HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  norm3difi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem norm3difi 28460
Description: Norm of differences around common element. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101. (Contributed by NM, 16-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
norm3dif.1 𝐴 ∈ ℋ
norm3dif.2 𝐵 ∈ ℋ
norm3dif.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
norm3difi (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵)))

Proof of Theorem norm3difi
StepHypRef Expression
1 norm3dif.1 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
2 norm3dif.2 . . . . 5 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 28333 . . . 4 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
4 norm3dif.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℋ
51, 4hvsubvali 28333 . . . . . 6 (𝐴 𝐶) = (𝐴 + (-1 · 𝐶))
64, 2hvsubvali 28333 . . . . . 6 (𝐶 𝐵) = (𝐶 + (-1 · 𝐵))
75, 6oveq12i 6854 . . . . 5 ((𝐴 𝐶) + (𝐶 𝐵)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐶 + (-1 · 𝐵)))
8 neg1cn 11393 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
98, 4hvmulcli 28327 . . . . . 6 (-1 · 𝐶) ∈ ℋ
108, 2hvmulcli 28327 . . . . . . 7 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
114, 10hvaddcli 28331 . . . . . 6 (𝐶 + (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ
121, 9, 11hvassi 28366 . . . . 5 ((𝐴 + (-1 · 𝐶)) + (𝐶 + (-1 · 𝐵))) = (𝐴 + ((-1 · 𝐶) + (𝐶 + (-1 · 𝐵))))
139, 4, 10hvassi 28366 . . . . . . 7 (((-1 · 𝐶) + 𝐶) + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐶) + (𝐶 + (-1 · 𝐵)))
149, 4hvcomi 28332 . . . . . . . . . 10 ((-1 · 𝐶) + 𝐶) = (𝐶 + (-1 · 𝐶))
154, 4hvsubvali 28333 . . . . . . . . . 10 (𝐶 𝐶) = (𝐶 + (-1 · 𝐶))
16 hvsubid 28339 . . . . . . . . . . 11 (𝐶 ∈ ℋ → (𝐶 𝐶) = 0)
174, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝐶 𝐶) = 0
1814, 15, 173eqtr2i 2793 . . . . . . . . 9 ((-1 · 𝐶) + 𝐶) = 0
1918oveq1i 6852 . . . . . . . 8 (((-1 · 𝐶) + 𝐶) + (-1 · 𝐵)) = (0 + (-1 · 𝐵))
20 ax-hv0cl 28316 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℋ
2120, 10hvcomi 28332 . . . . . . . 8 (0 + (-1 · 𝐵)) = ((-1 · 𝐵) + 0)
22 ax-hvaddid 28317 . . . . . . . . 9 ((-1 · 𝐵) ∈ ℋ → ((-1 · 𝐵) + 0) = (-1 · 𝐵))
2310, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((-1 · 𝐵) + 0) = (-1 · 𝐵)
2419, 21, 233eqtri 2791 . . . . . . 7 (((-1 · 𝐶) + 𝐶) + (-1 · 𝐵)) = (-1 · 𝐵)
2513, 24eqtr3i 2789 . . . . . 6 ((-1 · 𝐶) + (𝐶 + (-1 · 𝐵))) = (-1 · 𝐵)
2625oveq2i 6853 . . . . 5 (𝐴 + ((-1 · 𝐶) + (𝐶 + (-1 · 𝐵)))) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
277, 12, 263eqtri 2791 . . . 4 ((𝐴 𝐶) + (𝐶 𝐵)) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
283, 27eqtr4i 2790 . . 3 (𝐴 𝐵) = ((𝐴 𝐶) + (𝐶 𝐵))
2928fveq2i 6378 . 2 (norm‘(𝐴 𝐵)) = (norm‘((𝐴 𝐶) + (𝐶 𝐵)))
301, 4hvsubcli 28334 . . 3 (𝐴 𝐶) ∈ ℋ
314, 2hvsubcli 28334 . . 3 (𝐶 𝐵) ∈ ℋ
3230, 31norm-ii-i 28450 . 2 (norm‘((𝐴 𝐶) + (𝐶 𝐵))) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵)))
3329, 32eqbrtri 4830 1 (norm‘(𝐴 𝐵)) ≤ ((norm‘(𝐴 𝐶)) + (norm‘(𝐶 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  1c1 10190   + caddc 10192  cle 10329  -cneg 10521  chba 28232   + cva 28233   · csm 28234  normcno 28236  0c0v 28237   cmv 28238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-hfvadd 28313  ax-hvcom 28314  ax-hvass 28315  ax-hv0cl 28316  ax-hvaddid 28317  ax-hfvmul 28318  ax-hvmulid 28319  ax-hvmulass 28320  ax-hvdistr2 28322  ax-hvmul0 28323  ax-hfi 28392  ax-his1 28395  ax-his2 28396  ax-his3 28397  ax-his4 28398
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-hnorm 28281  df-hvsub 28284
This theorem is referenced by:  norm3adifii  28461  norm3lem  28462  norm3dif  28463
  Copyright terms: Public domain W3C validator