Theorem norm3difi 31806

Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
norm3dif.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
norm3difi	⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))

Proof of Theorem norm3difi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		norm3dif.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		norm3dif.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31679	. . . 4 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
4		norm3dif.3	. . . . . . 7 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubvali 31679	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))
6	4, 2	hvsubvali 31679	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) = (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
7	5, 6	oveq12i 7463	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
8		neg1cn 12345	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 4	hvmulcli 31673	. . . . . 6 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐶) ∈ ℋ
10	8, 2	hvmulcli 31673	. . . . . . 7 ⊢ ( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
11	4, 10	hvaddcli 31677	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
12	1, 9, 11	hvassi 31712	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶)) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))))
13	9, 4, 10	hvassi 31712	. . . . . . 7 ⊢ ((( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))
14	9, 4	hvcomi 31678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))
15	4, 4	hvsubvali 31679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐶) = (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐶))
16		hvsubid 31685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ)
17	4, 16	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐶) = 0ℎ
18	14, 15, 17	3eqtr2i 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) = 0ℎ
19	18	oveq1i 7461	. . . . . . . 8 ⊢ ((( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = (0ℎ +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
20		ax-hv0cl 31662	. . . . . . . . 9 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
21	20, 10	hvcomi 31678	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ)
22		ax-hvaddid 31663	. . . . . . . . 9 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ → (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = ( -1 ·ℎ 𝐵))
23	10, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐵) +ℎ 0ℎ) = ( -1 ·ℎ 𝐵)
24	19, 21, 23	3eqtri 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ 𝐶) +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)) = ( -1 ·ℎ 𝐵)
25	13, 24	eqtr3i 2788	. . . . . 6 ⊢ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))) = ( -1 ·ℎ 𝐵)
26	25	oveq2i 7462	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (( -1 ·ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵)))) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
27	7, 12, 26	3eqtri 2790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ ( -1 ·ℎ 𝐵))
28	3, 27	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = ((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵))
29	28	fveq2i 6919	. 2 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵)))
30	1, 4	hvsubcli 31680	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐶) ∈ ℋ
31	4, 2	hvsubcli 31680	. . 3 ⊢ (𝐶 −ℎ 𝐵) ∈ ℋ
32	30, 31	norm-ii-i 31796	. 2 ⊢ (normℎ‘((𝐴 −ℎ 𝐶) +ℎ (𝐶 −ℎ 𝐵))) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))
33	29, 32	eqbrtri 5132	1 ⊢ (normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) ≤ ((normℎ‘(𝐴 −ℎ 𝐶)) + (normℎ‘(𝐶 −ℎ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242   ≤ cle 11383   -cneg 11581   ℋchba 31578   +_ℎ cva 31579   ·_ℎ csm 31580  norm_ℎcno 31582  0_ℎc0v 31583   −_ℎ cmv 31584

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-hfvadd 31659  ax-hvcom 31660  ax-hvass 31661  ax-hv0cl 31662  ax-hvaddid 31663  ax-hfvmul 31664  ax-hvmulid 31665  ax-hvmulass 31666  ax-hvdistr2 31668  ax-hvmul0 31669  ax-hfi 31738  ax-his1 31741  ax-his2 31742  ax-his3 31743  ax-his4 31744

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-seq 14185  df-exp 14245  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-hnorm 31627  df-hvsub 31630

This theorem is used by:  norm3adifii  31807  norm3lem  31808  norm3dif  31809