MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcomb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcomb 26383
Description: The half-line relation commutes. Theorem 6.6 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
ishlg.g (𝜑𝐺𝑉)
Assertion
Ref Expression
hlcomb (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐵(𝐾𝐶)𝐴))

Proof of Theorem hlcomb
StepHypRef Expression
1 3ancoma 1094 . . 3 ((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐵𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
2 orcom 866 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)) ↔ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵))))
433anbi3d 1438 . . 3 (𝜑 → ((𝐵𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐵𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))))
51, 4syl5bb 285 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ (𝐵𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))))
6 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
7 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
8 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
9 ishlg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
10 ishlg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
11 ishlg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
12 ishlg.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
136, 7, 8, 9, 10, 11, 12ishlg 26382 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵 ↔ (𝐴𝐶𝐵𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
146, 7, 8, 10, 9, 11, 12ishlg 26382 . 2 (𝜑 → (𝐵(𝐾𝐶)𝐴 ↔ (𝐵𝐶𝐴𝐶 ∧ (𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴) ∨ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))))
155, 13, 143bitr4d 313 1 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐵(𝐾𝐶)𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wo 843  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  Itvcitv 26216  hlGchlg 26380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-ov 7153  df-hlg 26381
This theorem is referenced by:  hlcomd  26384
  Copyright terms: Public domain W3C validator