  49964  lmdpropd  49979  cmdpropd  49980  islmd  49987  iscmd  49988  lmddu  49989  termolmd  49992  lmdran  49993  cmdlan  49994