Theorem gruscottcld 44679

Description: If a Grothendieck universe contains an element of a Scott's trick set, it contains the Scott's trick set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gruscottcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
gruscottcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐺)
gruscottcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gruscottcld	⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem gruscottcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruscottcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		gruscottcld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
3	2	scottrankd 44678	. . 3 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))
4		gruscottcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐺)
5	1, 4	grurankcld 44663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐵) ∈ 𝐺)
6	1, 5	grusucd 44660	. . 3 ⊢ (𝜑 → suc (rank‘𝐵) ∈ 𝐺)
7	3, 6	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) ∈ 𝐺)
8		scottex2 44675	. . 3 ⊢ Scott 𝐴 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ V)
10	1, 7, 9	grurankrcld 44664	1 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  suc csuc 6317  ‘cfv 6490  rankcrnk 9676  Univcgru 10702  Scott cscott 44665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-reg 9498  ax-inf2 9551  ax-ac2 10374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-tc 9645  df-r1 9677  df-rank 9678  df-card 9852  df-cf 9854  df-acn 9855  df-ac 10027  df-wina 10596  df-ina 10597  df-gru 10703  df-scott 44666

This theorem is referenced by:  grucollcld  44690