Theorem func1st2nd 50227

Description: Rewrite the functor predicate with separated parts. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
func1st2nd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func1st2nd	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Proof of Theorem func1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 18037	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		func1st2nd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2ndbr 8053	. 2 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  Rel wrel 5655  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000   Func cfunc 18029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-func 18033

This theorem is used by:  func0g2  50241  idfu1stalem  50251  idfu2nda  50254  cofid1a  50263  cofid2a  50264  cofidvala  50267  cofidf2a  50268  cofidf1a  50269  oppfoppc2  50293  funcoppc4  50295  2oppffunc  50297  cofuoppf  50301  idfth  50309  idsubc  50311  uppropd  50332  uptrlem2  50362  uptra  50366  uptrar  50367  uobeqw  50370  uobeq  50371  uptr2a  50373  natoppfb  50382  diag1f1  50458  diag2f1  50460  fuco11b  50488  fucocolem1  50504  fucocolem2  50505  fucocolem3  50506  fucocolem4  50507  fucoco  50508  fucolid  50512  fucorid  50513  fucorid2  50514  postcofval  50515  postcofcl  50516  precofval  50518  precofval2  50520  precofcl  50521  prcoftposcurfucoa  50535  prcof1  50539  prcof2a  50540  prcof2  50541  prcof22a  50543  prcofdiag1  50544  prcofdiag  50545  fucoppclem  50558  fucoppcid  50559  fucoppcco  50560  oppfdiag1  50565  oppfdiag  50567  isinito2lem  50649  termcfuncval  50683  diag1f1olem  50684  diagffth  50689  funcsn  50692  cofuterm  50696  uobeqterm  50697  isinito4  50698  lanval  50770  ranval  50771  lanup  50792  ranup  50793  lmdpropd  50808  cmdpropd  50809  islmd  50816  iscmd  50817  lmddu  50818  termolmd  50821  lmdran  50822  cmdlan  50823