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Theorem normpar2i 28925
Description: Corollary of parallelogram law for norms. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. (Contributed by NM, 5-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normpar2.1 𝐴 ∈ ℋ
normpar2.2 𝐵 ∈ ℋ
normpar2.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normpar2i ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = (((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) − ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2))

Proof of Theorem normpar2i
StepHypRef Expression
1 normpar2.1 . . . . . . 7 𝐴 ∈ ℋ
2 normpar2.2 . . . . . . 7 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvaddcli 28787 . . . . . 6 (𝐴 + 𝐵) ∈ ℋ
4 2cn 11704 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
5 normpar2.3 . . . . . . 7 𝐶 ∈ ℋ
64, 5hvmulcli 28783 . . . . . 6 (2 · 𝐶) ∈ ℋ
73, 6hvsubcli 28790 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) ∈ ℋ
87normcli 28900 . . . 4 (norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶))) ∈ ℝ
98resqcli 13541 . . 3 ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) ∈ ℝ
109recni 10647 . 2 ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) ∈ ℂ
111, 2hvsubcli 28790 . . . . 5 (𝐴 𝐵) ∈ ℋ
1211normcli 28900 . . . 4 (norm‘(𝐴 𝐵)) ∈ ℝ
1312resqcli 13541 . . 3 ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℝ
1413recni 10647 . 2 ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) ∈ ℂ
15 4cn 11714 . . . . 5 4 ∈ ℂ
161, 5hvsubcli 28790 . . . . . . . 8 (𝐴 𝐶) ∈ ℋ
1716normcli 28900 . . . . . . 7 (norm‘(𝐴 𝐶)) ∈ ℝ
1817resqcli 13541 . . . . . 6 ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2) ∈ ℝ
1918recni 10647 . . . . 5 ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2) ∈ ℂ
2015, 19mulcli 10640 . . . 4 (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) ∈ ℂ
212, 5hvsubcli 28790 . . . . . . . 8 (𝐵 𝐶) ∈ ℋ
2221normcli 28900 . . . . . . 7 (norm‘(𝐵 𝐶)) ∈ ℝ
2322resqcli 13541 . . . . . 6 ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2) ∈ ℝ
2423recni 10647 . . . . 5 ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2) ∈ ℂ
2515, 24mulcli 10640 . . . 4 (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) ∈ ℂ
26 2ne0 11733 . . . 4 2 ≠ 0
2720, 25, 4, 26divdiri 11389 . . 3 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) / 2) = (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) + ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2))
2820, 25addcomi 10823 . . . . . . 7 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) = ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)))
29 neg1cn 11743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 ∈ ℂ
3029, 6hvmulcli 28783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · (2 · 𝐶)) ∈ ℋ
3129, 11hvmulcli 28783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 · (𝐴 𝐵)) ∈ ℋ
323, 30, 31hvadd32i 28823 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) + (-1 · (2 · 𝐶)))
333, 6hvsubvali 28789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶)))
3433oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (-1 · (𝐴 𝐵)))
354, 2hvmulcli 28783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 · 𝐵) ∈ ℋ
3635, 6hvsubvali 28789 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶)) = ((2 · 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶)))
371, 2hvcomi 28788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + 𝐴)
381, 2hvnegdii 28831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 · (𝐴 𝐵)) = (𝐵 𝐴)
3937, 38oveq12i 7160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 𝐴))
402, 1hvsubcan2i 28833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 + 𝐴) + (𝐵 𝐴)) = (2 · 𝐵)
4139, 40eqtri 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = (2 · 𝐵)
4241oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) + (-1 · (2 · 𝐶))) = ((2 · 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶)))
4336, 42eqtr4i 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶)) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (𝐴 𝐵))) + (-1 · (2 · 𝐶)))
4432, 34, 433eqtr4i 2852 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (-1 · (𝐴 𝐵))) = ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶))
457, 11hvsubvali 28789 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (-1 · (𝐴 𝐵)))
464, 2, 5hvsubdistr1i 28821 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (𝐵 𝐶)) = ((2 · 𝐵) − (2 · 𝐶))
4744, 45, 463eqtr4i 2852 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)) = (2 · (𝐵 𝐶))
4847fveq2i 6666 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵))) = (norm‘(2 · (𝐵 𝐶)))
494, 21norm-iii-i 28908 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(2 · (𝐵 𝐶))) = ((abs‘2) · (norm‘(𝐵 𝐶)))
50 0le2 11731 . . . . . . . . . . . . 13 0 ≤ 2
51 2re 11703 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ
5251absidi 14729 . . . . . . . . . . . . 13 (0 ≤ 2 → (abs‘2) = 2)
5350, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (abs‘2) = 2
5453oveq1i 7158 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (norm‘(𝐵 𝐶))) = (2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))
5548, 49, 543eqtri 2846 . . . . . . . . . 10 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵))) = (2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))
5655oveq1i 7158 . . . . . . . . 9 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) = ((2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))↑2)
5722recni 10647 . . . . . . . . . 10 (norm‘(𝐵 𝐶)) ∈ ℂ
584, 57sqmuli 13539 . . . . . . . . 9 ((2 · (norm‘(𝐵 𝐶)))↑2) = ((2↑2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
59 sq2 13552 . . . . . . . . . 10 (2↑2) = 4
6059oveq1i 7158 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) = (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
6156, 58, 603eqtri 2846 . . . . . . . 8 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) = (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
621, 2hvsubcan2i 28833 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) = (2 · 𝐴)
6362oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) + (-1 · (2 · 𝐶))) = ((2 · 𝐴) + (-1 · (2 · 𝐶)))
643, 30, 11hvadd32i 28823 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) + (𝐴 𝐵)) + (-1 · (2 · 𝐶)))
654, 1hvmulcli 28783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 · 𝐴) ∈ ℋ
6665, 6hvsubvali 28789 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐶)) = ((2 · 𝐴) + (-1 · (2 · 𝐶)))
6763, 64, 663eqtr4i 2852 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (𝐴 𝐵)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐶))
6833oveq1i 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)) = (((𝐴 + 𝐵) + (-1 · (2 · 𝐶))) + (𝐴 𝐵))
694, 1, 5hvsubdistr1i 28821 . . . . . . . . . . . . 13 (2 · (𝐴 𝐶)) = ((2 · 𝐴) − (2 · 𝐶))
7067, 68, 693eqtr4i 2852 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)) = (2 · (𝐴 𝐶))
7170fveq2i 6666 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵))) = (norm‘(2 · (𝐴 𝐶)))
724, 16norm-iii-i 28908 . . . . . . . . . . 11 (norm‘(2 · (𝐴 𝐶))) = ((abs‘2) · (norm‘(𝐴 𝐶)))
7353oveq1i 7158 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘2) · (norm‘(𝐴 𝐶))) = (2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))
7471, 72, 733eqtri 2846 . . . . . . . . . 10 (norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵))) = (2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))
7574oveq1i 7158 . . . . . . . . 9 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2) = ((2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))↑2)
7617recni 10647 . . . . . . . . . 10 (norm‘(𝐴 𝐶)) ∈ ℂ
774, 76sqmuli 13539 . . . . . . . . 9 ((2 · (norm‘(𝐴 𝐶)))↑2) = ((2↑2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
7859oveq1i 7158 . . . . . . . . 9 ((2↑2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) = (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
7975, 77, 783eqtri 2846 . . . . . . . 8 ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2) = (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
8061, 79oveq12i 7160 . . . . . . 7 (((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) + ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2)) = ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)))
8128, 80eqtr4i 2845 . . . . . 6 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) = (((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) + ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2))
827, 11normpari 28923 . . . . . 6 (((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) − (𝐴 𝐵)))↑2) + ((norm‘(((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)) + (𝐴 𝐵)))↑2)) = ((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
8381, 82eqtri 2842 . . . . 5 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) = ((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)))
8483oveq1i 7158 . . . 4 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) / 2) = (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))) / 2)
854, 10mulcli 10640 . . . . 5 (2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) ∈ ℂ
864, 14mulcli 10640 . . . . 5 (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) ∈ ℂ
8785, 86, 4, 26divdiri 11389 . . . 4 (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))) / 2) = (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) / 2) + ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) / 2))
8810, 4, 26divcan3i 11378 . . . . 5 ((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) / 2) = ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)
8914, 4, 26divcan3i 11378 . . . . 5 ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) / 2) = ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)
9088, 89oveq12i 7160 . . . 4 (((2 · ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2)) / 2) + ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) / 2)) = (((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) + ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))
9184, 87, 903eqtri 2846 . . 3 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) / 2) = (((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) + ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2))
9215, 19, 4, 26div23i 11390 . . . . 5 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) = ((4 / 2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
93 4d2e2 11799 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
9493oveq1i 7158 . . . . 5 ((4 / 2) · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) = (2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
9592, 94eqtri 2842 . . . 4 ((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) = (2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2))
9615, 24, 4, 26div23i 11390 . . . . 5 ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2) = ((4 / 2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
9793oveq1i 7158 . . . . 5 ((4 / 2) · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) = (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
9896, 97eqtri 2842 . . . 4 ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2) = (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))
9995, 98oveq12i 7160 . . 3 (((4 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) / 2) + ((4 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)) / 2)) = ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)))
10027, 91, 993eqtr3i 2850 . 2 (((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2) + ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2)) = ((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2)))
10110, 14, 100mvlladdi 10896 1 ((norm‘(𝐴 𝐵))↑2) = (((2 · ((norm‘(𝐴 𝐶))↑2)) + (2 · ((norm‘(𝐵 𝐶))↑2))) − ((norm‘((𝐴 + 𝐵) − (2 · 𝐶)))↑2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1530  wcel 2107   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7148  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   · cmul 10534  cle 10668  cmin 10862  -cneg 10863   / cdiv 11289  2c2 11684  4c4 11686  cexp 13421  abscabs 14585  chba 28688   + cva 28689   · csm 28690  normcno 28692   cmv 28694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-hfvadd 28769  ax-hvcom 28770  ax-hvass 28771  ax-hv0cl 28772  ax-hvaddid 28773  ax-hfvmul 28774  ax-hvmulid 28775  ax-hvmulass 28776  ax-hvdistr1 28777  ax-hvdistr2 28778  ax-hvmul0 28779  ax-hfi 28848  ax-his1 28851  ax-his2 28852  ax-his3 28853  ax-his4 28854
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-sup 8898  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12382  df-seq 13362  df-exp 13422  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-hnorm 28737  df-hvsub 28740
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