Theorem func1st2nd 49548

Description: Rewrite the functor predicate with separated parts. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
func1st2nd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func1st2nd	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Proof of Theorem func1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17818	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		func1st2nd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2ndbr 7986	. 2 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  Rel wrel 5627  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  1^st c1st 7931  2^nd c2nd 7932   Func cfunc 17810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fv 6498  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-func 17814

This theorem is referenced by:  func0g2  49562  idfu1stalem  49572  idfu2nda  49575  cofid1a  49584  cofid2a  49585  cofidvala  49588  cofidf2a  49589  cofidf1a  49590  oppfoppc2  49614  funcoppc4  49616  2oppffunc  49618  cofuoppf  49622  idfth  49630  idsubc  49632  uppropd  49653  uptrlem2  49683  uptra  49687  uptrar  49688  uobeqw  49691  uobeq  49692  uptr2a  49694  natoppfb  49703  diag1f1  49779  diag2f1  49781  fuco11b  49809  fucocolem1  49825  fucocolem2  49826  fucocolem3  49827  fucocolem4  49828  fucoco  49829  fucolid  49833  fucorid  49834  fucorid2  49835  postcofval  49836  postcofcl  49837  precofval  49839  precofval2  49841  precofcl  49842  prcoftposcurfucoa  49856  prcof1  49860  prcof2a  49861  prcof2  49862  prcof22a  49864  prcofdiag1  49865  prcofdiag  49866  fucoppclem  49879  fucoppcid  49880  fucoppcco  49881  oppfdiag1  49886  oppfdiag  49888  isinito2lem  49970  termcfuncval  50004  diag1f1olem  50005  diagffth  50010  funcsn  50013  cofuterm  50017  uobeqterm  50018  isinito4  50019  lanval  50091  ranval  50092  lanup  50113  ranup  50114  lmdpropd  50129  cmdpropd  50130  islmd  50137  iscmd  50138  lmddu  50139  termolmd  50142  lmdran  50143  cmdlan  50144