Theorem r1rankcld 44760

Description: Any rank of the cumulative hierarchy is closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
r1rankcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
r1rankcld	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))

Proof of Theorem r1rankcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onssr1 9784	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ dom 𝑅1 → 𝑅 ⊆ (𝑅1‘𝑅))
2	1	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → 𝑅 ⊆ (𝑅1‘𝑅))
3		r1rankcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
4		rankr1ai 9751	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅) → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
6	5	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
7	2, 6	sseldd 3937	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))
8	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
9		noel 4290	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → ¬ 𝐴 ∈ ∅)
11		ndmfv 6893	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝑅) = ∅)
12	10, 11	neleqtrrd 2884	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
13	12	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
14	8, 13	pm2.21dd 197	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))
15	7, 14	pm2.61dan 822	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  dom cdm 5645  ‘cfv 6515  𝑅₁cr1 9715  rankcrnk 9716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-ov 7393  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-r1 9717  df-rank 9718

This theorem is referenced by:  grurankcld  44762