Theorem gruscottcld 45327

Description: If a Grothendieck universe contains an element of a Scott's trick set, it contains the Scott's trick set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gruscottcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
gruscottcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐺)
gruscottcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
gruscottcld	⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ 𝐺)

Proof of Theorem gruscottcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruscottcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		gruscottcld.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ Scott 𝐴)
3	2	scottrankd 9953	. . 3 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) = suc (rank‘𝐵))
4		gruscottcld.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐺)
5	1, 4	grurankcld 45325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (rank‘𝐵) ∈ 𝐺)
6	1, 5	grusucd 45322	. . 3 ⊢ (𝜑 → suc (rank‘𝐵) ∈ 𝐺)
7	3, 6	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ (𝜑 → (rank‘Scott 𝐴) ∈ 𝐺)
8		scottex 9937	. . 3 ⊢ Scott 𝐴 ∈ V
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ V)
10	1, 7, 9	grurankrcld 45326	1 ⊢ (𝜑 → Scott 𝐴 ∈ 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  suc csuc 6364  ‘cfv 6539  rankcrnk 9771  Scott cscott 9932  Univcgru 10879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-reg 9590  ax-inf2 9646  ax-ac2 10545

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-tc 9740  df-r1 9772  df-rank 9773  df-scott 9933  df-card 10024  df-cf 10026  df-acn 10027  df-ac 10199  df-wina 10773  df-ina 10774  df-gru 10880

This theorem is used by:  grucollcld  45338