Theorem pjsubii 30506

Description: Projection of vector difference is difference of projections. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
pjidm.1	⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
pjidm.2	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
pjsub.3	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
pjsubii	⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵))

Proof of Theorem pjsubii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjidm.1	. . . 4 ⊢ 𝐻 ∈ Cℋ
2		pjidm.2	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
3		neg1cn 12263	. . . . 5 ⊢ -1 ∈ ℂ
4		pjsub.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
5	3, 4	hvmulcli 29842	. . . 4 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
6	1, 2, 5	pjaddii 30503	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(-1 ·ℎ 𝐵)))
7	1, 4, 3	pjmulii 30505	. . . 4 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(-1 ·ℎ 𝐵)) = (-1 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵))
8	7	oveq2i 7364	. . 3 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ ((projℎ‘𝐻)‘(-1 ·ℎ 𝐵))) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)))
9	6, 8	eqtri 2764	. 2 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)))
10	2, 4	hvsubvali 29848	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
11	10	fveq2i 6842	. 2 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
12	1, 2	pjhclii 30250	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
13	1, 4	pjhclii 30250	. . 3 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵) ∈ ℋ
14	12, 13	hvsubvali 29848	. 2 ⊢ (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) +ℎ (-1 ·ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵)))
15	9, 11, 14	3eqtr4i 2774	1 ⊢ ((projℎ‘𝐻)‘(𝐴 −ℎ 𝐵)) = (((projℎ‘𝐻)‘𝐴) −ℎ ((projℎ‘𝐻)‘𝐵))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6493  (class class class)co 7353  1c1 11048  -cneg 11382   ℋchba 29747   +_ℎ cva 29748   ·_ℎ csm 29749   −_ℎ cmv 29753   C_ℋ cch 29757  proj_ℎcpjh 29765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-inf2 9573  ax-cc 10367  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125  ax-addf 11126  ax-mulf 11127  ax-hilex 29827  ax-hfvadd 29828  ax-hvcom 29829  ax-hvass 29830  ax-hv0cl 29831  ax-hvaddid 29832  ax-hfvmul 29833  ax-hvmulid 29834  ax-hvmulass 29835  ax-hvdistr1 29836  ax-hvdistr2 29837  ax-hvmul0 29838  ax-hfi 29907  ax-his1 29910  ax-his2 29911  ax-his3 29912  ax-his4 29913  ax-hcompl 30030

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-2o 8409  df-oadd 8412  df-omul 8413  df-er 8644  df-map 8763  df-pm 8764  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-fi 9343  df-sup 9374  df-inf 9375  df-oi 9442  df-card 9871  df-acn 9874  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-xneg 13025  df-xadd 13026  df-xmul 13027  df-ioo 13260  df-ico 13262  df-icc 13263  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-fl 13689  df-seq 13899  df-exp 13960  df-hash 14223  df-cj 14976  df-re 14977  df-im 14978  df-sqrt 15112  df-abs 15113  df-clim 15362  df-rlim 15363  df-sum 15563  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-starv 17140  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-unif 17148  df-hom 17149  df-cco 17150  df-rest 17296  df-topn 17297  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-topgen 17317  df-pt 17318  df-prds 17321  df-xrs 17376  df-qtop 17381  df-imas 17382  df-xps 17384  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-submnd 18594  df-mulg 18864  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-psmet 20773  df-xmet 20774  df-met 20775  df-bl 20776  df-mopn 20777  df-fbas 20778  df-fg 20779  df-cnfld 20782  df-top 22227  df-topon 22244  df-topsp 22266  df-bases 22280  df-cld 22354  df-ntr 22355  df-cls 22356  df-nei 22433  df-cn 22562  df-cnp 22563  df-lm 22564  df-haus 22650  df-tx 22897  df-hmeo 23090  df-fil 23181  df-fm 23273  df-flim 23274  df-flf 23275  df-xms 23657  df-ms 23658  df-tms 23659  df-cfil 24603  df-cau 24604  df-cmet 24605  df-grpo 29321  df-gid 29322  df-ginv 29323  df-gdiv 29324  df-ablo 29373  df-vc 29387  df-nv 29420  df-va 29423  df-ba 29424  df-sm 29425  df-0v 29426  df-vs 29427  df-nmcv 29428  df-ims 29429  df-dip 29529  df-ssp 29550  df-ph 29641  df-cbn 29691  df-hnorm 29796  df-hba 29797  df-hvsub 29799  df-hlim 29800  df-hcau 29801  df-sh 30035  df-ch 30049  df-oc 30080  df-ch0 30081  df-shs 30136  df-pjh 30223

This theorem is referenced by:  pjss2i  30508  pjssmii  30509  pjsubi  30516