Theorem hlcomb 28851

Description: The half-line relation is symmetric. Theorem 6.6 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ishlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hlcomb	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴))

Proof of Theorem hlcomb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3ancoma 1113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
2		orcom 883	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
4	3	3anbi3d 1468	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))))
5	1, 4	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))))
6		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
7		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
9		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
10		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
11		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
12		ishlg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
13	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	ishlg 28850	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
14	6, 7, 8, 10, 9, 11, 12	ishlg 28850	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴 ↔ (𝐵 ≠ 𝐶 ∧ 𝐴 ≠ 𝐶 ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))))
15	5, 13, 14	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  Itvcitv 28678  hlGchlg 28845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-hlg 28846

This theorem is referenced by:  hlcomd  28852