HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubeq0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubeq0i 29011
Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvsubeq0i ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem hvsubeq0i
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
2 hvnegdi.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 28968 . . . . 5 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
43eqeq1i 2744 . . . 4 ((𝐴 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 0)
5 oveq1 7190 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 0 → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
64, 5sylbi 220 . . 3 ((𝐴 𝐵) = 0 → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
7 neg1cn 11843 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
87, 2hvmulcli 28962 . . . . 5 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
91, 8, 2hvadd32i 29002 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵))
101, 2, 8hvassi 29001 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵)))
112hvnegidi 28978 . . . . . . 7 (𝐵 + (-1 · 𝐵)) = 0
1211oveq2i 7194 . . . . . 6 (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = (𝐴 + 0)
13 ax-hvaddid 28952 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
141, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴 + 0) = 𝐴
1512, 14eqtri 2762 . . . . 5 (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = 𝐴
1610, 15eqtri 2762 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = 𝐴
179, 16eqtri 2762 . . 3 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = 𝐴
182hvaddid2i 28977 . . 3 (0 + 𝐵) = 𝐵
196, 17, 183eqtr3g 2797 . 2 ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)
20 oveq1 7190 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐵))
21 hvsubid 28974 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 𝐵) = 0)
222, 21ax-mp 5 . . 3 (𝐵 𝐵) = 0
2320, 22eqtrdi 2790 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 𝐵) = 0)
2419, 23impbii 212 1 ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 209   = wceq 1542  wcel 2114  (class class class)co 7183  1c1 10629  -cneg 10962  chba 28867   + cva 28868   · csm 28869  0c0v 28872   cmv 28873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-hvcom 28949  ax-hvass 28950  ax-hv0cl 28951  ax-hvaddid 28952  ax-hfvmul 28953  ax-hvmulid 28954  ax-hvdistr2 28957  ax-hvmul0 28958
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-po 5452  df-so 5453  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-er 8333  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-ltxr 10771  df-sub 10963  df-neg 10964  df-hvsub 28919
This theorem is referenced by:  hvsubeq0  29016  bcseqi  29068  normsub0i  29083  pjss2i  29628
  Copyright terms: Public domain W3C validator