Theorem hmeocnvcn 23742

Description: The converse of a homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnvcn	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Proof of Theorem hmeocnvcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishmeo 23740	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
2	1	simprbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  ^◡ccnv 5627  (class class class)co 7364   Cn ccn 23205  Homeochmeo 23734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5523  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-fv 6504  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-map 8772  df-top 22875  df-topon 22892  df-cn 23208  df-hmeo 23736

This theorem is referenced by:  hmeocnv  23743  hmeof1o2  23744  hmeoima  23746  hmeocld  23748  hmeocls  23749  hmeontr  23750  hmeores  23752  hmeoco  23753  txhmeo  23784  tgpconncompeqg  24093  mndpluscn  34092  cvmliftlem8  35496  hmeoclda  36537