Theorem hvsubeq0i 31087

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubeq0i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem hvsubeq0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31044	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	eqeq1i 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ)
5		oveq1 7363	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵))
6	4, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵))
7		neg1cn 12128	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	7, 2	hvmulcli 31038	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
9	1, 8, 2	hvadd32i 31078	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
10	1, 2, 8	hvassi 31077	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
11	2	hvnegidi 31054	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
12	11	oveq2i 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 0ℎ)
13		ax-hvaddid 31028	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴
15	12, 14	eqtri 2757	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = 𝐴
16	10, 15	eqtri 2757	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐴
17	9, 16	eqtri 2757	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = 𝐴
18	2	hvaddlidi 31053	. . 3 ⊢ (0ℎ +ℎ 𝐵) = 𝐵
19	6, 17, 18	3eqtr3g 2792	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ → 𝐴 = 𝐵)
20		oveq1 7363	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐵 −ℎ 𝐵))
21		hvsubid 31050	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
22	2, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ
23	20, 22	eqtrdi 2785	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
24	19, 23	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  1c1 11025  -cneg 11363   ℋchba 30943   +_ℎ cva 30944   ·_ℎ csm 30945  0_ℎc0v 30948   −_ℎ cmv 30949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-hvcom 31025  ax-hvass 31026  ax-hv0cl 31027  ax-hvaddid 31028  ax-hfvmul 31029  ax-hvmulid 31030  ax-hvdistr2 31033  ax-hvmul0 31034

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365  df-hvsub 30995

This theorem is referenced by:  hvsubeq0  31092  bcseqi  31144  normsub0i  31159  pjss2i  31704