Theorem func1st2nd 50183

Description: Rewrite the functor predicate with separated parts. (Contributed by Zhi Wang, 19-Oct-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
func1st2nd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))

Assertion

Ref	Expression
func1st2nd	⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

Proof of Theorem func1st2nd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relfunc 18037	. 2 ⊢ Rel (𝐶 Func 𝐷)
2		func1st2nd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷))
3		1st2ndbr 8053	. 2 ⊢ ((Rel (𝐶 Func 𝐷) ∧ 𝐹 ∈ (𝐶 Func 𝐷)) → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))
4	1, 2, 3	sylancr 599	1 ⊢ (𝜑 → (1st ‘𝐹)(𝐶 Func 𝐷)(2nd ‘𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  Rel wrel 5656  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1^st c1st 7999  2^nd c2nd 8000   Func cfunc 18029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-func 18033

This theorem is used by:  func0g2  50197  idfu1stalem  50207  idfu2nda  50210  cofid1a  50219  cofid2a  50220  cofidvala  50223  cofidf2a  50224  cofidf1a  50225  oppfoppc2  50249  funcoppc4  50251  2oppffunc  50253  cofuoppf  50257  idfth  50265  idsubc  50267  uppropd  50288  uptrlem2  50318  uptra  50322  uptrar  50323  uobeqw  50326  uobeq  50327  uptr2a  50329  natoppfb  50338  diag1f1  50414  diag2f1  50416  fuco11b  50444  fucocolem1  50460  fucocolem2  50461  fucocolem3  50462  fucocolem4  50463  fucoco  50464  fucolid  50468  fucorid  50469  fucorid2  50470  postcofval  50471  postcofcl  50472  precofval  50474  precofval2  50476  precofcl  50477  prcoftposcurfucoa  50491  prcof1  50495  prcof2a  50496  prcof2  50497  prcof22a  50499  prcofdiag1  50500  prcofdiag  50501  fucoppclem  50514  fucoppcid  50515  fucoppcco  50516  oppfdiag1  50521  oppfdiag  50523  isinito2lem  50605  termcfuncval  50639  diag1f1olem  50640  diagffth  50645  funcsn  50648  cofuterm  50652  uobeqterm  50653  isinito4  50654  lanval  50726  ranval  50727  lanup  50748  ranup  50749  lmdpropd  50764  cmdpropd  50765  islmd  50772  iscmd  50773  lmddu  50774  termolmd  50777  lmdran  50778  cmdlan  50779