Theorem hstcl 32876

Description: Closure of the value of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstcl	⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hstcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishst 32873	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates ↔ (𝑆: Cℋ ⟶ ℋ ∧ (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((𝑆‘𝑥) ·ih (𝑆‘𝑦)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑥 ∨ℋ 𝑦)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑆‘𝑦))))))
2	1	simp1bi 1163	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates → 𝑆: Cℋ ⟶ ℋ)
3	2	ffvelcdmda 7116	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  0cc0 11239  1c1 11240   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ih csp 31581  norm_ℎcno 31582   C_ℋ cch 31588  ⊥cort 31589   ∨_ℋ chj 31592  CHStateschst 31622

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-hilex 31658

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-map 8887  df-sh 31866  df-ch 31880  df-hst 32871

This theorem is used by:  hstnmoc  32882  hstle1  32885  hst1h  32886  hst0h  32887  hstpyth  32888  hstle  32889  hstles  32890  hstoh  32891  hstrlem6  32923