Theorem func1st2nd 49357

Description: Rewrite the functor predicate with separated parts. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
func1st2nd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func1st2nd	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Proof of Theorem func1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 17790	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		func1st2nd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2ndbr 7988	. 2 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
4	1, 2, 3	sylancr 588	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  Rel wrel 5630  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  1^st c1st 7933  2^nd c2nd 7934   Func cfunc 17782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-func 17786

This theorem is referenced by:  func0g2  49371  idfu1stalem  49381  idfu2nda  49384  cofid1a  49393  cofid2a  49394  cofidvala  49397  cofidf2a  49398  cofidf1a  49399  oppfoppc2  49423  funcoppc4  49425  2oppffunc  49427  cofuoppf  49431  idfth  49439  idsubc  49441  uppropd  49462  uptrlem2  49492  uptra  49496  uptrar  49497  uobeqw  49500  uobeq  49501  uptr2a  49503  natoppfb  49512  diag1f1  49588  diag2f1  49590  fuco11b  49618  fucocolem1  49634  fucocolem2  49635  fucocolem3  49636  fucocolem4  49637  fucoco  49638  fucolid  49642  fucorid  49643  fucorid2  49644  postcofval  49645  postcofcl  49646  precofval  49648  precofval2  49650  precofcl  49651  prcoftposcurfucoa  49665  prcof1  49669  prcof2a  49670  prcof2  49671  prcof22a  49673  prcofdiag1  49674  prcofdiag  49675  fucoppclem  49688  fucoppcid  49689  fucoppcco  49690  oppfdiag1  49695  oppfdiag  49697  isinito2lem  49779  termcfuncval  49813  diag1f1olem  49814  diagffth  49819  funcsn  49822  cofuterm  49826  uobeqterm  49827  isinito4  49828  lanval  49900  ranval  49901  lanup  49922  ranup  49923  lmdpropd  49938  cmdpropd  49939  islmd  49946  iscmd  49947  lmddu  49948  termolmd  49951  lmdran  49952  cmdlan  49953