Theorem norm3difi 31758

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3difi	⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem norm3difi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31631	. . . 4 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
4		norm3dif.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubvali 31631	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))
6	4, 2	hvsubvali 31631	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	oveq12i 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1cn 12312	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 4	hvmulcli 31625	. . . . . 6 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
10	8, 2	hvmulcli 31625	. . . . . . 7 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
11	4, 10	hvaddcli 31629	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
12	1, 9, 11	hvassi 31664	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))))
13	9, 4, 10	hvassi 31664	. . . . . . 7 ⊢ ((( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
14	9, 4	hvcomi 31630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))
15	4, 4	hvsubvali 31631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))
16		hvsubid 31637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
17	4, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ
18	14, 15, 17	3eqtr2i 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) = 0ℎ
19	18	oveq1i 7434	. . . . . . . 8 ⊢ ((( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = (0ℎ +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
20		ax-hv0cl 31614	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
21	20, 10	hvcomi 31630	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)
22		ax-hvaddid 31615	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = ( -1 ·ℎ 𝐵))
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = ( -1 ·ℎ 𝐵)
24	19, 21, 23	3eqtri 2787	. . . . . . 7 ⊢ ((( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = ( -1 ·ℎ 𝐵)
25	13, 24	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ( -1 ·ℎ 𝐵)
26	25	oveq2i 7435	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
27	7, 12, 26	3eqtri 2787	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
28	3, 27	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵))
29	28	fveq2i 6893	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)))
30	1, 4	hvsubcli 31632	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
31	4, 2	hvsubcli 31632	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
32	30, 31	norm-ii-i 31748	. 2 ⊢ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵))) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))
33	29, 32	eqbrtri 5125	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1c1 11208   + caddc 11210   ≤ cle 11351   -cneg 11549   ℋchba 31530   +_ℎ cva 31531   ·_ℎ csm 31532  norm_ℎcno 31534  0_ℎc0v 31535   −_ℎ cmv 31536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285  ax-hfvadd 31611  ax-hvcom 31612  ax-hvass 31613  ax-hv0cl 31614  ax-hvaddid 31615  ax-hfvmul 31616  ax-hvmulid 31617  ax-hvmulass 31618  ax-hvdistr2 31620  ax-hvmul0 31621  ax-hfi 31690  ax-his1 31693  ax-his2 31694  ax-his3 31695  ax-his4 31696

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-seq 14152  df-exp 14212  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-hnorm 31579  df-hvsub 31582

This theorem is used by:  norm3adifii  31759  norm3lem  31760  norm3dif  31761