HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubval 30854
Description: Value of vector subtraction. (Contributed by NM, 5-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hvsubval ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))

Proof of Theorem hvsubval
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7433 . 2 (๐‘ฅ = ๐ด โ†’ (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
2 oveq2 7434 . . 3 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ) = (-1 ยทโ„Ž ๐ต))
32oveq2d 7442 . 2 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
4 df-hvsub 30809 . 2 โˆ’โ„Ž = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‹, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‹ โ†ฆ (๐‘ฅ +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐‘ฆ)))
5 ovex 7459 . 2 (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ V
61, 3, 4, 5ovmpo 7588 1 ((๐ด โˆˆ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  1c1 11149  -cneg 11485   โ„‹chba 30757   +โ„Ž cva 30758   ยทโ„Ž csm 30759   โˆ’โ„Ž cmv 30763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-hvsub 30809
This theorem is referenced by:  hvsubcl  30855  hvsubvali  30858  hvsubid  30864  hvnegid  30865  hv2neg  30866  hvaddsubval  30871  hvsub4  30875  hvaddsub12  30876  hvpncan  30877  hvaddsubass  30879  hvsubass  30882  hvsubdistr1  30887  hvsubdistr2  30888  hvsubcan  30912  hvsub0  30914  his2sub  30930  hhph  31016  shsubcl  31058  shsel3  31153  honegsubi  31634  lnopsubi  31812  lnfnsubi  31884  superpos  32192  cdj1i  32271
  Copyright terms: Public domain W3C validator