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Theorem normlem9 30109
Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem8.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem9 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem9
StepHypRef Expression
1 normlem8.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normlem8.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 30011 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
4 normlem8.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
5 normlem8.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
64, 5hvsubvali 30011 . . 3 (𝐶 𝐷) = (𝐶 + (-1 · 𝐷))
73, 6oveq12i 7373 . 2 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih (𝐶 + (-1 · 𝐷)))
8 neg1cn 12275 . . . 4 -1 ∈ ℂ
98, 2hvmulcli 30005 . . 3 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
108, 5hvmulcli 30005 . . 3 (-1 · 𝐷) ∈ ℋ
111, 9, 4, 10normlem8 30108 . 2 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih (𝐶 + (-1 · 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)))
12 ax-his3 30075 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷))))
138, 2, 10, 12mp3an 1462 . . . . . 6 ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)))
14 his5 30077 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
158, 2, 5, 14mp3an 1462 . . . . . . 7 (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷))
1615oveq2i 7372 . . . . . 6 (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷))) = (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
17 neg1rr 12276 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℝ
18 cjre 15033 . . . . . . . . . . 11 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∗‘-1) = -1
2019oveq2i 7372 . . . . . . . . 9 (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
21 ax-1cn 11117 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
2221, 21mul2negi 11611 . . . . . . . . 9 (-1 · -1) = (1 · 1)
2321mulid2i 11168 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
2420, 22, 233eqtri 2765 . . . . . . . 8 (-1 · (∗‘-1)) = 1
2524oveq1i 7371 . . . . . . 7 ((-1 · (∗‘-1)) · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (1 · (𝐵 ·ih 𝐷))
268cjcli 15063 . . . . . . . 8 (∗‘-1) ∈ ℂ
272, 5hicli 30072 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
288, 26, 27mulassi 11174 . . . . . . 7 ((-1 · (∗‘-1)) · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
2927mulid2i 11168 . . . . . . 7 (1 · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3025, 28, 293eqtr3i 2769 . . . . . 6 (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷))) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3113, 16, 303eqtri 2765 . . . . 5 ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3231oveq2i 7372 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
33 his5 30077 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷)))
348, 1, 5, 33mp3an 1462 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷))
3519oveq1i 7371 . . . . . . 7 ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷)) = (-1 · (𝐴 ·ih 𝐷))
361, 5hicli 30072 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
3736mulm1i 11608 . . . . . . 7 (-1 · (𝐴 ·ih 𝐷)) = -(𝐴 ·ih 𝐷)
3834, 35, 373eqtri 2765 . . . . . 6 (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = -(𝐴 ·ih 𝐷)
39 ax-his3 30075 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
408, 2, 4, 39mp3an 1462 . . . . . . 7 ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶))
412, 4hicli 30072 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
4241mulm1i 11608 . . . . . . 7 (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)) = -(𝐵 ·ih 𝐶)
4340, 42eqtri 2761 . . . . . 6 ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = -(𝐵 ·ih 𝐶)
4438, 43oveq12i 7373 . . . . 5 ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = (-(𝐴 ·ih 𝐷) + -(𝐵 ·ih 𝐶))
4536, 41negdii 11493 . . . . 5 -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)) = (-(𝐴 ·ih 𝐷) + -(𝐵 ·ih 𝐶))
4644, 45eqtr4i 2764 . . . 4 ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))
4732, 46oveq12i 7373 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
481, 4hicli 30072 . . . . 5 (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
4948, 27addcli 11169 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
5036, 41addcli 11169 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)) ∈ ℂ
5149, 50negsubi 11487 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
5247, 51eqtri 2761 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
537, 11, 523eqtri 2765 1 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6500  (class class class)co 7361  cc 11057  cr 11058  1c1 11060   + caddc 11062   · cmul 11064  cmin 11393  -cneg 11394  ccj 14990  chba 29910   + cva 29911   · csm 29912   ·ih csp 29913   cmv 29916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-hfvadd 29991  ax-hfvmul 29996  ax-hfi 30070  ax-his1 30073  ax-his2 30074  ax-his3 30075
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-2 12224  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-hvsub 29962
This theorem is referenced by:  bcseqi  30111  normlem9at  30112  normpari  30145  polid2i  30148
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