HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpar2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpar2i 30409
Description: Corollary of parallelogram law for norms. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. (Contributed by NM, 5-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normpar2.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
normpar2.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
normpar2.3 ๐ถ โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
normpar2i ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2))

Proof of Theorem normpar2i
StepHypRef Expression
1 normpar2.1 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 normpar2.2 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„‹
31, 2hvaddcli 30271 . . . . . 6 (๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
4 2cn 12287 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
5 normpar2.3 . . . . . . 7 ๐ถ โˆˆ โ„‹
64, 5hvmulcli 30267 . . . . . 6 (2 ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹
73, 6hvsubcli 30274 . . . . 5 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‹
87normcli 30384 . . . 4 (normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆˆ โ„
98resqcli 14150 . . 3 ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) โˆˆ โ„
109recni 11228 . 2 ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) โˆˆ โ„‚
111, 2hvsubcli 30274 . . . . 5 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
1211normcli 30384 . . . 4 (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„
1312resqcli 14150 . . 3 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„
1413recni 11228 . 2 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„‚
15 4cn 12297 . . . . 5 4 โˆˆ โ„‚
161, 5hvsubcli 30274 . . . . . . . 8 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹
1716normcli 30384 . . . . . . 7 (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„
1817resqcli 14150 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„
1918recni 11228 . . . . 5 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„‚
2015, 19mulcli 11221 . . . 4 (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚
212, 5hvsubcli 30274 . . . . . . . 8 (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹
2221normcli 30384 . . . . . . 7 (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„
2322resqcli 14150 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„
2423recni 11228 . . . . 5 ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„‚
2515, 24mulcli 11221 . . . 4 (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚
26 2ne0 12316 . . . 4 2 โ‰  0
2720, 25, 4, 26divdiri 11971 . . 3 (((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) / 2) = (((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) + ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2))
2820, 25addcomi 11405 . . . . . . 7 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) = ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)))
29 neg1cn 12326 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 โˆˆ โ„‚
3029, 6hvmulcli 30267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‹
3129, 11hvmulcli 30267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹
323, 30, 31hvadd32i 30307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
333, 6hvsubvali 30273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
3433oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
354, 2hvmulcli 30267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
3635, 6hvsubvali 30273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((2 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
371, 2hvcomi 30272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ต +โ„Ž ๐ด)
381, 2hvnegdii 30315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)
3937, 38oveq12i 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = ((๐ต +โ„Ž ๐ด) +โ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด))
402, 1hvsubcan2i 30317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต +โ„Ž ๐ด) +โ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)) = (2 ยทโ„Ž ๐ต)
4139, 40eqtri 2761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (2 ยทโ„Ž ๐ต)
4241oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) = ((2 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
4336, 42eqtr4i 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
4432, 34, 433eqtr4i 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = ((2 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))
457, 11hvsubvali 30273 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
464, 2, 5hvsubdistr1i 30305 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = ((2 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))
4744, 45, 463eqtr4i 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (2 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))
4847fveq2i 6895 . . . . . . . . . . 11 (normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (normโ„Žโ€˜(2 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
494, 21norm-iii-i 30392 . . . . . . . . . . 11 (normโ„Žโ€˜(2 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((absโ€˜2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
50 0le2 12314 . . . . . . . . . . . . 13 0 โ‰ค 2
51 2re 12286 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„
5251absidi 15324 . . . . . . . . . . . . 13 (0 โ‰ค 2 โ†’ (absโ€˜2) = 2)
5350, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜2) = 2
5453oveq1i 7419 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = (2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
5548, 49, 543eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
5655oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = ((2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)
5722recni 11228 . . . . . . . . . 10 (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‚
584, 57sqmuli 14148 . . . . . . . . 9 ((2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
59 sq2 14161 . . . . . . . . . 10 (2โ†‘2) = 4
6059oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) = (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
6156, 58, 603eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
621, 2hvsubcan2i 30317 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (2 ยทโ„Ž ๐ด)
6362oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) = ((2 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
643, 30, 11hvadd32i 30307 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
654, 1hvmulcli 30267 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹
6665, 6hvsubvali 30273 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((2 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
6763, 64, 663eqtr4i 2771 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((2 ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))
6833oveq1i 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
694, 1, 5hvsubdistr1i 30305 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = ((2 ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))
7067, 68, 693eqtr4i 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (2 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))
7170fveq2i 6895 . . . . . . . . . . 11 (normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (normโ„Žโ€˜(2 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
724, 16norm-iii-i 30392 . . . . . . . . . . 11 (normโ„Žโ€˜(2 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((absโ€˜2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
7353oveq1i 7419 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = (2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
7471, 72, 733eqtri 2765 . . . . . . . . . 10 (normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
7574oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = ((2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)
7617recni 11228 . . . . . . . . . 10 (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‚
774, 76sqmuli 14148 . . . . . . . . 9 ((2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
7859oveq1i 7419 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) = (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
7975, 77, 783eqtri 2765 . . . . . . . 8 ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
8061, 79oveq12i 7421 . . . . . . 7 (((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2)) = ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)))
8128, 80eqtr4i 2764 . . . . . 6 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) = (((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2))
827, 11normpari 30407 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)))
8381, 82eqtri 2761 . . . . 5 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)))
8483oveq1i 7419 . . . 4 (((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) / 2) = (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))) / 2)
854, 10mulcli 11221 . . . . 5 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚
864, 14mulcli 11221 . . . . 5 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚
8785, 86, 4, 26divdiri 11971 . . . 4 (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))) / 2) = (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) / 2) + ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) / 2))
8810, 4, 26divcan3i 11960 . . . . 5 ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) / 2) = ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)
8914, 4, 26divcan3i 11960 . . . . 5 ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) / 2) = ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)
9088, 89oveq12i 7421 . . . 4 (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) / 2) + ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) / 2)) = (((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))
9184, 87, 903eqtri 2765 . . 3 (((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) / 2) = (((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))
9215, 19, 4, 26div23i 11972 . . . . 5 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) = ((4 / 2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
93 4d2e2 12382 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
9493oveq1i 7419 . . . . 5 ((4 / 2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
9592, 94eqtri 2761 . . . 4 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
9615, 24, 4, 26div23i 11972 . . . . 5 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) = ((4 / 2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
9793oveq1i 7419 . . . . 5 ((4 / 2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
9896, 97eqtri 2761 . . . 4 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
9995, 98oveq12i 7421 . . 3 (((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) + ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)))
10027, 91, 993eqtr3i 2769 . 2 (((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)))
10110, 14, 100mvlladdi 11478 1 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249   โˆ’ cmin 11444  -cneg 11445   / cdiv 11871  2c2 12267  4c4 12269  โ†‘cexp 14027  abscabs 15181   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173   ยทโ„Ž csm 30174  normโ„Žcno 30176   โˆ’โ„Ž cmv 30178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-hfvadd 30253  ax-hvcom 30254  ax-hvass 30255  ax-hv0cl 30256  ax-hvaddid 30257  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulid 30259  ax-hvmulass 30260  ax-hvdistr1 30261  ax-hvdistr2 30262  ax-hvmul0 30263  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337  ax-his4 30338
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-hnorm 30221  df-hvsub 30224
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator