Theorem hvsubeq0i 31134

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubeq0i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem hvsubeq0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31091	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	eqeq1i 2741	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ)
5		oveq1 7374	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵))
6	4, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵))
7		neg1cn 12144	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	7, 2	hvmulcli 31085	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
9	1, 8, 2	hvadd32i 31125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
10	1, 2, 8	hvassi 31124	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
11	2	hvnegidi 31101	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
12	11	oveq2i 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 0ℎ)
13		ax-hvaddid 31075	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴
15	12, 14	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = 𝐴
16	10, 15	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐴
17	9, 16	eqtri 2759	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = 𝐴
18	2	hvaddlidi 31100	. . 3 ⊢ (0ℎ +ℎ 𝐵) = 𝐵
19	6, 17, 18	3eqtr3g 2794	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ → 𝐴 = 𝐵)
20		oveq1 7374	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐵 −ℎ 𝐵))
21		hvsubid 31097	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
22	2, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ
23	20, 22	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
24	19, 23	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039  -cneg 11378   ℋchba 30990   +_ℎ cva 30991   ·_ℎ csm 30992  0_ℎc0v 30995   −_ℎ cmv 30996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-hvcom 31072  ax-hvass 31073  ax-hv0cl 31074  ax-hvaddid 31075  ax-hfvmul 31076  ax-hvmulid 31077  ax-hvdistr2 31080  ax-hvmul0 31081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380  df-hvsub 31042

This theorem is referenced by:  hvsubeq0  31139  bcseqi  31191  normsub0i  31206  pjss2i  31751