Theorem hst1h 32314

Description: The norm of a Hilbert-space-valued state equals one iff the state value equals the state value of the lattice one. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hst1h	⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 ↔ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ)))

Proof of Theorem hst1h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstcl 32304	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)
2		ax-hvaddid 31091	. . . . 5 ⊢ ((𝑆‘𝐴) ∈ ℋ → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘𝐴))
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘𝐴))
4	3	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘𝐴))
5		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
6		choccl 31393	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐴 ∈ Cℋ → (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ )
7		hstcl 32304	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ (⊥‘𝐴) ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
8	6, 7	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ)
9		normcl 31212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℝ)
11	10	resqcld 14060	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℝ)
12	11	recnd 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℂ)
13		pncan2 11399	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) ∈ ℂ) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
14	5, 12, 13	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2))
16		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) = (1↑2))
17		sq1 14130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1↑2) = 1
18	16, 17	eqtr2di 2789	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → 1 = ((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2))
19	18	oveq1d 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → (1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)))
20		hstnmoc 32310	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘𝐴))↑2) + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)
21	19, 20	sylan9eqr 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → (1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) = 1)
22	21	oveq1d 7383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((1 + ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2)) − 1) = (1 − 1))
23	15, 22	eqtr3d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = (1 − 1))
24		1m1e0 12229	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 − 1) = 0
25	23, 24	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0)
26	25	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0))
27	10	recnd 11172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℂ)
28		sqeq0 14055	. . . . . . . . 9 ⊢ ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) ∈ ℂ → (((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0))
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0))
30		norm-i 31216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆‘(⊥‘𝐴)) ∈ ℋ → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
31	8, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴))) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
32	29, 31	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (((normℎ‘(𝑆‘(⊥‘𝐴)))↑2) = 0 ↔ (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
33	26, 32	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ))
34	33	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → (𝑆‘(⊥‘𝐴)) = 0ℎ)
35	34	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ))
36		hstoc 32309	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
37	36	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ (𝑆‘(⊥‘𝐴))) = (𝑆‘ ℋ))
38	35, 37	eqtr3d 2774	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → ((𝑆‘𝐴) +ℎ 0ℎ) = (𝑆‘ ℋ))
39	4, 38	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1) → (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ))
40		fveq2 6842	. . 3 ⊢ ((𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)))
41		hst1a 32305	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
42	41	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1)
43	40, 42	sylan9eqr 2794	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) ∧ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ)) → (normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1)
44	39, 43	impbida 801	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → ((normℎ‘(𝑆‘𝐴)) = 1 ↔ (𝑆‘𝐴) = (𝑆‘ ℋ)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   − cmin 11376  2c2 12212  ↑cexp 13996   ℋchba 31006   +_ℎ cva 31007  norm_ℎcno 31010  0_ℎc0v 31011   C_ℋ cch 31016  ⊥cort 31017  CHStateschst 31050

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118  ax-hilex 31086  ax-hfvadd 31087  ax-hvcom 31088  ax-hvass 31089  ax-hv0cl 31090  ax-hvaddid 31091  ax-hfvmul 31092  ax-hvmulid 31093  ax-hvmulass 31094  ax-hvdistr1 31095  ax-hvdistr2 31096  ax-hvmul0 31097  ax-hfi 31166  ax-his1 31169  ax-his2 31170  ax-his3 31171  ax-his4 31172  ax-hcompl 31289

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423  df-sum 15622  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-lm 23185  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cau 25224  df-grpo 30580  df-gid 30581  df-ginv 30582  df-gdiv 30583  df-ablo 30632  df-vc 30646  df-nv 30679  df-va 30682  df-ba 30683  df-sm 30684  df-0v 30685  df-vs 30686  df-nmcv 30687  df-ims 30688  df-dip 30788  df-hnorm 31055  df-hvsub 31058  df-hlim 31059  df-hcau 31060  df-sh 31294  df-ch 31308  df-oc 31339  df-ch0 31340  df-chj 31397  df-hst 32299

This theorem is referenced by: (None)