Theorem norm3difi 31049

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3difi	⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem norm3difi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 30922	. . . 4 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4		norm3dif.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubvali 30922	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
6	4, 2	hvsubvali 30922	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	oveq12i 7381	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1cn 12147	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 4	hvmulcli 30916	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
10	8, 2	hvmulcli 30916	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
11	4, 10	hvaddcli 30920	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
12	1, 9, 11	hvassi 30955	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
13	9, 4, 10	hvassi 30955	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
14	9, 4	hvcomi 30921	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
15	4, 4	hvsubvali 30922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
16		hvsubid 30928	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
17	4, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ
18	14, 15, 17	3eqtr2i 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) = 0ℎ
19	18	oveq1i 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (0ℎ +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
20		ax-hv0cl 30905	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
21	20, 10	hvcomi 30921	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)
22		ax-hvaddid 30906	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (-1 ·ℎ 𝐵))
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (-1 ·ℎ 𝐵)
24	19, 21, 23	3eqtri 2756	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ 𝐵)
25	13, 24	eqtr3i 2754	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (-1 ·ℎ 𝐵)
26	25	oveq2i 7380	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
27	7, 12, 26	3eqtri 2756	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
28	3, 27	eqtr4i 2755	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵))
29	28	fveq2i 6843	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)))
30	1, 4	hvsubcli 30923	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
31	4, 2	hvsubcli 30923	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
32	30, 31	norm-ii-i 31039	. 2 ⊢ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵))) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))
33	29, 32	eqbrtri 5123	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047   ≤ cle 11185  -cneg 11382   ℋchba 30821   +_ℎ cva 30822   ·_ℎ csm 30823  norm_ℎcno 30825  0_ℎc0v 30826   −_ℎ cmv 30827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122  ax-hfvadd 30902  ax-hvcom 30903  ax-hvass 30904  ax-hv0cl 30905  ax-hvaddid 30906  ax-hfvmul 30907  ax-hvmulid 30908  ax-hvmulass 30909  ax-hvdistr2 30911  ax-hvmul0 30912  ax-hfi 30981  ax-his1 30984  ax-his2 30985  ax-his3 30986  ax-his4 30987

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-seq 13943  df-exp 14003  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-hnorm 30870  df-hvsub 30873

This theorem is referenced by:  norm3adifii  31050  norm3lem  31051  norm3dif  31052