Theorem hvsubeq0i 30749

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubeq0i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem hvsubeq0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 30706	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	eqeq1i 2736	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ)
5		oveq1 7419	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵))
6	4, 5	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵))
7		neg1cn 12333	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	7, 2	hvmulcli 30700	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
9	1, 8, 2	hvadd32i 30740	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
10	1, 2, 8	hvassi 30739	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
11	2	hvnegidi 30716	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
12	11	oveq2i 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 0ℎ)
13		ax-hvaddid 30690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴
15	12, 14	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = 𝐴
16	10, 15	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐴
17	9, 16	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = 𝐴
18	2	hvaddlidi 30715	. . 3 ⊢ (0ℎ +ℎ 𝐵) = 𝐵
19	6, 17, 18	3eqtr3g 2794	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ → 𝐴 = 𝐵)
20		oveq1 7419	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐵 −ℎ 𝐵))
21		hvsubid 30712	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
22	2, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ
23	20, 22	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
24	19, 23	impbii 208	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  1c1 11117  -cneg 11452   ℋchba 30605   +_ℎ cva 30606   ·_ℎ csm 30607  0_ℎc0v 30610   −_ℎ cmv 30611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-hvcom 30687  ax-hvass 30688  ax-hv0cl 30689  ax-hvaddid 30690  ax-hfvmul 30691  ax-hvmulid 30692  ax-hvdistr2 30695  ax-hvmul0 30696

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-neg 11454  df-hvsub 30657

This theorem is referenced by:  hvsubeq0  30754  bcseqi  30806  normsub0i  30821  pjss2i  31366