Theorem r1rankcld 44243

Description: Any rank of the cumulative hierarchy is closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
r1rankcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
r1rankcld	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))

Proof of Theorem r1rankcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onssr1 9716	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ dom 𝑅1 → 𝑅 ⊆ (𝑅1‘𝑅))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → 𝑅 ⊆ (𝑅1‘𝑅))
3		r1rankcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
4		rankr1ai 9683	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅) → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
7	2, 6	sseldd 3933	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))
8	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
9		noel 4286	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → ¬ 𝐴 ∈ ∅)
11		ndmfv 6849	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝑅) = ∅)
12	10, 11	neleqtrrd 2852	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
14	8, 13	pm2.21dd 195	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))
15	7, 14	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  dom cdm 5614  ‘cfv 6477  𝑅₁cr1 9647  rankcrnk 9648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-ov 7344  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-r1 9649  df-rank 9650

This theorem is referenced by:  grurankcld  44245