HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  ishst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ishst 32023
Description: Property of a complex Hilbert-space-valued state. Definition of CH-states in [Mayet3] p. 9. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ishst (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘†

Proof of Theorem ishst
Dummy variable ๐‘“ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hilex 30808 . . . 4 โ„‹ โˆˆ V
2 chex 31035 . . . 4 Cโ„‹ โˆˆ V
31, 2elmap 8889 . . 3 (๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โ†” ๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹)
43anbi1i 623 . 2 ((๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))) โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
5 fveq1 6896 . . . . 5 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜ โ„‹) = (๐‘†โ€˜ โ„‹))
65fveqeq2d 6905 . . . 4 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โ†” (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1))
7 fveq1 6896 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฅ))
8 fveq1 6896 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))
97, 8oveq12d 7438 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
109eqeq1d 2730 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โ†” ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0))
11 fveq1 6896 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)))
127, 8oveq12d 7438 . . . . . . . 8 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))
1311, 12eqeq12d 2744 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) โ†” (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))
1410, 13anbi12d 631 . . . . . 6 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))) โ†” (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))
1514imbi2d 340 . . . . 5 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ ((๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
16152ralbidv 3215 . . . 4 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
176, 16anbi12d 631 . . 3 (๐‘“ = ๐‘† โ†’ (((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ))))) โ†” ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
18 df-hst 32021 . . 3 CHStates = {๐‘“ โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆฃ ((normโ„Žโ€˜(๐‘“โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘“โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘“โ€˜๐‘ฆ)))))}
1917, 18elrab2 3685 . 2 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘† โˆˆ ( โ„‹ โ†‘m Cโ„‹ ) โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
20 3anass 1093 . 2 ((๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))) โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง ((normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)))))))
214, 19, 203bitr4i 303 1 (๐‘† โˆˆ CHStates โ†” (๐‘†: Cโ„‹ โŸถ โ„‹ โˆง (normโ„Žโ€˜(๐‘†โ€˜ โ„‹)) = 1 โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ Cโ„‹ โˆ€๐‘ฆ โˆˆ Cโ„‹ (๐‘ฅ โІ (โŠฅโ€˜๐‘ฆ) โ†’ (((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) ยทih (๐‘†โ€˜๐‘ฆ)) = 0 โˆง (๐‘†โ€˜(๐‘ฅ โˆจโ„‹ ๐‘ฆ)) = ((๐‘†โ€˜๐‘ฅ) +โ„Ž (๐‘†โ€˜๐‘ฆ))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3058   โІ wss 3947  โŸถwf 6544  โ€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   โ†‘m cmap 8844  0cc0 11138  1c1 11139   โ„‹chba 30728   +โ„Ž cva 30729   ยทih csp 30731  normโ„Žcno 30732   Cโ„‹ cch 30738  โŠฅcort 30739   โˆจโ„‹ chj 30742  CHStateschst 30772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-hilex 30808
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8846  df-sh 31016  df-ch 31030  df-hst 32021
This theorem is referenced by:  hstcl  32026  hst1a  32027  hstel2  32028  hstrlem3a  32069
  Copyright terms: Public domain W3C validator