HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm3difi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm3difi 28928
Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm3dif.1 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
norm3difi (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵)))

Proof of Theorem norm3difi
StepHypRef Expression
1 norm3dif.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
2 norm3dif.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 28801 . . . 4 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
4 norm3dif.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℋ
51, 4hvsubvali 28801 . . . . . 6 (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶))
64, 2hvsubvali 28801 . . . . . 6 (𝐶 𝐵) = (𝐶 + (-1 · 𝐵))
75, 6oveq12i 7152 . . . . 5 ((𝐴 𝐶) + (𝐶 𝐵)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐶 + (-1 · 𝐵)))
8 neg1cn 11739 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
98, 4hvmulcli 28795 . . . . . 6 (-1 · 𝐶) ∈ ℋ
108, 2hvmulcli 28795 . . . . . . 7 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
114, 10hvaddcli 28799 . . . . . 6 (𝐶 + (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ
121, 9, 11hvassi 28834 . . . . 5 ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐶 + (-1 · 𝐵))) = (𝐴 + ((-1 · 𝐶) + (𝐶 + (-1 · 𝐵))))
139, 4, 10hvassi 28834 . . . . . . 7 (((-1 · 𝐶) + 𝐶) + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐶) + (𝐶 + (-1 · 𝐵)))
149, 4hvcomi 28800 . . . . . . . . . 10 ((-1 · 𝐶) + 𝐶) = (𝐶 + (-1 · 𝐶))
154, 4hvsubvali 28801 . . . . . . . . . 10 (𝐶 𝐶) = (𝐶 + (-1 · 𝐶))
16 hvsubid 28807 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 𝐶) = 0)
174, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐶 𝐶) = 0
1814, 15, 173eqtr2i 2851 . . . . . . . . 9 ((-1 · 𝐶) + 𝐶) = 0
1918oveq1i 7150 . . . . . . . 8 (((-1 · 𝐶) + 𝐶) + (-1 · 𝐵)) = (0 + (-1 · 𝐵))
20 ax-hv0cl 28784 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℋ
2120, 10hvcomi 28800 . . . . . . . 8 (0 + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐵) + 0)
22 ax-hvaddid 28785 . . . . . . . . 9 ((-1 · 𝐵) ∈ ℋ → ((-1 · 𝐵) + 0) = (-1 · 𝐵))
2310, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((-1 · 𝐵) + 0) = (-1 · 𝐵)
2419, 21, 233eqtri 2849 . . . . . . 7 (((-1 · 𝐶) + 𝐶) + (-1 · 𝐵)) = (-1 · 𝐵)
2513, 24eqtr3i 2847 . . . . . 6 ((-1 · 𝐶) + (𝐶 + (-1 · 𝐵))) = (-1 · 𝐵)
2625oveq2i 7151 . . . . 5 (𝐴 + ((-1 · 𝐶) + (𝐶 + (-1 · 𝐵)))) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
277, 12, 263eqtri 2849 . . . 4 ((𝐴 𝐶) + (𝐶 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
283, 27eqtr4i 2848 . . 3 (𝐴 𝐵) = ((𝐴 𝐶) + (𝐶 𝐵))
2928fveq2i 6655 . 2 (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘((𝐴 𝐶) + (𝐶 𝐵)))
301, 4hvsubcli 28802 . . 3 (𝐴 𝐶) ∈ ℋ
314, 2hvsubcli 28802 . . 3 (𝐶 𝐵) ∈ ℋ
3230, 31norm-ii-i 28918 . 2 (norm‘((𝐴 𝐶) + (𝐶 𝐵))) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵)))
3329, 32eqbrtri 5063 1 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  1c1 10527   + caddc 10529  cle 10665  -cneg 10860  chba 28700   + cva 28701   · csm 28702  normcno 28704  0c0v 28705   cmv 28706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-hfvadd 28781  ax-hvcom 28782  ax-hvass 28783  ax-hv0cl 28784  ax-hvaddid 28785  ax-hfvmul 28786  ax-hvmulid 28787  ax-hvmulass 28788  ax-hvdistr2 28790  ax-hvmul0 28791  ax-hfi 28860  ax-his1 28863  ax-his2 28864  ax-his3 28865  ax-his4 28866
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-hnorm 28749  df-hvsub 28752
This theorem is referenced by:  norm3adifii  28929  norm3lem  28930  norm3dif  28931
  Copyright terms: Public domain W3C validator