Theorem hvsubvali 29283

Description: Value of vector subtraction definition. (Contributed by NM, 3-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvaddcl.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvaddcl.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubvali	⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))

Proof of Theorem hvsubvali

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvaddcl.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvaddcl.2	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3		hvsubval 29279	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
4	1, 2, 3	mp2an 688	1 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  1c1 10803  -cneg 11136   ℋchba 29182   +_ℎ cva 29183   ·_ℎ csm 29184   −_ℎ cmv 29188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fv 6426  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-hvsub 29234

This theorem is referenced by:  hvsubsub4i  29322  hvnegdii  29325  hvsubeq0i  29326  hvsubcan2i  29327  hvsubaddi  29329  normlem0  29372  normlem9  29381  norm3difi  29410  normpar2i  29419  pjsubii  29941  pjssmii  29944  pjcji  29947  lnophmlem2  30280