Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  gruscottcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruscottcld 40877
 Description: If a Grothendieck universe contains an element of a Scott's trick set, it contains the Scott's trick set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
gruscottcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
gruscottcld.2 (𝜑𝐵𝐺)
gruscottcld.3 (𝜑𝐵 ∈ Scott 𝐴)
Assertion
Ref Expression
gruscottcld (𝜑 → Scott 𝐴𝐺)

Proof of Theorem gruscottcld
StepHypRef Expression
1 gruscottcld.1 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
2 gruscottcld.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Scott 𝐴)
32scottrankd 40876 . . 3 (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))
4 gruscottcld.2 . . . . 5 (𝜑𝐵𝐺)
51, 4grurankcld 40861 . . . 4 (𝜑 → (rank‘𝐵) ∈ 𝐺)
61, 5grusucd 40858 . . 3 (𝜑 → suc (rank‘𝐵) ∈ 𝐺)
73, 6eqeltrd 2916 . 2 (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) ∈ 𝐺)
8 scottex2 40873 . . 3 Scott 𝐴 ∈ V
98a1i 11 . 2 (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ V)
101, 7, 9grurankrcld 40862 1 (𝜑 → Scott 𝐴𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  suc csuc 6180  ‘cfv 6343  rankcrnk 9189  Univcgru 10210  Scott cscott 40863 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-reg 9053  ax-inf2 9101  ax-ac2 9883 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-tc 9176  df-r1 9190  df-rank 9191  df-card 9365  df-cf 9367  df-acn 9368  df-ac 9540  df-wina 10104  df-ina 10105  df-gru 10211  df-scott 40864 This theorem is referenced by:  grucollcld  40888
 Copyright terms: Public domain W3C validator