Theorem hstcl 32640

Description: Closure of the value of a Hilbert-space-valued state. (Contributed by NM, 25-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hstcl	⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)

Proof of Theorem hstcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ishst 32637	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates ↔ (𝑆: Cℋ ⟶ ℋ ∧ (normℎ‘(𝑆‘ ℋ)) = 1 ∧ ∀𝑥 ∈ Cℋ ∀𝑦 ∈ Cℋ (𝑥 ⊆ (⊥‘𝑦) → (((𝑆‘𝑥) ·ih (𝑆‘𝑦)) = 0 ∧ (𝑆‘(𝑥 ∨ℋ 𝑦)) = ((𝑆‘𝑥) +ℎ (𝑆‘𝑦))))))
2	1	simp1bi 1163	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ CHStates → 𝑆: Cℋ ⟶ ℋ)
3	2	ffvelcdmda 7083	1 ⊢ ((𝑆 ∈ CHStates ∧ 𝐴 ∈ Cℋ ) → (𝑆‘𝐴) ∈ ℋ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ⊆ wss 3906  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116   ℋchba 31342   +_ℎ cva 31343   ·_ih csp 31345  norm_ℎcno 31346   C_ℋ cch 31352  ⊥cort 31353   ∨_ℋ chj 31356  CHStateschst 31386

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-hilex 31422

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-sh 31630  df-ch 31644  df-hst 32635

This theorem is used by:  hstnmoc  32646  hstle1  32649  hst1h  32650  hst0h  32651  hstpyth  32652  hstle  32653  hstles  32654  hstoh  32655  hstrlem6  32687