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Theorem normlem9 31150
Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem8.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem9 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem9
StepHypRef Expression
1 normlem8.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normlem8.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 31052 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
4 normlem8.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
5 normlem8.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
64, 5hvsubvali 31052 . . 3 (𝐶 𝐷) = (𝐶 + (-1 · 𝐷))
73, 6oveq12i 7460 . 2 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih (𝐶 + (-1 · 𝐷)))
8 neg1cn 12407 . . . 4 -1 ∈ ℂ
98, 2hvmulcli 31046 . . 3 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
108, 5hvmulcli 31046 . . 3 (-1 · 𝐷) ∈ ℋ
111, 9, 4, 10normlem8 31149 . 2 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih (𝐶 + (-1 · 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)))
12 ax-his3 31116 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷))))
138, 2, 10, 12mp3an 1461 . . . . . 6 ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)))
14 his5 31118 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
158, 2, 5, 14mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷))
1615oveq2i 7459 . . . . . 6 (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷))) = (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
17 neg1rr 12408 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℝ
18 cjre 15188 . . . . . . . . . . 11 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∗‘-1) = -1
2019oveq2i 7459 . . . . . . . . 9 (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
21 ax-1cn 11242 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
2221, 21mul2negi 11738 . . . . . . . . 9 (-1 · -1) = (1 · 1)
2321mullidi 11295 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
2420, 22, 233eqtri 2772 . . . . . . . 8 (-1 · (∗‘-1)) = 1
2524oveq1i 7458 . . . . . . 7 ((-1 · (∗‘-1)) · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (1 · (𝐵 ·ih 𝐷))
268cjcli 15218 . . . . . . . 8 (∗‘-1) ∈ ℂ
272, 5hicli 31113 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
288, 26, 27mulassi 11301 . . . . . . 7 ((-1 · (∗‘-1)) · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
2927mullidi 11295 . . . . . . 7 (1 · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3025, 28, 293eqtr3i 2776 . . . . . 6 (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷))) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3113, 16, 303eqtri 2772 . . . . 5 ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3231oveq2i 7459 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
33 his5 31118 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷)))
348, 1, 5, 33mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷))
3519oveq1i 7458 . . . . . . 7 ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷)) = (-1 · (𝐴 ·ih 𝐷))
361, 5hicli 31113 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
3736mulm1i 11735 . . . . . . 7 (-1 · (𝐴 ·ih 𝐷)) = -(𝐴 ·ih 𝐷)
3834, 35, 373eqtri 2772 . . . . . 6 (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = -(𝐴 ·ih 𝐷)
39 ax-his3 31116 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
408, 2, 4, 39mp3an 1461 . . . . . . 7 ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶))
412, 4hicli 31113 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
4241mulm1i 11735 . . . . . . 7 (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)) = -(𝐵 ·ih 𝐶)
4340, 42eqtri 2768 . . . . . 6 ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = -(𝐵 ·ih 𝐶)
4438, 43oveq12i 7460 . . . . 5 ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = (-(𝐴 ·ih 𝐷) + -(𝐵 ·ih 𝐶))
4536, 41negdii 11620 . . . . 5 -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)) = (-(𝐴 ·ih 𝐷) + -(𝐵 ·ih 𝐶))
4644, 45eqtr4i 2771 . . . 4 ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))
4732, 46oveq12i 7460 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
481, 4hicli 31113 . . . . 5 (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
4948, 27addcli 11296 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
5036, 41addcli 11296 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)) ∈ ℂ
5149, 50negsubi 11614 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
5247, 51eqtri 2768 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
537, 11, 523eqtri 2772 1 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  wcel 2108  cfv 6573  (class class class)co 7448  cc 11182  cr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  cmin 11520  -cneg 11521  ccj 15145  chba 30951   + cva 30952   · csm 30953   ·ih csp 30954   cmv 30957
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-hfvadd 31032  ax-hfvmul 31037  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-hvsub 31003
This theorem is referenced by:  bcseqi  31152  normlem9at  31153  normpari  31186  polid2i  31189
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