MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ga0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ga0 19162
Description: The action of a group on the empty set. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
ga0 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ… ∈ (𝐺 GrpAct βˆ…))

Proof of Theorem ga0
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5308 . . 3 βˆ… ∈ V
21jctr 526 . 2 (𝐺 ∈ Grp β†’ (𝐺 ∈ Grp ∧ βˆ… ∈ V))
3 f0 6773 . . . 4 βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…
4 xp0 6158 . . . . 5 ((Baseβ€˜πΊ) Γ— βˆ…) = βˆ…
54feq2i 6710 . . . 4 (βˆ…:((Baseβ€˜πΊ) Γ— βˆ…)βŸΆβˆ… ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆβˆ…)
63, 5mpbir 230 . . 3 βˆ…:((Baseβ€˜πΊ) Γ— βˆ…)βŸΆβˆ…
7 ral0 4513 . . 3 βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((0gβ€˜πΊ)βˆ…π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)βˆ…π‘₯) = (π‘¦βˆ…(π‘§βˆ…π‘₯)))
86, 7pm3.2i 472 . 2 (βˆ…:((Baseβ€˜πΊ) Γ— βˆ…)βŸΆβˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((0gβ€˜πΊ)βˆ…π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)βˆ…π‘₯) = (π‘¦βˆ…(π‘§βˆ…π‘₯))))
9 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
10 eqid 2733 . . 3 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
11 eqid 2733 . . 3 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
129, 10, 11isga 19155 . 2 (βˆ… ∈ (𝐺 GrpAct βˆ…) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ βˆ… ∈ V) ∧ (βˆ…:((Baseβ€˜πΊ) Γ— βˆ…)βŸΆβˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆ… (((0gβ€˜πΊ)βˆ…π‘₯) = π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (Baseβ€˜πΊ)βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜πΊ)((𝑦(+gβ€˜πΊ)𝑧)βˆ…π‘₯) = (π‘¦βˆ…(π‘§βˆ…π‘₯))))))
132, 8, 12sylanblrc 591 1 (𝐺 ∈ Grp β†’ βˆ… ∈ (𝐺 GrpAct βˆ…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323   Γ— cxp 5675  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819   GrpAct cga 19153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-ga 19154
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator