Theorem ishlg 26387

Description: Rays : Definition 6.1 of [Schwabhauser] p. 43. With this definition, 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 means that 𝐴 and 𝐵 are on the same ray with initial point 𝐶. This follows the same notation as Schwabhauser where rays are first defined as a relation. It is possible to recover the ray itself using e.g. ((𝐾‘𝐶) “ {𝐴}) (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ishlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ishlg	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))

Proof of Theorem ishlg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → 𝑎 = 𝐴)
2	1	neeq1d 3075	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎 ≠ 𝐶 ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
3		simpr 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → 𝑏 = 𝐵)
4	3	neeq1d 3075	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏 ≠ 𝐶 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
5	3	oveq2d 7171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝐶𝐼𝑏) = (𝐶𝐼𝐵))
6	1, 5	eleq12d 2907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
7	1	oveq2d 7171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝐶𝐼𝑎) = (𝐶𝐼𝐴))
8	3, 7	eleq12d 2907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎) ↔ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
9	6, 8	orbi12d 915	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
10	2, 4, 9	3anbi123d 1432	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
11		eqid 2821	. . . 4 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}
12	10, 11	brab2a 5643	. . 3 ⊢ (𝐴{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))))
14		ishlg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
15		ishlg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
16		elex 3512	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
17		fveq2 6669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
18		ishlg.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
19	17, 18	syl6eqr 2874	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
20	19	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ↔ 𝑎 ∈ 𝑃))
21	19	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↔ 𝑏 ∈ 𝑃))
22	20, 21	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ↔ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)))
23		fveq2 6669	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Itv‘𝑔) = (Itv‘𝐺))
24		ishlg.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
25	23, 24	syl6eqr 2874	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Itv‘𝑔) = 𝐼)
26	25	oveqd 7172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) = (𝑐𝐼𝑏))
27	26	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ↔ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏)))
28	25	oveqd 7172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎) = (𝑐𝐼𝑎))
29	28	eleq2d 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎) ↔ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)))
30	27, 29	orbi12d 915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))
31	30	3anbi3d 1438	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))) ↔ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)))))
32	22, 31	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎)))) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))))
33	32	opabbidv 5131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))})
34	19, 33	mpteq12dv 5150	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑐 ∈ (Base‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))))}) = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
35		df-hlg 26386	. . . . . . 7 ⊢ hlG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑐 ∈ (Base‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))))}))
36	34, 35, 18	mptfvmpt 6989	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (hlG‘𝐺) = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
37	15, 16, 36	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (hlG‘𝐺) = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
38	14, 37	syl5eq 2868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
39		neeq2 3079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ 𝑎 ≠ 𝐶))
40		neeq2 3079	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ 𝑏 ≠ 𝐶))
41		oveq1 7162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐼𝑏) = (𝐶𝐼𝑏))
42	41	eleq2d 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ↔ 𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏)))
43		oveq1 7162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐼𝑎) = (𝐶𝐼𝑎))
44	43	eleq2d 2898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎) ↔ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎)))
45	42, 44	orbi12d 915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))
46	39, 40, 45	3anbi123d 1432	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))) ↔ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎)))))
47	46	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)))) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))))
48	47	opabbidv 5131	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))})
49	48	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))})
50		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
51	18	fvexi 6683	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
52	51, 51	xpex 7475	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 × 𝑃) ∈ V
53		opabssxp 5642	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} ⊆ (𝑃 × 𝑃)
54	52, 53	ssexi 5225	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} ∈ V
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} ∈ V)
56	38, 49, 50, 55	fvmptd 6774	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐶) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))})
57	56	breqd 5076	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}𝐵))
58		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
59		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
60	58, 59	jca 514	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃))
61	60	biantrurd 535	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))))
62	13, 57, 61	3bitr4d 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494   class class class wbr 5065  {copab 5127   ↦ cmpt 5145   × cxp 5552  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  Itvcitv 26221  hlGchlg 26385

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-hlg 26386

This theorem is referenced by:  hlcomb  26388  hlne1  26390  hlne2  26391  hlln  26392  hlid  26394  hltr  26395  hlbtwn  26396  btwnhl1  26397  btwnhl2  26398  btwnhl  26399  lnhl  26400  hlcgrex  26401  mirhl  26464  mirbtwnhl  26465  mirhl2  26466  opphllem4  26535  opphl  26539  hlpasch  26541  lnopp2hpgb  26548  cgracgr  26603  cgraswap  26605  flatcgra  26609  cgrahl  26612  cgracol  26613