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Theorem normpar2i 31185
Description: Corollary of parallelogram law for norms. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. (Contributed by NM, 5-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normpar2.1 𝐴 ∈ ℋ
normpar2.2 𝐵 ∈ ℋ
normpar2.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normpar2i ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = (((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) − ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2))

Proof of Theorem normpar2i
StepHypRef Expression
1 normpar2.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℋ
2 normpar2.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvaddcli 31047 . . . . . 6 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
4 2cn 12339 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
5 normpar2.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℋ
64, 5hvmulcli 31043 . . . . . 6 (2 · 𝐶) ∈ ℋ
73, 6hvsubcli 31050 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) ∈ ℋ
87normcli 31160 . . . 4 (norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶))) ∈ ℝ
98resqcli 14222 . . 3 ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) ∈ ℝ
109recni 11273 . 2 ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) ∈ ℂ
111, 2hvsubcli 31050 . . . . 5 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
1211normcli 31160 . . . 4 (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ
1312resqcli 14222 . . 3 ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℝ
1413recni 11273 . 2 ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℂ
15 4cn 12349 . . . . 5 4 ∈ ℂ
161, 5hvsubcli 31050 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐶) ∈ ℋ
1716normcli 31160 . . . . . . 7 (norm‘(𝐴 𝐶)) ∈ ℝ
1817resqcli 14222 . . . . . 6 ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2) ∈ ℝ
1918recni 11273 . . . . 5 ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2) ∈ ℂ
2015, 19mulcli 11266 . . . 4 (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) ∈ ℂ
212, 5hvsubcli 31050 . . . . . . . 8 (𝐵 𝐶) ∈ ℋ
2221normcli 31160 . . . . . . 7 (norm‘(𝐵 𝐶)) ∈ ℝ
2322resqcli 14222 . . . . . 6 ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2) ∈ ℝ
2423recni 11273 . . . . 5 ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2) ∈ ℂ
2515, 24mulcli 11266 . . . 4 (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) ∈ ℂ
26 2ne0 12368 . . . 4 2 ≠ 0
2720, 25, 4, 26divdiri 12022 . . 3 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) / 2) = (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) + ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2))
2820, 25addcomi 11450 . . . . . . 7 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) = ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)))
29 neg1cn 12378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℂ
3029, 6hvmulcli 31043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · (2 · 𝐶)) ∈ ℋ
3129, 11hvmulcli 31043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · (𝐴 𝐵)) ∈ ℋ
323, 30, 31hvadd32i 31083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) + (-1 · (2 · 𝐶)))
333, 6hvsubvali 31049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶)))
3433oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (-1 · (𝐴 𝐵)))
354, 2hvmulcli 31043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 𝐵) ∈ ℋ
3635, 6hvsubvali 31049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶)) = ((2 · 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶)))
371, 2hvcomi 31048 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)
381, 2hvnegdii 31091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴)
3937, 38oveq12i 7443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 𝐴))
402, 1hvsubcan2i 31093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4139, 40eqtri 2763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = (2 · 𝐵)
4241oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) + (-1 · (2 · 𝐶))) = ((2 · 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶)))
4336, 42eqtr4i 2766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶)) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) + (-1 · (2 · 𝐶)))
4432, 34, 433eqtr4i 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶))
457, 11hvsubvali 31049 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (-1 · (𝐴 𝐵)))
464, 2, 5hvsubdistr1i 31081 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (𝐵 𝐶)) = ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶))
4744, 45, 463eqtr4i 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)) = (2 · (𝐵 𝐶))
4847fveq2i 6910 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵))) = (norm‘(2 · (𝐵 𝐶)))
494, 21norm-iii-i 31168 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(2 · (𝐵 𝐶))) = ((abs‘2) · (norm‘(𝐵 𝐶)))
50 0le2 12366 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
51 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
5251absidi 15413 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
5350, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘2) = 2
5453oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (norm‘(𝐵 𝐶))) = (2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))
5548, 49, 543eqtri 2767 . . . . . . . . . 10 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵))) = (2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))
5655oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) = ((2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))↑2)
5722recni 11273 . . . . . . . . . 10 (norm‘(𝐵 𝐶)) ∈ ℂ
584, 57sqmuli 14220 . . . . . . . . 9 ((2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))↑2) = ((2↑2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
59 sq2 14233 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
6059oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) = (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
6156, 58, 603eqtri 2767 . . . . . . . 8 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) = (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
621, 2hvsubcan2i 31093 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) = (2 · 𝐴)
6362oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) + (-1 · (2 · 𝐶))) = ((2 · 𝐴) + (-1 · (2 · 𝐶)))
643, 30, 11hvadd32i 31083 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) + (-1 · (2 · 𝐶)))
654, 1hvmulcli 31043 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 𝐴) ∈ ℋ
6665, 6hvsubvali 31049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐶)) = ((2 · 𝐴) + (-1 · (2 · 𝐶)))
6763, 64, 663eqtr4i 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (𝐴 𝐵)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐶))
6833oveq1i 7441 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (𝐴 𝐵))
694, 1, 5hvsubdistr1i 31081 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (𝐴 𝐶)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐶))
7067, 68, 693eqtr4i 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)) = (2 · (𝐴 𝐶))
7170fveq2i 6910 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵))) = (norm‘(2 · (𝐴 𝐶)))
724, 16norm-iii-i 31168 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(2 · (𝐴 𝐶))) = ((abs‘2) · (norm‘(𝐴 𝐶)))
7353oveq1i 7441 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (norm‘(𝐴 𝐶))) = (2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))
7471, 72, 733eqtri 2767 . . . . . . . . . 10 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵))) = (2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))
7574oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2) = ((2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))↑2)
7617recni 11273 . . . . . . . . . 10 (norm‘(𝐴 𝐶)) ∈ ℂ
774, 76sqmuli 14220 . . . . . . . . 9 ((2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))↑2) = ((2↑2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
7859oveq1i 7441 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) = (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
7975, 77, 783eqtri 2767 . . . . . . . 8 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2) = (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
8061, 79oveq12i 7443 . . . . . . 7 (((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) + ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2)) = ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)))
8128, 80eqtr4i 2766 . . . . . 6 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) = (((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) + ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2))
827, 11normpari 31183 . . . . . 6 (((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) + ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2)) = ((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
8381, 82eqtri 2763 . . . . 5 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) = ((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
8483oveq1i 7441 . . . 4 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) / 2) = (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))) / 2)
854, 10mulcli 11266 . . . . 5 (2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
864, 14mulcli 11266 . . . . 5 (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) ∈ ℂ
8785, 86, 4, 26divdiri 12022 . . . 4 (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))) / 2) = (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) / 2) + ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) / 2))
8810, 4, 26divcan3i 12011 . . . . 5 ((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) / 2) = ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)
8914, 4, 26divcan3i 12011 . . . . 5 ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) / 2) = ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)
9088, 89oveq12i 7443 . . . 4 (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) / 2) + ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) / 2)) = (((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) + ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))
9184, 87, 903eqtri 2767 . . 3 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) / 2) = (((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) + ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))
9215, 19, 4, 26div23i 12023 . . . . 5 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) = ((4 / 2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
93 4d2e2 12434 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
9493oveq1i 7441 . . . . 5 ((4 / 2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) = (2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
9592, 94eqtri 2763 . . . 4 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) = (2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
9615, 24, 4, 26div23i 12023 . . . . 5 ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2) = ((4 / 2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
9793oveq1i 7441 . . . . 5 ((4 / 2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) = (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
9896, 97eqtri 2763 . . . 4 ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2) = (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
9995, 98oveq12i 7443 . . 3 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) + ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2)) = ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)))
10027, 91, 993eqtr3i 2771 . 2 (((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) + ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)))
10110, 14, 100mvlladdi 11525 1 ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = (((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) − ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491   / cdiv 11918  2c2 12319  4c4 12321  cexp 14099  abscabs 15270  chba 30948   + cva 30949   · csm 30950  normcno 30952   cmv 30954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-hfvadd 31029  ax-hvcom 31030  ax-hvass 31031  ax-hv0cl 31032  ax-hvaddid 31033  ax-hfvmul 31034  ax-hvmulid 31035  ax-hvmulass 31036  ax-hvdistr1 31037  ax-hvdistr2 31038  ax-hvmul0 31039  ax-hfi 31108  ax-his1 31111  ax-his2 31112  ax-his3 31113  ax-his4 31114
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-hnorm 30997  df-hvsub 31000
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