Theorem hlcomd 29052

Description: The half-line relation is symmetric. Theorem 6.6 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ishlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
hlcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hlcomd	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcomd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
2		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		ishlg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlcomb 29051	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴))
10	1, 9	mpbid 235	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  Itvcitv 28877  hlGchlg 29045

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-hlg 29046

This theorem is used by:  hlcgreulem  29065  opphllem4  29208  opphllem5  29209  opphl  29212  hlpasch  29216  lnopp2hpgb  29223  colhp  29230  cgrahl1  29305  cgrahl2  29306  zerocgra  29313  cgrahl  29317  cgracol  29318  dfcgra2  29320  sacgr  29321  acopy  29323  acopyeu  29324  cgrarag  29326  ragsupplcgra  29327  tgaaddcpbllem1  29331  tgaaddcpbl  29334  tgaaddcpbl2  29335  inaghl  29346  angmgmaddeu1  29361  angmgmaddeu2  29362  angmgmaddeu4  29364  angmgmaddeu6  29366  angmgmaddlid  29374  angmgmaddrid  29375  tgasa1  29385  tgaltai  29427