Theorem norm3difi 31236

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3difi	⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem norm3difi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31109	. . . 4 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4		norm3dif.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubvali 31109	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
6	4, 2	hvsubvali 31109	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	oveq12i 7373	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1cn 12138	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 4	hvmulcli 31103	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
10	8, 2	hvmulcli 31103	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
11	4, 10	hvaddcli 31107	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
12	1, 9, 11	hvassi 31142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))))
13	9, 4, 10	hvassi 31142	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
14	9, 4	hvcomi 31108	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
15	4, 4	hvsubvali 31109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐶))
16		hvsubid 31115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
17	4, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ
18	14, 15, 17	3eqtr2i 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) = 0ℎ
19	18	oveq1i 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (0ℎ +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
20		ax-hv0cl 31092	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
21	20, 10	hvcomi 31108	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)
22		ax-hvaddid 31093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (-1 ·ℎ 𝐵))
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = (-1 ·ℎ 𝐵)
24	19, 21, 23	3eqtri 2764	. . . . . . 7 ⊢ (((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ 𝐵)
25	13, 24	eqtr3i 2762	. . . . . 6 ⊢ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (-1 ·ℎ 𝐵)
26	25	oveq2i 7372	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ ((-1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
27	7, 12, 26	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
28	3, 27	eqtr4i 2763	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵))
29	28	fveq2i 6838	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)))
30	1, 4	hvsubcli 31110	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
31	4, 2	hvsubcli 31110	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
32	30, 31	norm-ii-i 31226	. 2 ⊢ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵))) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))
33	29, 32	eqbrtri 5107	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1c1 11033   + caddc 11035   ≤ cle 11174  -cneg 11372   ℋchba 31008   +_ℎ cva 31009   ·_ℎ csm 31010  norm_ℎcno 31012  0_ℎc0v 31013   −_ℎ cmv 31014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-hfvadd 31089  ax-hvcom 31090  ax-hvass 31091  ax-hv0cl 31092  ax-hvaddid 31093  ax-hfvmul 31094  ax-hvmulid 31095  ax-hvmulass 31096  ax-hvdistr2 31098  ax-hvmul0 31099  ax-hfi 31168  ax-his1 31171  ax-his2 31172  ax-his3 31173  ax-his4 31174

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-rp 12937  df-seq 13958  df-exp 14018  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-hnorm 31057  df-hvsub 31060

This theorem is referenced by:  norm3adifii  31237  norm3lem  31238  norm3dif  31239