Theorem hvsubeq0i 28834

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubeq0i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem hvsubeq0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 28791	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	eqeq1i 2826	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ)
5		oveq1 7157	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵))
6	4, 5	sylbi 219	. . 3 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵))
7		neg1cn 11745	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	7, 2	hvmulcli 28785	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
9	1, 8, 2	hvadd32i 28825	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
10	1, 2, 8	hvassi 28824	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
11	2	hvnegidi 28801	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
12	11	oveq2i 7161	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 0ℎ)
13		ax-hvaddid 28775	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴
15	12, 14	eqtri 2844	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = 𝐴
16	10, 15	eqtri 2844	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐴
17	9, 16	eqtri 2844	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = 𝐴
18	2	hvaddid2i 28800	. . 3 ⊢ (0ℎ +ℎ 𝐵) = 𝐵
19	6, 17, 18	3eqtr3g 2879	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ → 𝐴 = 𝐵)
20		oveq1 7157	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐵 −ℎ 𝐵))
21		hvsubid 28797	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
22	2, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ
23	20, 22	syl6eq 2872	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
24	19, 23	impbii 211	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  1c1 10532  -cneg 10865   ℋchba 28690   +_ℎ cva 28691   ·_ℎ csm 28692  0_ℎc0v 28695   −_ℎ cmv 28696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-hvcom 28772  ax-hvass 28773  ax-hv0cl 28774  ax-hvaddid 28775  ax-hfvmul 28776  ax-hvmulid 28777  ax-hvdistr2 28780  ax-hvmul0 28781

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-sub 10866  df-neg 10867  df-hvsub 28742

This theorem is referenced by:  hvsubeq0  28839  bcseqi  28891  normsub0i  28906  pjss2i  29451