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Theorem normlem9 30865
Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem8.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem9 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem9
StepHypRef Expression
1 normlem8.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normlem8.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 30767 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
4 normlem8.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
5 normlem8.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
64, 5hvsubvali 30767 . . 3 (𝐶 𝐷) = (𝐶 + (-1 · 𝐷))
73, 6oveq12i 7414 . 2 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih (𝐶 + (-1 · 𝐷)))
8 neg1cn 12325 . . . 4 -1 ∈ ℂ
98, 2hvmulcli 30761 . . 3 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
108, 5hvmulcli 30761 . . 3 (-1 · 𝐷) ∈ ℋ
111, 9, 4, 10normlem8 30864 . 2 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih (𝐶 + (-1 · 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)))
12 ax-his3 30831 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷))))
138, 2, 10, 12mp3an 1457 . . . . . 6 ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)))
14 his5 30833 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
158, 2, 5, 14mp3an 1457 . . . . . . 7 (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷))
1615oveq2i 7413 . . . . . 6 (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷))) = (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
17 neg1rr 12326 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℝ
18 cjre 15088 . . . . . . . . . . 11 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∗‘-1) = -1
2019oveq2i 7413 . . . . . . . . 9 (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
21 ax-1cn 11165 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
2221, 21mul2negi 11661 . . . . . . . . 9 (-1 · -1) = (1 · 1)
2321mullidi 11218 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
2420, 22, 233eqtri 2756 . . . . . . . 8 (-1 · (∗‘-1)) = 1
2524oveq1i 7412 . . . . . . 7 ((-1 · (∗‘-1)) · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (1 · (𝐵 ·ih 𝐷))
268cjcli 15118 . . . . . . . 8 (∗‘-1) ∈ ℂ
272, 5hicli 30828 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
288, 26, 27mulassi 11224 . . . . . . 7 ((-1 · (∗‘-1)) · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
2927mullidi 11218 . . . . . . 7 (1 · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3025, 28, 293eqtr3i 2760 . . . . . 6 (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷))) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3113, 16, 303eqtri 2756 . . . . 5 ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3231oveq2i 7413 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
33 his5 30833 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷)))
348, 1, 5, 33mp3an 1457 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷))
3519oveq1i 7412 . . . . . . 7 ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷)) = (-1 · (𝐴 ·ih 𝐷))
361, 5hicli 30828 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
3736mulm1i 11658 . . . . . . 7 (-1 · (𝐴 ·ih 𝐷)) = -(𝐴 ·ih 𝐷)
3834, 35, 373eqtri 2756 . . . . . 6 (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = -(𝐴 ·ih 𝐷)
39 ax-his3 30831 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
408, 2, 4, 39mp3an 1457 . . . . . . 7 ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶))
412, 4hicli 30828 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
4241mulm1i 11658 . . . . . . 7 (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)) = -(𝐵 ·ih 𝐶)
4340, 42eqtri 2752 . . . . . 6 ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = -(𝐵 ·ih 𝐶)
4438, 43oveq12i 7414 . . . . 5 ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = (-(𝐴 ·ih 𝐷) + -(𝐵 ·ih 𝐶))
4536, 41negdii 11543 . . . . 5 -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)) = (-(𝐴 ·ih 𝐷) + -(𝐵 ·ih 𝐶))
4644, 45eqtr4i 2755 . . . 4 ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))
4732, 46oveq12i 7414 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
481, 4hicli 30828 . . . . 5 (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
4948, 27addcli 11219 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
5036, 41addcli 11219 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)) ∈ ℂ
5149, 50negsubi 11537 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
5247, 51eqtri 2752 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
537, 11, 523eqtri 2756 1 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6534  (class class class)co 7402  cc 11105  cr 11106  1c1 11108   + caddc 11110   · cmul 11112  cmin 11443  -cneg 11444  ccj 15045  chba 30666   + cva 30667   · csm 30668   ·ih csp 30669   cmv 30672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-hfvadd 30747  ax-hfvmul 30752  ax-hfi 30826  ax-his1 30829  ax-his2 30830  ax-his3 30831
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-2 12274  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-hvsub 30718
This theorem is referenced by:  bcseqi  30867  normlem9at  30868  normpari  30901  polid2i  30904
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