Theorem ishlg 26693

Description: Rays : Definition 6.1 of [Schwabhauser] p. 43. With this definition, 𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 means that 𝐴 and 𝐵 are on the same ray with initial point 𝐶. This follows the same notation as Schwabhauser where rays are first defined as a relation. It is possible to recover the ray itself using e.g., ((𝐾‘𝐶) “ {𝐴}). (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ishlg.p	⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
ishlg.i	⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
ishlg.k	⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
ishlg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
ishlg.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
ishlg.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
ishlg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ishlg	⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))

Proof of Theorem ishlg

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → 𝑎 = 𝐴)
2	1	neeq1d 3000	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎 ≠ 𝐶 ↔ 𝐴 ≠ 𝐶))
3		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → 𝑏 = 𝐵)
4	3	neeq1d 3000	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏 ≠ 𝐶 ↔ 𝐵 ≠ 𝐶))
5	3	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝐶𝐼𝑏) = (𝐶𝐼𝐵))
6	1, 5	eleq12d 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ↔ 𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵)))
7	1	oveq2d 7229	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝐶𝐼𝑎) = (𝐶𝐼𝐴))
8	3, 7	eleq12d 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → (𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎) ↔ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))
9	6, 8	orbi12d 919	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎)) ↔ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))
10	2, 4, 9	3anbi123d 1438	. . . 4 ⊢ ((𝑎 = 𝐴 ∧ 𝑏 = 𝐵) → ((𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))) ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
11		eqid 2737	. . . 4 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}
12	10, 11	brab2a 5641	. . 3 ⊢ (𝐴{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}𝐵 ↔ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))))
14		ishlg.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (hlG‘𝐺)
15		ishlg.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝑉)
16		elex 3426	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝐺 ∈ V)
17		fveq2 6717	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = (Base‘𝐺))
18		ishlg.p	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑃 = (Base‘𝐺)
19	17, 18	eqtr4di 2796	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Base‘𝑔) = 𝑃)
20	19	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ↔ 𝑎 ∈ 𝑃))
21	19	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 ∈ (Base‘𝑔) ↔ 𝑏 ∈ 𝑃))
22	20, 21	anbi12d 634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ↔ (𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃)))
23		fveq2 6717	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Itv‘𝑔) = (Itv‘𝐺))
24		ishlg.i	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐼 = (Itv‘𝐺)
25	23, 24	eqtr4di 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (Itv‘𝑔) = 𝐼)
26	25	oveqd 7230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) = (𝑐𝐼𝑏))
27	26	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ↔ 𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏)))
28	25	oveqd 7230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎) = (𝑐𝐼𝑎))
29	28	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎) ↔ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)))
30	27, 29	orbi12d 919	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))
31	30	3anbi3d 1444	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))) ↔ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)))))
32	22, 31	anbi12d 634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎)))) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))))
33	32	opabbidv 5119	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))})
34	19, 33	mpteq12dv 5140	. . . . . . 7 ⊢ (𝑔 = 𝐺 → (𝑐 ∈ (Base‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))))}) = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
35		df-hlg 26692	. . . . . . 7 ⊢ hlG = (𝑔 ∈ V ↦ (𝑐 ∈ (Base‘𝑔) ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ (Base‘𝑔) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑔)) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐(Itv‘𝑔)𝑎))))}))
36	34, 35, 18	mptfvmpt 7044	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ V → (hlG‘𝐺) = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
37	15, 16, 36	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (hlG‘𝐺) = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
38	14, 37	syl5eq 2790	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (𝑐 ∈ 𝑃 ↦ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))}))
39		neeq2 3004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑎 ≠ 𝑐 ↔ 𝑎 ≠ 𝐶))
40		neeq2 3004	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑏 ≠ 𝑐 ↔ 𝑏 ≠ 𝐶))
41		oveq1 7220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐼𝑏) = (𝐶𝐼𝑏))
42	41	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ↔ 𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏)))
43		oveq1 7220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑐𝐼𝑎) = (𝐶𝐼𝑎))
44	43	eleq2d 2823	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎) ↔ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎)))
45	42, 44	orbi12d 919	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)) ↔ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))
46	39, 40, 45	3anbi123d 1438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → ((𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))) ↔ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎)))))
47	46	anbi2d 632	. . . . . 6 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → (((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎)))) ↔ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))))
48	47	opabbidv 5119	. . . . 5 ⊢ (𝑐 = 𝐶 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))})
49	48	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑐 = 𝐶) → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝑐 ∧ 𝑏 ≠ 𝑐 ∧ (𝑎 ∈ (𝑐𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝑐𝐼𝑎))))} = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))})
50		ishlg.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑃)
51	18	fvexi 6731	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 ∈ V
52	51, 51	xpex 7538	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 × 𝑃) ∈ V
53		opabssxp 5640	. . . . . 6 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} ⊆ (𝑃 × 𝑃)
54	52, 53	ssexi 5215	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} ∈ V
55	54	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))} ∈ V)
56	38, 49, 50, 55	fvmptd 6825	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾‘𝐶) = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))})
57	56	breqd 5064	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ 𝐴{⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ ((𝑎 ∈ 𝑃 ∧ 𝑏 ∈ 𝑃) ∧ (𝑎 ≠ 𝐶 ∧ 𝑏 ≠ 𝐶 ∧ (𝑎 ∈ (𝐶𝐼𝑏) ∨ 𝑏 ∈ (𝐶𝐼𝑎))))}𝐵))
58		ishlg.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑃)
59		ishlg.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑃)
60	58, 59	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃))
61	60	biantrurd 536	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))) ↔ ((𝐴 ∈ 𝑃 ∧ 𝐵 ∈ 𝑃) ∧ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴))))))
62	13, 57, 61	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐾‘𝐶)𝐵 ↔ (𝐴 ≠ 𝐶 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶 ∧ (𝐴 ∈ (𝐶𝐼𝐵) ∨ 𝐵 ∈ (𝐶𝐼𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  Vcvv 3408   class class class wbr 5053  {copab 5115   ↦ cmpt 5135   × cxp 5549  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  Basecbs 16760  Itvcitv 26527  hlGchlg 26691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-ov 7216  df-hlg 26692

This theorem is referenced by:  hlcomb  26694  hlne1  26696  hlne2  26697  hlln  26698  hlid  26700  hltr  26701  hlbtwn  26702  btwnhl1  26703  btwnhl2  26704  btwnhl  26705  lnhl  26706  hlcgrex  26707  mirhl  26770  mirbtwnhl  26771  mirhl2  26772  opphllem4  26841  opphl  26845  hlpasch  26847  lnopp2hpgb  26854  cgracgr  26909  cgraswap  26911  flatcgra  26915  cgrahl  26918  cgracol  26919