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Theorem normpar2i 28404
Description: Corollary of parallelogram law for norms. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. (Contributed by NM, 5-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normpar2.1 𝐴 ∈ ℋ
normpar2.2 𝐵 ∈ ℋ
normpar2.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normpar2i ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = (((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) − ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2))

Proof of Theorem normpar2i
StepHypRef Expression
1 normpar2.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℋ
2 normpar2.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvaddcli 28266 . . . . . 6 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
4 2cn 11347 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
5 normpar2.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℋ
64, 5hvmulcli 28262 . . . . . 6 (2 · 𝐶) ∈ ℋ
73, 6hvsubcli 28269 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) ∈ ℋ
87normcli 28379 . . . 4 (norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶))) ∈ ℝ
98resqcli 13156 . . 3 ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) ∈ ℝ
109recni 10308 . 2 ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) ∈ ℂ
111, 2hvsubcli 28269 . . . . 5 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
1211normcli 28379 . . . 4 (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ
1312resqcli 13156 . . 3 ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℝ
1413recni 10308 . 2 ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℂ
15 4cn 11358 . . . . 5 4 ∈ ℂ
161, 5hvsubcli 28269 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐶) ∈ ℋ
1716normcli 28379 . . . . . . 7 (norm‘(𝐴 𝐶)) ∈ ℝ
1817resqcli 13156 . . . . . 6 ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2) ∈ ℝ
1918recni 10308 . . . . 5 ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2) ∈ ℂ
2015, 19mulcli 10301 . . . 4 (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) ∈ ℂ
212, 5hvsubcli 28269 . . . . . . . 8 (𝐵 𝐶) ∈ ℋ
2221normcli 28379 . . . . . . 7 (norm‘(𝐵 𝐶)) ∈ ℝ
2322resqcli 13156 . . . . . 6 ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2) ∈ ℝ
2423recni 10308 . . . . 5 ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2) ∈ ℂ
2515, 24mulcli 10301 . . . 4 (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) ∈ ℂ
26 2ne0 11383 . . . 4 2 ≠ 0
2720, 25, 4, 26divdiri 11036 . . 3 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) / 2) = (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) + ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2))
2820, 25addcomi 10481 . . . . . . 7 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) = ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)))
29 neg1cn 11393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℂ
3029, 6hvmulcli 28262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · (2 · 𝐶)) ∈ ℋ
3129, 11hvmulcli 28262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · (𝐴 𝐵)) ∈ ℋ
323, 30, 31hvadd32i 28302 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) + (-1 · (2 · 𝐶)))
333, 6hvsubvali 28268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶)))
3433oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (-1 · (𝐴 𝐵)))
354, 2hvmulcli 28262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 𝐵) ∈ ℋ
3635, 6hvsubvali 28268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶)) = ((2 · 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶)))
371, 2hvcomi 28267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)
381, 2hvnegdii 28310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴)
3937, 38oveq12i 6854 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 𝐴))
402, 1hvsubcan2i 28312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4139, 40eqtri 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = (2 · 𝐵)
4241oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) + (-1 · (2 · 𝐶))) = ((2 · 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶)))
4336, 42eqtr4i 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶)) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) + (-1 · (2 · 𝐶)))
4432, 34, 433eqtr4i 2797 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶))
457, 11hvsubvali 28268 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (-1 · (𝐴 𝐵)))
464, 2, 5hvsubdistr1i 28300 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (𝐵 𝐶)) = ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶))
4744, 45, 463eqtr4i 2797 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)) = (2 · (𝐵 𝐶))
4847fveq2i 6378 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵))) = (norm‘(2 · (𝐵 𝐶)))
494, 21norm-iii-i 28387 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(2 · (𝐵 𝐶))) = ((abs‘2) · (norm‘(𝐵 𝐶)))
50 0le2 11381 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
51 2re 11346 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
5251absidi 14404 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
5350, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘2) = 2
5453oveq1i 6852 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (norm‘(𝐵 𝐶))) = (2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))
5548, 49, 543eqtri 2791 . . . . . . . . . 10 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵))) = (2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))
5655oveq1i 6852 . . . . . . . . 9 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) = ((2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))↑2)
5722recni 10308 . . . . . . . . . 10 (norm‘(𝐵 𝐶)) ∈ ℂ
584, 57sqmuli 13154 . . . . . . . . 9 ((2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))↑2) = ((2↑2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
59 sq2 13167 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
6059oveq1i 6852 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) = (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
6156, 58, 603eqtri 2791 . . . . . . . 8 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) = (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
621, 2hvsubcan2i 28312 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) = (2 · 𝐴)
6362oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) + (-1 · (2 · 𝐶))) = ((2 · 𝐴) + (-1 · (2 · 𝐶)))
643, 30, 11hvadd32i 28302 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) + (-1 · (2 · 𝐶)))
654, 1hvmulcli 28262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 𝐴) ∈ ℋ
6665, 6hvsubvali 28268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐶)) = ((2 · 𝐴) + (-1 · (2 · 𝐶)))
6763, 64, 663eqtr4i 2797 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (𝐴 𝐵)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐶))
6833oveq1i 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (𝐴 𝐵))
694, 1, 5hvsubdistr1i 28300 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (𝐴 𝐶)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐶))
7067, 68, 693eqtr4i 2797 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)) = (2 · (𝐴 𝐶))
7170fveq2i 6378 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵))) = (norm‘(2 · (𝐴 𝐶)))
724, 16norm-iii-i 28387 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(2 · (𝐴 𝐶))) = ((abs‘2) · (norm‘(𝐴 𝐶)))
7353oveq1i 6852 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (norm‘(𝐴 𝐶))) = (2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))
7471, 72, 733eqtri 2791 . . . . . . . . . 10 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵))) = (2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))
7574oveq1i 6852 . . . . . . . . 9 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2) = ((2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))↑2)
7617recni 10308 . . . . . . . . . 10 (norm‘(𝐴 𝐶)) ∈ ℂ
774, 76sqmuli 13154 . . . . . . . . 9 ((2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))↑2) = ((2↑2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
7859oveq1i 6852 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) = (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
7975, 77, 783eqtri 2791 . . . . . . . 8 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2) = (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
8061, 79oveq12i 6854 . . . . . . 7 (((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) + ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2)) = ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)))
8128, 80eqtr4i 2790 . . . . . 6 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) = (((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) + ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2))
827, 11normpari 28402 . . . . . 6 (((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) + ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2)) = ((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
8381, 82eqtri 2787 . . . . 5 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) = ((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
8483oveq1i 6852 . . . 4 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) / 2) = (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))) / 2)
854, 10mulcli 10301 . . . . 5 (2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
864, 14mulcli 10301 . . . . 5 (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) ∈ ℂ
8785, 86, 4, 26divdiri 11036 . . . 4 (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))) / 2) = (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) / 2) + ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) / 2))
8810, 4, 26divcan3i 11025 . . . . 5 ((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) / 2) = ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)
8914, 4, 26divcan3i 11025 . . . . 5 ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) / 2) = ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)
9088, 89oveq12i 6854 . . . 4 (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) / 2) + ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) / 2)) = (((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) + ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))
9184, 87, 903eqtri 2791 . . 3 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) / 2) = (((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) + ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))
9215, 19, 4, 26div23i 11037 . . . . 5 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) = ((4 / 2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
93 4d2e2 11448 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
9493oveq1i 6852 . . . . 5 ((4 / 2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) = (2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
9592, 94eqtri 2787 . . . 4 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) = (2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
9615, 24, 4, 26div23i 11037 . . . . 5 ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2) = ((4 / 2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
9793oveq1i 6852 . . . . 5 ((4 / 2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) = (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
9896, 97eqtri 2787 . . . 4 ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2) = (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
9995, 98oveq12i 6854 . . 3 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) + ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2)) = ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)))
10027, 91, 993eqtr3i 2795 . 2 (((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) + ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)))
10110, 14, 100mvlladdi 10553 1 ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = (((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) − ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  2c2 11327  4c4 11329  cexp 13067  abscabs 14261  chba 28167   + cva 28168   · csm 28169  normcno 28171   cmv 28173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-hfvadd 28248  ax-hvcom 28249  ax-hvass 28250  ax-hv0cl 28251  ax-hvaddid 28252  ax-hfvmul 28253  ax-hvmulid 28254  ax-hvmulass 28255  ax-hvdistr1 28256  ax-hvdistr2 28257  ax-hvmul0 28258  ax-hfi 28327  ax-his1 28330  ax-his2 28331  ax-his3 28332  ax-his4 28333
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-seq 13009  df-exp 13068  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-hnorm 28216  df-hvsub 28219
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