Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  r1rankcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem r1rankcld 42603
Description: Any rank of the cumulative hierarchy is closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)
Hypothesis
Ref Expression
r1rankcld.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
r1rankcld (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (𝑅1β€˜π‘…))

Proof of Theorem r1rankcld
StepHypRef Expression
1 onssr1 9775 . . . 4 (𝑅 ∈ dom 𝑅1 β†’ 𝑅 βŠ† (𝑅1β€˜π‘…))
21adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ 𝑅 βŠ† (𝑅1β€˜π‘…))
3 r1rankcld.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
4 rankr1ai 9742 . . . . 5 (𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝑅)
53, 4syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝑅)
65adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ 𝑅)
72, 6sseldd 3949 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
83adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
9 noel 4294 . . . . . 6 Β¬ 𝐴 ∈ βˆ…
109a1i 11 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 β†’ Β¬ 𝐴 ∈ βˆ…)
11 ndmfv 6881 . . . . 5 (Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 β†’ (𝑅1β€˜π‘…) = βˆ…)
1210, 11neleqtrrd 2857 . . . 4 (Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 β†’ Β¬ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
1312adantl 483 . . 3 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
148, 13pm2.21dd 194 . 2 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
157, 14pm2.61dan 812 1 (πœ‘ β†’ (rankβ€˜π΄) ∈ (𝑅1β€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  dom cdm 5637  β€˜cfv 6500  π‘…1cr1 9706  rankcrnk 9707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7364  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-r1 9708  df-rank 9709
This theorem is referenced by:  grurankcld  42605
  Copyright terms: Public domain W3C validator