Theorem func1st2nd 49087

Description: Rewrite the functor predicate with separated parts. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
func1st2nd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func1st2nd	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Proof of Theorem func1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17761	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		func1st2nd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2ndbr 7969	. 2 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
4	1, 2, 3	sylancr 587	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5089  Rel wrel 5619  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  1^st c1st 7914  2^nd c2nd 7915   Func cfunc 17753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fv 6485  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-func 17757

This theorem is referenced by:  func0g2  49101  idfu1stalem  49111  idfu2nda  49114  cofid1a  49123  cofid2a  49124  cofidvala  49127  cofidf2a  49128  cofidf1a  49129  oppfoppc2  49153  funcoppc4  49155  2oppffunc  49157  cofuoppf  49161  idfth  49169  idsubc  49171  uppropd  49192  uptrlem2  49222  uptra  49226  uptrar  49227  uobeqw  49230  uobeq  49231  uptr2a  49233  natoppfb  49242  diag1f1  49318  diag2f1  49320  fuco11b  49348  fucocolem1  49364  fucocolem2  49365  fucocolem3  49366  fucocolem4  49367  fucoco  49368  fucolid  49372  fucorid  49373  fucorid2  49374  postcofval  49375  postcofcl  49376  precofval  49378  precofval2  49380  precofcl  49381  prcoftposcurfucoa  49395  prcof1  49399  prcof2a  49400  prcof2  49401  prcof22a  49403  prcofdiag1  49404  prcofdiag  49405  fucoppclem  49418  fucoppcid  49419  fucoppcco  49420  oppfdiag1  49425  oppfdiag  49427  isinito2lem  49509  termcfuncval  49543  diag1f1olem  49544  diagffth  49549  funcsn  49552  cofuterm  49556  uobeqterm  49557  isinito4  49558  lanval  49630  ranval  49631  lanup  49652  ranup  49653  lmdpropd  49668  cmdpropd  49669  islmd  49676  iscmd  49677  lmddu  49678  termolmd  49681  lmdran  49682  cmdlan  49683