HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ishst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishst 31454
Description: Property of a complex Hilbert-space-valued state. Definition of CH-states in [Mayet3] p. 9. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ishst (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘†

Proof of Theorem ishst
Dummy variable ๐‘“ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30239 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
2 chex 30466 . . . 4 Cโ„‹ โˆˆ V
31, 2elmap 8861 . . 3 (๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โ†” ๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹)
43anbi1i 624 . 2 ((๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))) โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
5 fveq1 6887 . . . . 5 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜ โ„‹) = (๐‘†โ€˜ โ„‹))
65fveqeq2d 6896 . . . 4 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1))
7 fveq1 6887 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
8 fveq1 6887 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
97, 8oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
109eqeq1d 2734 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โ†” ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0))
11 fveq1 6887 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)))
127, 8oveq12d 7423 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
1311, 12eqeq12d 2748 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
1410, 13anbi12d 631 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
1514imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
16152ralbidv 3218 . . . 4 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
176, 16anbi12d 631 . . 3 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
18 df-hst 31452 . . 3 CHStates = {๐‘“ โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆฃ ((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))))}
1917, 18elrab2 3685 . 2 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
20 3anass 1095 . 2 ((๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))) โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
214, 19, 203bitr4i 302 1 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โŠ† (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061   โŠ† wss 3947  โŸถwf 6536  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   โ†‘m cmap 8816  0cc0 11106  1c1 11107   โ„‹chba 30159   +โ„Ž cva 30160   ยทih csp 30162  normโ„Žcno 30163   Cโ„‹ cch 30169  โŠฅcort 30170   โˆจโ„‹ chj 30173  CHStateschst 30203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-hilex 30239
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-sh 30447  df-ch 30461  df-hst 31452
This theorem is referenced by:  hstcl  31457  hst1a  31458  hstel2  31459  hstrlem3a  31500
  Copyright terms: Public domain W3C validator