Theorem r1rankcld 44220

Description: Any rank of the cumulative hierarchy is closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
r1rankcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
r1rankcld	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))

Proof of Theorem r1rankcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onssr1 9784	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ dom 𝑅1 → 𝑅 ⊆ (𝑅1‘𝑅))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → 𝑅 ⊆ (𝑅1‘𝑅))
3		r1rankcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
4		rankr1ai 9751	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅) → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
7	2, 6	sseldd 3947	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))
8	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
9		noel 4301	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → ¬ 𝐴 ∈ ∅)
11		ndmfv 6893	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝑅) = ∅)
12	10, 11	neleqtrrd 2851	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
13	12	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
14	8, 13	pm2.21dd 195	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))
15	7, 14	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  𝑅₁cr1 9715  rankcrnk 9716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-r1 9717  df-rank 9718

This theorem is referenced by:  grurankcld  44222