Theorem hmeocnvcn 21935

Description: The converse of a homeomorphism is continuous. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hmeocnvcn	⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Proof of Theorem hmeocnvcn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishmeo 21933	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) ↔ (𝐹 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ∧ ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽)))
2	1	simprbi 492	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐽Homeo𝐾) → ◡𝐹 ∈ (𝐾 Cn 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2166  ^◡ccnv 5341  (class class class)co 6905   Cn ccn 21399  Homeochmeo 21927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-map 8124  df-top 21069  df-topon 21086  df-cn 21402  df-hmeo 21929

This theorem is referenced by:  hmeocnv  21936  hmeof1o2  21937  hmeoima  21939  hmeocld  21941  hmeocls  21942  hmeontr  21943  hmeores  21945  hmeoco  21946  txhmeo  21977  tgpconncompeqg  22285  mndpluscn  30517  cvmliftlem8  31820  hmeoclda  32866