Theorem hst1h 32156

Description: The norm of a Hilbert-space-valued state equals one iff the state value equals the state value of the lattice one. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hst1h	⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 ↔ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ)))

Proof of Theorem hst1h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstcl 32146	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
2		ax-hvaddid 30933	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘𝐴))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘𝐴))
5		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		choccl 31235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
7		hstcl 32146	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
8	6, 7	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
9		normcl 31054	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℝ)
11	10	resqcld 14090	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
13		pncan2 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℂ) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
14	5, 12, 13	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
16		oveq1 7394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = (1↑2))
17		sq1 14160	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
18	16, 17	eqtr2di 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → 1 = ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2))
19	18	oveq1d 7402	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → (1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)))
20		hstnmoc 32152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)
21	19, 20	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → (1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)
22	21	oveq1d 7402	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = (1 − 1))
23	15, 22	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = (1 − 1))
24		1m1e0 12258	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0)
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0))
27	10	recnd 11202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℂ)
28		sqeq0 14085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℂ → (((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0))
30		norm-i 31058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
31	8, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
32	29, 31	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
33	26, 32	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
34	33	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ)
35	34	oveq2d 7403	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ))
36		hstoc 32151	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
38	35, 37	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘ ℋ))
39	4, 38	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ))
40		fveq2 6858	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)))
41		hst1a 32147	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
43	40, 42	sylan9eqr 2786	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1)
44	39, 43	impbida 800	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 ↔ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   − cmin 11405  2c2 12241  ↑cexp 14026   ℋchba 30848   +_ℎ cva 30849  norm_ℎcno 30852  0_ℎc0v 30853   C_ℋ cch 30858  ⊥cort 30859  CHStateschst 30892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148  ax-hilex 30928  ax-hfvadd 30929  ax-hvcom 30930  ax-hvass 30931  ax-hv0cl 30932  ax-hvaddid 30933  ax-hfvmul 30934  ax-hvmulid 30935  ax-hvmulass 30936  ax-hvdistr1 30937  ax-hvdistr2 30938  ax-hvmul0 30939  ax-hfi 31008  ax-his1 31011  ax-his2 31012  ax-his3 31013  ax-his4 31014  ax-hcompl 31131

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17465  df-qtop 17470  df-imas 17471  df-xps 17473  df-mre 17547  df-mrc 17548  df-acs 17550  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000  df-cntz 19249  df-cmn 19712  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-cnfld 21265  df-top 22781  df-topon 22798  df-topsp 22820  df-bases 22833  df-cn 23114  df-cnp 23115  df-lm 23116  df-haus 23202  df-tx 23449  df-hmeo 23642  df-xms 24208  df-ms 24209  df-tms 24210  df-cau 25156  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-gdiv 30425  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-vs 30528  df-nmcv 30529  df-ims 30530  df-dip 30630  df-hnorm 30897  df-hvsub 30900  df-hlim 30901  df-hcau 30902  df-sh 31136  df-ch 31150  df-oc 31181  df-ch0 31182  df-chj 31239  df-hst 32141

This theorem is referenced by: (None)