Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  pjssmii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pjssmii 29442
 Description: Projection meet property. Remark in [Kalmbach] p. 66. Also Theorem 4.5(i)->(iv) of [Beran] p. 112. (Contributed by NM, 31-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pjidm.1 𝐻C
pjidm.2 𝐴 ∈ ℋ
pjsslem.1 𝐺C
Assertion
Ref Expression
pjssmii (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))

Proof of Theorem pjssmii
StepHypRef Expression
1 pjsslem.1 . . . . 5 𝐺C
2 pjidm.1 . . . . . 6 𝐻C
32choccli 29068 . . . . 5 (⊥‘𝐻) ∈ C
41, 3chincli 29221 . . . 4 (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ∈ C
5 pjidm.2 . . . . 5 𝐴 ∈ ℋ
61, 5pjhclii 29183 . . . 4 ((proj𝐺)‘𝐴) ∈ ℋ
72, 5pjhclii 29183 . . . 4 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ ℋ
84, 6, 7pjsubii 29439 . . 3 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) − ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)))
94, 6pjhclii 29183 . . . . 5 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) ∈ ℋ
104, 7pjhclii 29183 . . . . 5 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
119, 10hvsubvali 28781 . . . 4 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) − ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) + (-1 · ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴))))
12 inss1 4180 . . . . . . 7 (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ⊆ 𝐺
134, 5, 1pjss2i 29441 . . . . . . 7 ((𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ⊆ 𝐺 → ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))
1412, 13ax-mp 5 . . . . . 6 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)
152chshii 28988 . . . . . . . . . . . 12 𝐻S
16 shococss 29055 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻S𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 𝐻 ⊆ (⊥‘(⊥‘𝐻))
18 inss2 4181 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ⊆ (⊥‘𝐻)
194, 3chsscon3i 29222 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ⊆ (⊥‘𝐻) ↔ (⊥‘(⊥‘𝐻)) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))))
2018, 19mpbi 233 . . . . . . . . . . 11 (⊥‘(⊥‘𝐻)) ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
2117, 20sstri 3952 . . . . . . . . . 10 𝐻 ⊆ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
222, 5pjclii 29182 . . . . . . . . . 10 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻
2321, 22sselii 3940 . . . . . . . . 9 ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))
244, 7pjoc2i 29199 . . . . . . . . 9 (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ (⊥‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻))) ↔ ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)) = 0)
2523, 24mpbi 233 . . . . . . . 8 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)) = 0
2625oveq2i 7141 . . . . . . 7 (-1 · ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴))) = (-1 · 0)
27 neg1cn 11729 . . . . . . . 8 -1 ∈ ℂ
28 hvmul0 28785 . . . . . . . 8 (-1 ∈ ℂ → (-1 · 0) = 0)
2927, 28ax-mp 5 . . . . . . 7 (-1 · 0) = 0
3026, 29eqtri 2844 . . . . . 6 (-1 · ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴))) = 0
3114, 30oveq12i 7142 . . . . 5 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) + (-1 · ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)))) = (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) + 0)
324, 5pjhclii 29183 . . . . . 6 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) ∈ ℋ
33 ax-hvaddid 28765 . . . . . 6 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) ∈ ℋ → (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) + 0) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))
3432, 33ax-mp 5 . . . . 5 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴) + 0) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)
3531, 34eqtri 2844 . . . 4 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) + (-1 · ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴)))) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)
3611, 35eqtri 2844 . . 3 (((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐺)‘𝐴)) − ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘((proj𝐻)‘𝐴))) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)
378, 36eqtri 2844 . 2 ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴)
381, 5pjclii 29182 . . . . 5 ((proj𝐺)‘𝐴) ∈ 𝐺
39 ssel 3937 . . . . . 6 (𝐻𝐺 → (((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐻 → ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺))
4022, 39mpi 20 . . . . 5 (𝐻𝐺 → ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺)
411chshii 28988 . . . . . 6 𝐺S
42 shsubcl 28981 . . . . . 6 ((𝐺S ∧ ((proj𝐺)‘𝐴) ∈ 𝐺 ∧ ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺) → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4341, 42mp3an1 1445 . . . . 5 ((((proj𝐺)‘𝐴) ∈ 𝐺 ∧ ((proj𝐻)‘𝐴) ∈ 𝐺) → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺)
4438, 40, 43sylancr 590 . . . 4 (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺)
452, 5, 1pjsslem 29440 . . . . 5 (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))
462, 1chsscon3i 29222 . . . . . 6 (𝐻𝐺 ↔ (⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻))
473, 5pjclii 29182 . . . . . . 7 ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)
481choccli 29068 . . . . . . . . 9 (⊥‘𝐺) ∈ C
4948, 5pjclii 29182 . . . . . . . 8 ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐺)
50 ssel 3937 . . . . . . . 8 ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → (((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐺) → ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)))
5149, 50mpi 20 . . . . . . 7 ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻))
523chshii 28988 . . . . . . . 8 (⊥‘𝐻) ∈ S
53 shsubcl 28981 . . . . . . . 8 (((⊥‘𝐻) ∈ S ∧ ((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
5452, 53mp3an1 1445 . . . . . . 7 ((((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻) ∧ ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴) ∈ (⊥‘𝐻)) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
5547, 51, 54sylancr 590 . . . . . 6 ((⊥‘𝐺) ⊆ (⊥‘𝐻) → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
5646, 55sylbi 220 . . . . 5 (𝐻𝐺 → (((proj‘(⊥‘𝐻))‘𝐴) − ((proj‘(⊥‘𝐺))‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
5745, 56eqeltrrid 2917 . . . 4 (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻))
5844, 57jca 515 . . 3 (𝐻𝐺 → ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺 ∧ (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻)))
59 elin 3926 . . . 4 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺 ∧ (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻)))
606, 7hvsubcli 28782 . . . . 5 (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ ℋ
614, 60pjchi 29193 . . . 4 ((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)) ↔ ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)))
6259, 61bitr3i 280 . . 3 (((((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ 𝐺 ∧ (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) ∈ (⊥‘𝐻)) ↔ ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)))
6358, 62sylib 221 . 2 (𝐻𝐺 → ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘(((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴))) = (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)))
6437, 63syl5reqr 2871 1 (𝐻𝐺 → (((proj𝐺)‘𝐴) − ((proj𝐻)‘𝐴)) = ((proj‘(𝐺 ∩ (⊥‘𝐻)))‘𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ∩ cin 3909   ⊆ wss 3910  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  ℂcc 10512  1c1 10515  -cneg 10848   ℋchba 28680   +ℎ cva 28681   ·ℎ csm 28682  0ℎc0v 28685   −ℎ cmv 28686   Sℋ csh 28689   Cℋ cch 28690  ⊥cort 28691  projℎcpjh 28698 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cc 9834  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593  ax-mulf 10594  ax-hilex 28760  ax-hfvadd 28761  ax-hvcom 28762  ax-hvass 28763  ax-hv0cl 28764  ax-hvaddid 28765  ax-hfvmul 28766  ax-hvmulid 28767  ax-hvmulass 28768  ax-hvdistr1 28769  ax-hvdistr2 28770  ax-hvmul0 28771  ax-hfi 28840  ax-his1 28843  ax-his2 28844  ax-his3 28845  ax-his4 28846  ax-hcompl 28963 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-iin 4895  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-supp 7806  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-omul 8082  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-ixp 8437  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-acn 9347  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-dec 12077  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-rlim 14825  df-sum 15022  df-struct 16463  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-starv 16558  df-sca 16559  df-vsca 16560  df-ip 16561  df-tset 16562  df-ple 16563  df-ds 16565  df-unif 16566  df-hom 16567  df-cco 16568  df-rest 16674  df-topn 16675  df-0g 16693  df-gsum 16694  df-topgen 16695  df-pt 16696  df-prds 16699  df-xrs 16753  df-qtop 16758  df-imas 16759  df-xps 16761  df-mre 16835  df-mrc 16836  df-acs 16838  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-mulg 18203  df-cntz 18425  df-cmn 18886  df-psmet 20512  df-xmet 20513  df-met 20514  df-bl 20515  df-mopn 20516  df-fbas 20517  df-fg 20518  df-cnfld 20521  df-top 21477  df-topon 21494  df-topsp 21516  df-bases 21529  df-cld 21602  df-ntr 21603  df-cls 21604  df-nei 21681  df-cn 21810  df-cnp 21811  df-lm 21812  df-haus 21898  df-tx 22145  df-hmeo 22338  df-fil 22429  df-fm 22521  df-flim 22522  df-flf 22523  df-xms 22905  df-ms 22906  df-tms 22907  df-cfil 23837  df-cau 23838  df-cmet 23839  df-grpo 28254  df-gid 28255  df-ginv 28256  df-gdiv 28257  df-ablo 28306  df-vc 28320  df-nv 28353  df-va 28356  df-ba 28357  df-sm 28358  df-0v 28359  df-vs 28360  df-nmcv 28361  df-ims 28362  df-dip 28462  df-ssp 28483  df-ph 28574  df-cbn 28624  df-hnorm 28729  df-hba 28730  df-hvsub 28732  df-hlim 28733  df-hcau 28734  df-sh 28968  df-ch 28982  df-oc 29013  df-ch0 29014  df-shs 29069  df-pjh 29156 This theorem is referenced by:  pjcji  29445  pjssmi  29926
 Copyright terms: Public domain W3C validator