Theorem gruscottcld 44268

Description: If a Grothendieck universe contains an element of a Scott's trick set, it contains the Scott's trick set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gruscottcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
gruscottcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐺)
gruscottcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gruscottcld	⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem gruscottcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruscottcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		gruscottcld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
3	2	scottrankd 44267	. . 3 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))
4		gruscottcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐺)
5	1, 4	grurankcld 44252	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐵) ∈ 𝐺)
6	1, 5	grusucd 44249	. . 3 ⊢ (𝜑 → suc (rank‘𝐵) ∈ 𝐺)
7	3, 6	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) ∈ 𝐺)
8		scottex2 44264	. . 3 ⊢ Scott 𝐴 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ V)
10	1, 7, 9	grurankrcld 44253	1 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480  suc csuc 6386  ‘cfv 6561  rankcrnk 9803  Univcgru 10830  Scott cscott 44254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-reg 9632  ax-inf2 9681  ax-ac2 10503

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-tc 9777  df-r1 9804  df-rank 9805  df-card 9979  df-cf 9981  df-acn 9982  df-ac 10156  df-wina 10724  df-ina 10725  df-gru 10831  df-scott 44255

This theorem is referenced by:  grucollcld  44279