Theorem hstcl 32161

Description: Closure of the value of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstcl	⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hstcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishst 32158	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates ↔ (𝑆: Cℋ ⟶ ℋ ∧ (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((𝑆‘𝑥) ·ih (𝑆‘𝑦)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑥 ∨ℋ 𝑦)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑆‘𝑦))))))
2	1	simp1bi 1145	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates → 𝑆: Cℋ ⟶ ℋ)
3	2	ffvelcdmda 7018	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ⊆ wss 3903  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  0cc0 11009  1c1 11010   ℋchba 30863   +_ℎ cva 30864   ·_ih csp 30866  norm_ℎcno 30867   C_ℋ cch 30873  ⊥cort 30874   ∨_ℋ chj 30877  CHStateschst 30907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-hilex 30943

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-fv 6490  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-map 8755  df-sh 31151  df-ch 31165  df-hst 32156

This theorem is referenced by:  hstnmoc  32167  hstle1  32170  hst1h  32171  hst0h  32172  hstpyth  32173  hstle  32174  hstles  32175  hstoh  32176  hstrlem6  32208