Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  r1rankcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1rankcld 43717
Description: Any rank of the cumulative hierarchy is closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
r1rankcld.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
r1rankcld (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (𝑅1β€˜π‘…))

Proof of Theorem r1rankcld
StepHypRef Expression
1 onssr1 9864 . . . 4 (𝑅 ∈ dom 𝑅1 β†’ 𝑅 βŠ† (𝑅1β€˜π‘…))
21adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑅1β€˜π‘…))
3 r1rankcld.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
4 rankr1ai 9831 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝑅)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝑅)
65adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝑅)
72, 6sseldd 3983 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
83adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
9 noel 4334 . . . . . 6 Β¬ 𝐴 ∈ βˆ…
109a1i 11 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 β†’ Β¬ 𝐴 ∈ βˆ…)
11 ndmfv 6937 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 β†’ (𝑅1β€˜π‘…) = βˆ…)
1210, 11neleqtrrd 2852 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 β†’ Β¬ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
1312adantl 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
148, 13pm2.21dd 194 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
157, 14pm2.61dan 811 1 (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4326  dom cdm 5682  β€˜cfv 6553  π‘…1cr1 9795  rankcrnk 9796
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-r1 9797  df-rank 9798
This theorem is referenced by:  grurankcld  43719
  Copyright terms: Public domain W3C validator