HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ishst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishst 31198
Description: Property of a complex Hilbert-space-valued state. Definition of CH-states in [Mayet3] p. 9. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ishst (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘†

Proof of Theorem ishst
Dummy variable ๐‘“ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 29983 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
2 chex 30210 . . . 4 Cโ„‹ โˆˆ V
31, 2elmap 8816 . . 3 (๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โ†” ๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹)
43anbi1i 625 . 2 ((๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))) โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
5 fveq1 6846 . . . . 5 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜ โ„‹) = (๐‘†โ€˜ โ„‹))
65fveqeq2d 6855 . . . 4 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1))
7 fveq1 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
8 fveq1 6846 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
97, 8oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
109eqeq1d 2739 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โ†” ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0))
11 fveq1 6846 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)))
127, 8oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
1311, 12eqeq12d 2753 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
1410, 13anbi12d 632 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
1514imbi2d 341 . . . . 5 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
16152ralbidv 3213 . . . 4 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
176, 16anbi12d 632 . . 3 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
18 df-hst 31196 . . 3 CHStates = {๐‘“ โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆฃ ((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))))}
1917, 18elrab2 3653 . 2 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
20 3anass 1096 . 2 ((๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))) โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
214, 19, 203bitr4i 303 1 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   โŠ† wss 3915  โŸถwf 6497  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   โ†‘m cmap 8772  0cc0 11058  1c1 11059   โ„‹chba 29903   +โ„Ž cva 29904   ยทih csp 29906  normโ„Žcno 29907   Cโ„‹ cch 29913  โŠฅcort 29914   โˆจโ„‹ chj 29917  CHStateschst 29947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-hilex 29983
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-sh 30191  df-ch 30205  df-hst 31196
This theorem is referenced by:  hstcl  31201  hst1a  31202  hstel2  31203  hstrlem3a  31244
  Copyright terms: Public domain W3C validator