Theorem r1rankcld 44676

Description: Any rank of the cumulative hierarchy is closed under the rank function. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypothesis

Ref	Expression
r1rankcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
r1rankcld	⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))

Proof of Theorem r1rankcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onssr1 9753	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ dom 𝑅1 → 𝑅 ⊆ (𝑅1‘𝑅))
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → 𝑅 ⊆ (𝑅1‘𝑅))
3		r1rankcld.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
4		rankr1ai 9720	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅) → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ 𝑅)
7	2, 6	sseldd 3923	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))
8	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
9		noel 4273	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ ∅
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → ¬ 𝐴 ∈ ∅)
11		ndmfv 6866	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝑅) = ∅)
12	10, 11	neleqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1 → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
13	12	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → ¬ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑅))
14	8, 13	pm2.21dd 196	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑅 ∈ dom 𝑅1) → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))
15	7, 14	pm2.61dan 818	1 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐴) ∈ (𝑅1‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ∅c0 4268  dom cdm 5625  ‘cfv 6492  𝑅₁cr1 9684  rankcrnk 9685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7366  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-r1 9686  df-rank 9687

This theorem is referenced by:  grurankcld  44678