HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normpar2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem normpar2i 30447
Description: Corollary of parallelogram law for norms. Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 100. (Contributed by NM, 5-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normpar2.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
normpar2.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
normpar2.3 ๐ถ โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
normpar2i ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2))

Proof of Theorem normpar2i
StepHypRef Expression
1 normpar2.1 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 normpar2.2 . . . . . . 7 ๐ต โˆˆ โ„‹
31, 2hvaddcli 30309 . . . . . 6 (๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
4 2cn 12289 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„‚
5 normpar2.3 . . . . . . 7 ๐ถ โˆˆ โ„‹
64, 5hvmulcli 30305 . . . . . 6 (2 ยทโ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹
73, 6hvsubcli 30312 . . . . 5 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‹
87normcli 30422 . . . 4 (normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) โˆˆ โ„
98resqcli 14152 . . 3 ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) โˆˆ โ„
109recni 11230 . 2 ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) โˆˆ โ„‚
111, 2hvsubcli 30312 . . . . 5 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
1211normcli 30422 . . . 4 (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„
1312resqcli 14152 . . 3 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„
1413recni 11230 . 2 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) โˆˆ โ„‚
15 4cn 12299 . . . . 5 4 โˆˆ โ„‚
161, 5hvsubcli 30312 . . . . . . . 8 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹
1716normcli 30422 . . . . . . 7 (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„
1817resqcli 14152 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„
1918recni 11230 . . . . 5 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„‚
2015, 19mulcli 11223 . . . 4 (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚
212, 5hvsubcli 30312 . . . . . . . 8 (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ) โˆˆ โ„‹
2221normcli 30422 . . . . . . 7 (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„
2322resqcli 14152 . . . . . 6 ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„
2423recni 11230 . . . . 5 ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2) โˆˆ โ„‚
2515, 24mulcli 11223 . . . 4 (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚
26 2ne0 12318 . . . 4 2 โ‰  0
2720, 25, 4, 26divdiri 11973 . . 3 (((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) / 2) = (((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) + ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2))
2820, 25addcomi 11407 . . . . . . 7 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) = ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)))
29 neg1cn 12328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -1 โˆˆ โ„‚
3029, 6hvmulcli 30305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‹
3129, 11hvmulcli 30305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹
323, 30, 31hvadd32i 30345 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
333, 6hvsubvali 30311 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
3433oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
354, 2hvmulcli 30305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
3635, 6hvsubvali 30311 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((2 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((2 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
371, 2hvcomi 30310 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐ด +โ„Ž ๐ต) = (๐ต +โ„Ž ๐ด)
381, 2hvnegdii 30353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)
3937, 38oveq12i 7423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = ((๐ต +โ„Ž ๐ด) +โ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด))
402, 1hvsubcan2i 30355 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐ต +โ„Ž ๐ด) +โ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ด)) = (2 ยทโ„Ž ๐ต)
4139, 40eqtri 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (2 ยทโ„Ž ๐ต)
4241oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) = ((2 ยทโ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
4336, 42eqtr4i 2763 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
4432, 34, 433eqtr4i 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = ((2 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))
457, 11hvsubvali 30311 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))
464, 2, 5hvsubdistr1i 30343 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = ((2 ยทโ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))
4744, 45, 463eqtr4i 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (2 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))
4847fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 (normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (normโ„Žโ€˜(2 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
494, 21norm-iii-i 30430 . . . . . . . . . . 11 (normโ„Žโ€˜(2 ยทโ„Ž (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((absโ€˜2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
50 0le2 12316 . . . . . . . . . . . . 13 0 โ‰ค 2
51 2re 12288 . . . . . . . . . . . . . 14 2 โˆˆ โ„
5251absidi 15326 . . . . . . . . . . . . 13 (0 โ‰ค 2 โ†’ (absโ€˜2) = 2)
5350, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (absโ€˜2) = 2
5453oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = (2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
5548, 49, 543eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
5655oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = ((2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)
5722recni 11230 . . . . . . . . . 10 (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‚
584, 57sqmuli 14150 . . . . . . . . 9 ((2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
59 sq2 14163 . . . . . . . . . 10 (2โ†‘2) = 4
6059oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) = (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
6156, 58, 603eqtri 2764 . . . . . . . 8 ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
621, 2hvsubcan2i 30355 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (2 ยทโ„Ž ๐ด)
6362oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) = ((2 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
643, 30, 11hvadd32i 30345 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
654, 1hvmulcli 30305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ยทโ„Ž ๐ด) โˆˆ โ„‹
6665, 6hvsubvali 30311 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) = ((2 ยทโ„Ž ๐ด) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))
6763, 64, 663eqtr4i 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = ((2 ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))
6833oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))
694, 1, 5hvsubdistr1i 30343 . . . . . . . . . . . . 13 (2 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)) = ((2 ยทโ„Ž ๐ด) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ))
7067, 68, 693eqtr4i 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)) = (2 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))
7170fveq2i 6894 . . . . . . . . . . 11 (normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (normโ„Žโ€˜(2 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
724, 16norm-iii-i 30430 . . . . . . . . . . 11 (normโ„Žโ€˜(2 ยทโ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = ((absโ€˜2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
7353oveq1i 7421 . . . . . . . . . . 11 ((absโ€˜2) ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))) = (2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
7471, 72, 733eqtri 2764 . . . . . . . . . 10 (normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))) = (2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))
7574oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = ((2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)
7617recni 11230 . . . . . . . . . 10 (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)) โˆˆ โ„‚
774, 76sqmuli 14150 . . . . . . . . 9 ((2 ยท (normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
7859oveq1i 7421 . . . . . . . . 9 ((2โ†‘2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) = (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
7975, 77, 783eqtri 2764 . . . . . . . 8 ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) = (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
8061, 79oveq12i 7423 . . . . . . 7 (((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2)) = ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)))
8128, 80eqtr4i 2763 . . . . . 6 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) = (((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2))
827, 11normpari 30445 . . . . . 6 (((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) โˆ’โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)) +โ„Ž (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต)))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)))
8381, 82eqtri 2760 . . . . 5 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)))
8483oveq1i 7421 . . . 4 (((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) / 2) = (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))) / 2)
854, 10mulcli 11223 . . . . 5 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚
864, 14mulcli 11223 . . . . 5 (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) โˆˆ โ„‚
8785, 86, 4, 26divdiri 11973 . . . 4 (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))) / 2) = (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) / 2) + ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) / 2))
8810, 4, 26divcan3i 11962 . . . . 5 ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) / 2) = ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)
8914, 4, 26divcan3i 11962 . . . . 5 ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) / 2) = ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)
9088, 89oveq12i 7423 . . . 4 (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2)) / 2) + ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) / 2)) = (((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))
9184, 87, 903eqtri 2764 . . 3 (((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) / 2) = (((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2))
9215, 19, 4, 26div23i 11974 . . . . 5 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) = ((4 / 2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
93 4d2e2 12384 . . . . . 6 (4 / 2) = 2
9493oveq1i 7421 . . . . 5 ((4 / 2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
9592, 94eqtri 2760 . . . 4 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
9615, 24, 4, 26div23i 11974 . . . . 5 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) = ((4 / 2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
9793oveq1i 7421 . . . . 5 ((4 / 2) ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
9896, 97eqtri 2760 . . . 4 ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) = (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))
9995, 98oveq12i 7423 . . 3 (((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2) + ((4 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) / 2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)))
10027, 91, 993eqtr3i 2768 . 2 (((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2) + ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2)) = ((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)))
10110, 14, 100mvlladdi 11480 1 ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต))โ†‘2) = (((2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ด โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2)) + (2 ยท ((normโ„Žโ€˜(๐ต โˆ’โ„Ž ๐ถ))โ†‘2))) โˆ’ ((normโ„Žโ€˜((๐ด +โ„Ž ๐ต) โˆ’โ„Ž (2 ยทโ„Ž ๐ถ)))โ†‘2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  2c2 12269  4c4 12271  โ†‘cexp 14029  abscabs 15183   โ„‹chba 30210   +โ„Ž cva 30211   ยทโ„Ž csm 30212  normโ„Žcno 30214   โˆ’โ„Ž cmv 30216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-hfvadd 30291  ax-hvcom 30292  ax-hvass 30293  ax-hv0cl 30294  ax-hvaddid 30295  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulid 30297  ax-hvmulass 30298  ax-hvdistr1 30299  ax-hvdistr2 30300  ax-hvmul0 30301  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375  ax-his4 30376
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-hnorm 30259  df-hvsub 30262
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator