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Theorem normlem9 28431
Description: Lemma used to derive properties of norm. (Contributed by NM, 30-Jun-2005.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem8.1 𝐴 ∈ ℋ
normlem8.2 𝐵 ∈ ℋ
normlem8.3 𝐶 ∈ ℋ
normlem8.4 𝐷 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem9 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))

Proof of Theorem normlem9
StepHypRef Expression
1 normlem8.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 normlem8.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 28333 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
4 normlem8.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
5 normlem8.4 . . . 4 𝐷 ∈ ℋ
64, 5hvsubvali 28333 . . 3 (𝐶 𝐷) = (𝐶 + (-1 · 𝐷))
73, 6oveq12i 6854 . 2 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih (𝐶 + (-1 · 𝐷)))
8 neg1cn 11393 . . . 4 -1 ∈ ℂ
98, 2hvmulcli 28327 . . 3 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
108, 5hvmulcli 28327 . . 3 (-1 · 𝐷) ∈ ℋ
111, 9, 4, 10normlem8 28430 . 2 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) ·ih (𝐶 + (-1 · 𝐷))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)))
12 ax-his3 28397 . . . . . . 7 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ (-1 · 𝐷) ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷))))
138, 2, 10, 12mp3an 1585 . . . . . 6 ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)))
14 his5 28399 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
158, 2, 5, 14mp3an 1585 . . . . . . 7 (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷))
1615oveq2i 6853 . . . . . 6 (-1 · (𝐵 ·ih (-1 · 𝐷))) = (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
17 neg1rr 11394 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℝ
18 cjre 14164 . . . . . . . . . . 11 (-1 ∈ ℝ → (∗‘-1) = -1)
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (∗‘-1) = -1
2019oveq2i 6853 . . . . . . . . 9 (-1 · (∗‘-1)) = (-1 · -1)
21 ax-1cn 10247 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℂ
2221, 21mul2negi 10732 . . . . . . . . 9 (-1 · -1) = (1 · 1)
2321mulid2i 10299 . . . . . . . . 9 (1 · 1) = 1
2420, 22, 233eqtri 2791 . . . . . . . 8 (-1 · (∗‘-1)) = 1
2524oveq1i 6852 . . . . . . 7 ((-1 · (∗‘-1)) · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (1 · (𝐵 ·ih 𝐷))
268cjcli 14194 . . . . . . . 8 (∗‘-1) ∈ ℂ
272, 5hicli 28394 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
288, 26, 27mulassi 10305 . . . . . . 7 ((-1 · (∗‘-1)) · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷)))
2927mulid2i 10299 . . . . . . 7 (1 · (𝐵 ·ih 𝐷)) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3025, 28, 293eqtr3i 2795 . . . . . 6 (-1 · ((∗‘-1) · (𝐵 ·ih 𝐷))) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3113, 16, 303eqtri 2791 . . . . 5 ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷)) = (𝐵 ·ih 𝐷)
3231oveq2i 6853 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) = ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷))
33 his5 28399 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷)))
348, 1, 5, 33mp3an 1585 . . . . . . 7 (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷))
3519oveq1i 6852 . . . . . . 7 ((∗‘-1) · (𝐴 ·ih 𝐷)) = (-1 · (𝐴 ·ih 𝐷))
361, 5hicli 28394 . . . . . . . 8 (𝐴 ·ih 𝐷) ∈ ℂ
3736mulm1i 10729 . . . . . . 7 (-1 · (𝐴 ·ih 𝐷)) = -(𝐴 ·ih 𝐷)
3834, 35, 373eqtri 2791 . . . . . 6 (𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) = -(𝐴 ·ih 𝐷)
39 ax-his3 28397 . . . . . . . 8 ((-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)))
408, 2, 4, 39mp3an 1585 . . . . . . 7 ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶))
412, 4hicli 28394 . . . . . . . 8 (𝐵 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
4241mulm1i 10729 . . . . . . 7 (-1 · (𝐵 ·ih 𝐶)) = -(𝐵 ·ih 𝐶)
4340, 42eqtri 2787 . . . . . 6 ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶) = -(𝐵 ·ih 𝐶)
4438, 43oveq12i 6854 . . . . 5 ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = (-(𝐴 ·ih 𝐷) + -(𝐵 ·ih 𝐶))
4536, 41negdii 10619 . . . . 5 -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)) = (-(𝐴 ·ih 𝐷) + -(𝐵 ·ih 𝐶))
4644, 45eqtr4i 2790 . . . 4 ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶)) = -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))
4732, 46oveq12i 6854 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
481, 4hicli 28394 . . . . 5 (𝐴 ·ih 𝐶) ∈ ℂ
4948, 27addcli 10300 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) ∈ ℂ
5036, 41addcli 10300 . . . 4 ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)) ∈ ℂ
5149, 50negsubi 10613 . . 3 (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) + -((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
5247, 51eqtri 2787 . 2 (((𝐴 ·ih 𝐶) + ((-1 · 𝐵) ·ih (-1 · 𝐷))) + ((𝐴 ·ih (-1 · 𝐷)) + ((-1 · 𝐵) ·ih 𝐶))) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
537, 11, 523eqtri 2791 1 ((𝐴 𝐵) ·ih (𝐶 𝐷)) = (((𝐴 ·ih 𝐶) + (𝐵 ·ih 𝐷)) − ((𝐴 ·ih 𝐷) + (𝐵 ·ih 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  -cneg 10521  ccj 14121  chba 28232   + cva 28233   · csm 28234   ·ih csp 28235   cmv 28238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-hfvadd 28313  ax-hfvmul 28318  ax-hfi 28392  ax-his1 28395  ax-his2 28396  ax-his3 28397
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-2 11335  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-hvsub 28284
This theorem is referenced by:  bcseqi  28433  normlem9at  28434  normpari  28467  polid2i  28470
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