Theorem hst1h 31762

Description: The norm of a Hilbert-space-valued state equals one iff the state value equals the state value of the lattice one. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hst1h	⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 ↔ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ)))

Proof of Theorem hst1h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstcl 31752	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
2		ax-hvaddid 30539	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘𝐴))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘𝐴))
5		ax-1cn 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		choccl 30841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
7		hstcl 31752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
8	6, 7	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
9		normcl 30660	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℝ)
11	10	resqcld 14097	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
13		pncan2 11474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℂ) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
14	5, 12, 13	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
16		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = (1↑2))
17		sq1 14166	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
18	16, 17	eqtr2di 2788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → 1 = ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2))
19	18	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → (1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)))
20		hstnmoc 31758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)
21	19, 20	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → (1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)
22	21	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = (1 − 1))
23	15, 22	eqtr3d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = (1 − 1))
24		1m1e0 12291	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0)
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0))
27	10	recnd 11249	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℂ)
28		sqeq0 14092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℂ → (((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0))
30		norm-i 30664	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
31	8, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
32	29, 31	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
33	26, 32	sylibd 238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
34	33	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ)
35	34	oveq2d 7428	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ))
36		hstoc 31757	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
38	35, 37	eqtr3d 2773	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘ ℋ))
39	4, 38	eqtr3d 2773	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ))
40		fveq2 6891	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)))
41		hst1a 31753	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
43	40, 42	sylan9eqr 2793	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1)
44	39, 43	impbida 798	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 ↔ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   − cmin 11451  2c2 12274  ↑cexp 14034   ℋchba 30454   +_ℎ cva 30455  norm_ℎcno 30458  0_ℎc0v 30459   C_ℋ cch 30464  ⊥cort 30465  CHStateschst 30498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196  ax-hilex 30534  ax-hfvadd 30535  ax-hvcom 30536  ax-hvass 30537  ax-hv0cl 30538  ax-hvaddid 30539  ax-hfvmul 30540  ax-hvmulid 30541  ax-hvmulass 30542  ax-hvdistr1 30543  ax-hvdistr2 30544  ax-hvmul0 30545  ax-hfi 30614  ax-his1 30617  ax-his2 30618  ax-his3 30619  ax-his4 30620  ax-hcompl 30737

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15439  df-sum 15640  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-submnd 18709  df-mulg 18991  df-cntz 19226  df-cmn 19695  df-psmet 21140  df-xmet 21141  df-met 21142  df-bl 21143  df-mopn 21144  df-cnfld 21149  df-top 22629  df-topon 22646  df-topsp 22668  df-bases 22682  df-cn 22964  df-cnp 22965  df-lm 22966  df-haus 23052  df-tx 23299  df-hmeo 23492  df-xms 24059  df-ms 24060  df-tms 24061  df-cau 25017  df-grpo 30028  df-gid 30029  df-ginv 30030  df-gdiv 30031  df-ablo 30080  df-vc 30094  df-nv 30127  df-va 30130  df-ba 30131  df-sm 30132  df-0v 30133  df-vs 30134  df-nmcv 30135  df-ims 30136  df-dip 30236  df-hnorm 30503  df-hvsub 30506  df-hlim 30507  df-hcau 30508  df-sh 30742  df-ch 30756  df-oc 30787  df-ch0 30788  df-chj 30845  df-hst 31747

This theorem is referenced by: (None)