MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hlcomd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hlcomd 26396
Description: The half-line relation commutes. Theorem 6.6 of [Schwabhauser] p. 44. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ishlg.p 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a (𝜑𝐴𝑃)
ishlg.b (𝜑𝐵𝑃)
ishlg.c (𝜑𝐶𝑃)
ishlg.g (𝜑𝐺𝑉)
hlcomd.1 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
Assertion
Ref Expression
hlcomd (𝜑𝐵(𝐾𝐶)𝐴)

Proof of Theorem hlcomd
StepHypRef Expression
1 hlcomd.1 . 2 (𝜑𝐴(𝐾𝐶)𝐵)
2 ishlg.p . . 3 𝑃 = (Base‘𝐺)
3 ishlg.i . . 3 𝐼 = (Itv‘𝐺)
4 ishlg.k . . 3 𝐾 = (hlG‘𝐺)
5 ishlg.a . . 3 (𝜑𝐴𝑃)
6 ishlg.b . . 3 (𝜑𝐵𝑃)
7 ishlg.c . . 3 (𝜑𝐶𝑃)
8 ishlg.g . . 3 (𝜑𝐺𝑉)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8hlcomb 26395 . 2 (𝜑 → (𝐴(𝐾𝐶)𝐵𝐵(𝐾𝐶)𝐴))
101, 9mpbid 235 1 (𝜑𝐵(𝐾𝐶)𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  Basecbs 16474  Itvcitv 26228  hlGchlg 26392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-hlg 26393
This theorem is referenced by:  hlcgreulem  26409  opphllem4  26542  opphllem5  26543  opphl  26546  hlpasch  26548  lnopp2hpgb  26555  colhp  26562  cgrahl1  26608  cgrahl2  26609  cgrahl  26619  cgracol  26620  dfcgra2  26622  sacgr  26623  acopy  26625  acopyeu  26626  inaghl  26637  tgasa1  26650
  Copyright terms: Public domain W3C validator