Theorem pjcji 32197

Description: The projection on a subspace join is the sum of the projections. (Contributed by NM, 1-Nov-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjidm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1	⊢ 𝐺 ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjcji	⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))

Proof of Theorem pjcji

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . . 5 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjidm.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3		pjsslem.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ Cℋ
4	3	choccli 31820	. . . . 5 ⊢ (⊥‘𝐺) ∈ Cℋ
5	1, 2, 4	pjssmii 32194	. . . 4 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) = ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))
6	5	oveq2d 7432	. . 3 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → (𝐴 −ℎ (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = (𝐴 −ℎ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)))
7	3, 2	pjpoi 31943	. . . . . 6 ⊢ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴) = (𝐴 −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴))
8	7	oveq2i 7427	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ (𝐴 −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)))
9	4, 2	pjhclii 31935	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ ℋ
10	1, 2	pjhclii 31935	. . . . . . . 8 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
11	9, 10	hvnegdii 31575	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ·ℎ (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴))
12	11	oveq2i 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))) = (𝐴 +ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)))
13		hvaddsub12 31551	. . . . . . 7 ⊢ ((((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ ℋ) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ (𝐴 −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴))) = (𝐴 +ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴))))
14	10, 2, 9, 13	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ (𝐴 −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴))) = (𝐴 +ℎ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)))
15	12, 14	eqtr4i 2786	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ (𝐴 −ℎ ((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)))
16	8, 15	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
17	9, 10	hvsubcli 31534	. . . . 5 ⊢ (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
18	2, 17	hvsubvali 31533	. . . 4 ⊢ (𝐴 −ℎ (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴))))
19	16, 18	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = (𝐴 −ℎ (((projℎ‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴)))
20	1, 3	chjcomi 31981	. . . . . . 7 ⊢ (𝐻 ∨ℋ 𝐺) = (𝐺 ∨ℋ 𝐻)
21	3, 1	chdmm4i 31993	. . . . . . 7 ⊢ (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))) = (𝐺 ∨ℋ 𝐻)
22	20, 21	eqtr4i 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝐻 ∨ℋ 𝐺) = (⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))
23	22	fveq2i 6884	. . . . 5 ⊢ (projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺)) = (projℎ‘(⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))
24	23	fveq1i 6882	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = ((projℎ‘(⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))‘𝐴)
25	1	choccli 31820	. . . . . 6 ⊢ (⊥‘𝐻) ∈ Cℋ
26	4, 25	chincli 31973	. . . . 5 ⊢ ((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ Cℋ
27	26, 2	pjopi 31942	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘(⊥‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻))))‘𝐴) = (𝐴 −ℎ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))
28	24, 27	eqtri 2783	. . 3 ⊢ ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (𝐴 −ℎ ((projℎ‘((⊥‘𝐺) ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))
29	6, 19, 28	3eqtr4g 2820	. 2 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)) = ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴))
30	29	eqcomd 2766	1 ⊢ (𝐻 ⊆ (⊥‘𝐺) → ((projℎ‘(𝐻 ∨ℋ 𝐺))‘𝐴) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐺)‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6535  (class class class)co 7416  1c1 11150  -cneg 11491   ℋchba 31432   +_ℎ cva 31433   ·_ℎ csm 31434   −_ℎ cmv 31438   C_ℋ cch 31442  ⊥cort 31443   ∨_ℋ chj 31446  proj_ℎcpjh 31450

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742  ax-inf2 9627  ax-cc 10462  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228  ax-mulf 11229  ax-hilex 31512  ax-hfvadd 31513  ax-hvcom 31514  ax-hvass 31515  ax-hv0cl 31516  ax-hvaddid 31517  ax-hfvmul 31518  ax-hvmulid 31519  ax-hvmulass 31520  ax-hvdistr1 31521  ax-hvdistr2 31522  ax-hvmul0 31523  ax-hfi 31592  ax-his1 31595  ax-his2 31596  ax-his3 31597  ax-his4 31598  ax-hcompl 31715

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-lim 6364  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8703  df-map 8835  df-pm 8836  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9339  df-fi 9388  df-sup 9419  df-inf 9420  df-oi 9489  df-card 9969  df-acn 9972  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11921  df-nn 12283  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12554  df-z 12641  df-dec 12762  df-uz 12913  df-q 13023  df-rp 13068  df-xneg 13188  df-xadd 13189  df-xmul 13190  df-ioo 13427  df-ico 13429  df-icc 13430  df-fz 13587  df-fzo 13735  df-fl 13878  df-seq 14091  df-exp 14151  df-hash 14420  df-cj 15211  df-re 15212  df-im 15213  df-sqrt 15347  df-abs 15348  df-clim 15600  df-rlim 15601  df-sum 15799  df-struct 17264  df-sets 17281  df-slot 17299  df-ndx 17311  df-base 17327  df-ress 17348  df-plusg 17380  df-mulr 17381  df-starv 17382  df-sca 17383  df-vsca 17384  df-ip 17385  df-tset 17386  df-ple 17387  df-ds 17389  df-unif 17390  df-hom 17391  df-cco 17392  df-rest 17532  df-topn 17533  df-0g 17551  df-gsum 17552  df-topgen 17553  df-pt 17554  df-prds 17557  df-xrs 17613  df-qtop 17618  df-imas 17619  df-xps 17621  df-mre 17695  df-mrc 17696  df-acs 17698  df-mgm 18755  df-sgrp 18847  df-mnd 18863  df-submnd 18918  df-mulg 19217  df-cntz 19470  df-cmn 19935  df-psmet 21609  df-xmet 21610  df-met 21611  df-bl 21612  df-mopn 21613  df-fbas 21614  df-fg 21615  df-cnfld 21618  df-top 23151  df-topon 23168  df-topsp 23190  df-bases 23203  df-cld 23276  df-ntr 23277  df-cls 23278  df-nei 23355  df-cn 23484  df-cnp 23485  df-lm 23486  df-haus 23572  df-tx 23820  df-hmeo 24013  df-fil 24104  df-fm 24196  df-flim 24197  df-flf 24198  df-xms 24578  df-ms 24579  df-tms 24580  df-cfil 25515  df-cau 25516  df-cmet 25517  df-grpo 31006  df-gid 31007  df-ginv 31008  df-gdiv 31009  df-ablo 31058  df-vc 31072  df-nv 31105  df-va 31108  df-ba 31109  df-sm 31110  df-0v 31111  df-vs 31112  df-nmcv 31113  df-ims 31114  df-dip 31214  df-ssp 31235  df-ph 31326  df-cbn 31376  df-hnorm 31481  df-hba 31482  df-hvsub 31484  df-hlim 31485  df-hcau 31486  df-sh 31720  df-ch 31734  df-oc 31765  df-ch0 31766  df-shs 31821  df-chj 31823  df-pjh 31908

This theorem is used by:  pjcjt2  32205