HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubeq0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubeq0i 30749
Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvsubeq0i ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem hvsubeq0i
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
2 hvnegdi.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 30706 . . . . 5 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
43eqeq1i 2736 . . . 4 ((𝐴 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 0)
5 oveq1 7419 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 0 → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
64, 5sylbi 216 . . 3 ((𝐴 𝐵) = 0 → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
7 neg1cn 12333 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
87, 2hvmulcli 30700 . . . . 5 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
91, 8, 2hvadd32i 30740 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵))
101, 2, 8hvassi 30739 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵)))
112hvnegidi 30716 . . . . . . 7 (𝐵 + (-1 · 𝐵)) = 0
1211oveq2i 7423 . . . . . 6 (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = (𝐴 + 0)
13 ax-hvaddid 30690 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
141, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴 + 0) = 𝐴
1512, 14eqtri 2759 . . . . 5 (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = 𝐴
1610, 15eqtri 2759 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = 𝐴
179, 16eqtri 2759 . . 3 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = 𝐴
182hvaddlidi 30715 . . 3 (0 + 𝐵) = 𝐵
196, 17, 183eqtr3g 2794 . 2 ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)
20 oveq1 7419 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐵))
21 hvsubid 30712 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 𝐵) = 0)
222, 21ax-mp 5 . . 3 (𝐵 𝐵) = 0
2320, 22eqtrdi 2787 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 𝐵) = 0)
2419, 23impbii 208 1 ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1540  wcel 2105  (class class class)co 7412  1c1 11117  -cneg 11452  chba 30605   + cva 30606   · csm 30607  0c0v 30610   cmv 30611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-hvcom 30687  ax-hvass 30688  ax-hv0cl 30689  ax-hvaddid 30690  ax-hfvmul 30691  ax-hvmulid 30692  ax-hvdistr2 30695  ax-hvmul0 30696
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260  df-sub 11453  df-neg 11454  df-hvsub 30657
This theorem is referenced by:  hvsubeq0  30754  bcseqi  30806  normsub0i  30821  pjss2i  31366
  Copyright terms: Public domain W3C validator