HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubval 30778
Description: Value of vector subtraction. (Contributed by NM, 5-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubval ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))

Proof of Theorem hvsubval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7412 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
2 oveq2 7413 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = (-1 ยทโ„Ž ๐ต))
32oveq2d 7421 . 2 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
4 df-hvsub 30733 . 2 โˆ’โ„Ž = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
5 ovex 7438 . 2 (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ V
61, 3, 4, 5ovmpo 7564 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7405  1c1 11113  -cneg 11449   โ„‹chba 30681   +โ„Ž cva 30682   ยทโ„Ž csm 30683   โˆ’โ„Ž cmv 30687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-hvsub 30733
This theorem is referenced by:  hvsubcl  30779  hvsubvali  30782  hvsubid  30788  hvnegid  30789  hv2neg  30790  hvaddsubval  30795  hvsub4  30799  hvaddsub12  30800  hvpncan  30801  hvaddsubass  30803  hvsubass  30806  hvsubdistr1  30811  hvsubdistr2  30812  hvsubcan  30836  hvsub0  30838  his2sub  30854  hhph  30940  shsubcl  30982  shsel3  31077  honegsubi  31558  lnopsubi  31736  lnfnsubi  31808  superpos  32116  cdj1i  32195
  Copyright terms: Public domain W3C validator