Theorem hlcomd 27886

Description: The half-line relation commutes. Theorem 6.6 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ishlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
hlcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hlcomd	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcomd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
2		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		ishlg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlcomb 27885	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴))
10	1, 9	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  Basecbs 17144  Itvcitv 27715  hlGchlg 27882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-hlg 27883

This theorem is referenced by:  hlcgreulem  27899  opphllem4  28032  opphllem5  28033  opphl  28036  hlpasch  28038  lnopp2hpgb  28045  colhp  28052  cgrahl1  28098  cgrahl2  28099  cgrahl  28109  cgracol  28110  dfcgra2  28112  sacgr  28113  acopy  28115  acopyeu  28116  inaghl  28127  tgasa1  28140