Theorem norm3difi 31236

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3difi	⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem norm3difi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31109	. . . 4 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4		norm3dif.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubvali 31109	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
6	4, 2	hvsubvali 31109	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	oveq12i 7368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1cn 12135	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 4	hvmulcli 31103	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
10	8, 2	hvmulcli 31103	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
11	4, 10	hvaddcli 31107	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
12	1, 9, 11	hvassi 31142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
13	9, 4, 10	hvassi 31142	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
14	9, 4	hvcomi 31108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
15	4, 4	hvsubvali 31109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
16		hvsubid 31115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
17	4, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ
18	14, 15, 17	3eqtr2i 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) = 0ℎ
19	18	oveq1i 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (0ℎ +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
20		ax-hv0cl 31092	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
21	20, 10	hvcomi 31108	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)
22		ax-hvaddid 31093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (-1 ·ℎ 𝐵))
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (-1 ·ℎ 𝐵)
24	19, 21, 23	3eqtri 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ 𝐵)
25	13, 24	eqtr3i 2764	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (-1 ·ℎ 𝐵)
26	25	oveq2i 7367	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
27	7, 12, 26	3eqtri 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
28	3, 27	eqtr4i 2765	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵))
29	28	fveq2i 6830	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)))
30	1, 4	hvsubcli 31110	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
31	4, 2	hvsubcli 31110	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
32	30, 31	norm-ii-i 31226	. 2 ⊢ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵))) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))
33	29, 32	eqbrtri 5093	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030   + caddc 11032   ≤ cle 11171  -cneg 11369   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   ·_ℎ csm 31010  norm_ℎcno 31012  0_ℎc0v 31013   −_ℎ cmv 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-hnorm 31057  df-hvsub 31060

This theorem is referenced by:  norm3adifii  31237  norm3lem  31238  norm3dif  31239