Theorem hst1a 32820

Description: Unit value of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hst1a	⊢ (𝑆 ∈ CHStates → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)

Proof of Theorem hst1a

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishst 32816	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates ↔ (𝑆: Cℋ ⟶ ℋ ∧ (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((𝑆‘𝑥) ·ih (𝑆‘𝑦)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑥 ∨ℋ 𝑦)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑆‘𝑦))))))
2	1	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  0cc0 11200  1c1 11201   ℋchba 31521   +_ℎ cva 31522   ·_ih csp 31524  norm_ℎcno 31525   C_ℋ cch 31531  ⊥cort 31532   ∨_ℋ chj 31535  CHStateschst 31565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-hilex 31601

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8849  df-sh 31809  df-ch 31823  df-hst 32814

This theorem is used by:  hstnmoc  32825  hst1h  32829