Theorem gruscottcld 44568

Description: If a Grothendieck universe contains an element of a Scott's trick set, it contains the Scott's trick set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gruscottcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
gruscottcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐺)
gruscottcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gruscottcld	⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem gruscottcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruscottcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		gruscottcld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
3	2	scottrankd 44567	. . 3 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))
4		gruscottcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐺)
5	1, 4	grurankcld 44552	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐵) ∈ 𝐺)
6	1, 5	grusucd 44549	. . 3 ⊢ (𝜑 → suc (rank‘𝐵) ∈ 𝐺)
7	3, 6	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) ∈ 𝐺)
8		scottex2 44564	. . 3 ⊢ Scott 𝐴 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ V)
10	1, 7, 9	grurankrcld 44553	1 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  suc csuc 6320  ‘cfv 6493  rankcrnk 9680  Univcgru 10706  Scott cscott 44554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-reg 9502  ax-inf2 9555  ax-ac2 10378

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-tc 9649  df-r1 9681  df-rank 9682  df-card 9856  df-cf 9858  df-acn 9859  df-ac 10031  df-wina 10600  df-ina 10601  df-gru 10707  df-scott 44555

This theorem is referenced by:  grucollcld  44579