Theorem hlcomd 26869

Description: The half-line relation commutes. Theorem 6.6 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ishlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
hlcomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)

Assertion

Ref	Expression
hlcomd	⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlcomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlcomd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵)
2		ishlg.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
3		ishlg.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4		ishlg.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5		ishlg.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
6		ishlg.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
7		ishlg.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
8		ishlg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	hlcomb 26868	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴))
10	1, 9	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵(𝐾‘𝐶)𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  Basecbs 16840  Itvcitv 26699  hlGchlg 26865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-hlg 26866

This theorem is referenced by:  hlcgreulem  26882  opphllem4  27015  opphllem5  27016  opphl  27019  hlpasch  27021  lnopp2hpgb  27028  colhp  27035  cgrahl1  27081  cgrahl2  27082  cgrahl  27092  cgracol  27093  dfcgra2  27095  sacgr  27096  acopy  27098  acopyeu  27099  inaghl  27110  tgasa1  27123