HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ishst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishst 31961
Description: Property of a complex Hilbert-space-valued state. Definition of CH-states in [Mayet3] p. 9. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ishst (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘†

Proof of Theorem ishst
Dummy variable ๐‘“ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30746 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
2 chex 30973 . . . 4 Cโ„‹ โˆˆ V
31, 2elmap 8862 . . 3 (๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โ†” ๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹)
43anbi1i 623 . 2 ((๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))) โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
5 fveq1 6881 . . . . 5 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜ โ„‹) = (๐‘†โ€˜ โ„‹))
65fveqeq2d 6890 . . . 4 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1))
7 fveq1 6881 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
8 fveq1 6881 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
97, 8oveq12d 7420 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
109eqeq1d 2726 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โ†” ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0))
11 fveq1 6881 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)))
127, 8oveq12d 7420 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
1311, 12eqeq12d 2740 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
1410, 13anbi12d 630 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
1514imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
16152ralbidv 3210 . . . 4 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
176, 16anbi12d 630 . . 3 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
18 df-hst 31959 . . 3 CHStates = {๐‘“ โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆฃ ((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))))}
1917, 18elrab2 3679 . 2 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
20 3anass 1092 . 2 ((๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))) โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
214, 19, 203bitr4i 303 1 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3053   โІ wss 3941  โŸถwf 6530  โ€˜cfv 6534  (class class class)co 7402   โ†‘m cmap 8817  0cc0 11107  1c1 11108   โ„‹chba 30666   +โ„Ž cva 30667   ยทih csp 30669  normโ„Žcno 30670   Cโ„‹ cch 30676  โŠฅcort 30677   โˆจโ„‹ chj 30680  CHStateschst 30710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-hilex 30746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-fv 6542  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-map 8819  df-sh 30954  df-ch 30968  df-hst 31959
This theorem is referenced by:  hstcl  31964  hst1a  31965  hstel2  31966  hstrlem3a  32007
  Copyright terms: Public domain W3C validator