Theorem hlcomd 28913

Description: The half-line relation is symmetric. Theorem 6.6 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ishlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
hlcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hlcomd	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcomd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
2		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		ishlg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlcomb 28912	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴))
10	1, 9	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  Itvcitv 28739  hlGchlg 28906

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7426  df-hlg 28907

This theorem is used by:  hlcgreulem  28926  opphllem4  29068  opphllem5  29069  opphl  29072  hlpasch  29075  lnopp2hpgb  29082  colhp  29089  cgrahl1  29164  cgrahl2  29165  cgrahl  29175  cgracol  29176  dfcgra2  29178  sacgr  29179  acopy  29181  acopyeu  29182  cgrarag  29184  ragsupplcgra  29185  inaghl  29199  tgasa1  29212  tgaltai  29254