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Theorem normlem9 30060
Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem8.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem9 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem9
StepHypRef Expression
1 normlem8.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normlem8.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 29962 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
4 normlem8.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
5 normlem8.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
64, 5hvsubvali 29962 . . 3 (𝐶 𝐷) = (𝐶 + (-1 · 𝐷))
73, 6oveq12i 7369 . 2 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih (𝐶 + (-1 · 𝐷)))
8 neg1cn 12267 . . . 4 -1 ∈ ℂ
98, 2hvmulcli 29956 . . 3 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
108, 5hvmulcli 29956 . . 3 (-1 · 𝐷) ∈ ℋ
111, 9, 4, 10normlem8 30059 . 2 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih (𝐶 + (-1 · 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)))
12 ax-his3 30026 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷))))
138, 2, 10, 12mp3an 1461 . . . . . 6 ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)))
14 his5 30028 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
158, 2, 5, 14mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷))
1615oveq2i 7368 . . . . . 6 (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷))) = (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
17 neg1rr 12268 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℝ
18 cjre 15024 . . . . . . . . . . 11 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∗‘-1) = -1
2019oveq2i 7368 . . . . . . . . 9 (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
21 ax-1cn 11109 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
2221, 21mul2negi 11603 . . . . . . . . 9 (-1 · -1) = (1 · 1)
2321mulid2i 11160 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
2420, 22, 233eqtri 2768 . . . . . . . 8 (-1 · (∗‘-1)) = 1
2524oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((-1 · (∗‘-1)) · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (1 · (𝐵 ·ih 𝐷))
268cjcli 15054 . . . . . . . 8 (∗‘-1) ∈ ℂ
272, 5hicli 30023 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
288, 26, 27mulassi 11166 . . . . . . 7 ((-1 · (∗‘-1)) · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
2927mulid2i 11160 . . . . . . 7 (1 · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3025, 28, 293eqtr3i 2772 . . . . . 6 (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷))) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3113, 16, 303eqtri 2768 . . . . 5 ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3231oveq2i 7368 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
33 his5 30028 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷)))
348, 1, 5, 33mp3an 1461 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷))
3519oveq1i 7367 . . . . . . 7 ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷)) = (-1 · (𝐴 ·ih 𝐷))
361, 5hicli 30023 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
3736mulm1i 11600 . . . . . . 7 (-1 · (𝐴 ·ih 𝐷)) = -(𝐴 ·ih 𝐷)
3834, 35, 373eqtri 2768 . . . . . 6 (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = -(𝐴 ·ih 𝐷)
39 ax-his3 30026 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
408, 2, 4, 39mp3an 1461 . . . . . . 7 ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶))
412, 4hicli 30023 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
4241mulm1i 11600 . . . . . . 7 (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)) = -(𝐵 ·ih 𝐶)
4340, 42eqtri 2764 . . . . . 6 ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = -(𝐵 ·ih 𝐶)
4438, 43oveq12i 7369 . . . . 5 ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = (-(𝐴 ·ih 𝐷) + -(𝐵 ·ih 𝐶))
4536, 41negdii 11485 . . . . 5 -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)) = (-(𝐴 ·ih 𝐷) + -(𝐵 ·ih 𝐶))
4644, 45eqtr4i 2767 . . . 4 ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))
4732, 46oveq12i 7369 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
481, 4hicli 30023 . . . . 5 (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
4948, 27addcli 11161 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
5036, 41addcli 11161 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)) ∈ ℂ
5149, 50negsubi 11479 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
5247, 51eqtri 2764 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
537, 11, 523eqtri 2768 1 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386  ccj 14981  chba 29861   + cva 29862   · csm 29863   ·ih csp 29864   cmv 29867
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-hfvadd 29942  ax-hfvmul 29947  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-hvsub 29913
This theorem is referenced by:  bcseqi  30062  normlem9at  30063  normpari  30096  polid2i  30099
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