HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubeq0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubeq0i 30054
Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
hvnegdi.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
hvsubeq0i ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” ๐ด = ๐ต)

Proof of Theorem hvsubeq0i
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 hvnegdi.2 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„‹
31, 2hvsubvali 30011 . . . . 5 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))
43eqeq1i 2738 . . . 4 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = 0โ„Ž)
5 oveq1 7368 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = 0โ„Ž โ†’ ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) +โ„Ž ๐ต) = (0โ„Ž +โ„Ž ๐ต))
64, 5sylbi 216 . . 3 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†’ ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) +โ„Ž ๐ต) = (0โ„Ž +โ„Ž ๐ต))
7 neg1cn 12275 . . . . . 6 -1 โˆˆ โ„‚
87, 2hvmulcli 30005 . . . . 5 (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
91, 8, 2hvadd32i 30045 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) +โ„Ž ๐ต) = ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))
101, 2, 8hvassi 30044 . . . . 5 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = (๐ด +โ„Ž (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
112hvnegidi 30021 . . . . . . 7 (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = 0โ„Ž
1211oveq2i 7372 . . . . . 6 (๐ด +โ„Ž (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))) = (๐ด +โ„Ž 0โ„Ž)
13 ax-hvaddid 29995 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด +โ„Ž 0โ„Ž) = ๐ด)
141, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (๐ด +โ„Ž 0โ„Ž) = ๐ด
1512, 14eqtri 2761 . . . . 5 (๐ด +โ„Ž (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))) = ๐ด
1610, 15eqtri 2761 . . . 4 ((๐ด +โ„Ž ๐ต) +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ด
179, 16eqtri 2761 . . 3 ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) +โ„Ž ๐ต) = ๐ด
182hvaddlidi 30020 . . 3 (0โ„Ž +โ„Ž ๐ต) = ๐ต
196, 17, 183eqtr3g 2796 . 2 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†’ ๐ด = ๐ต)
20 oveq1 7368 . . 3 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ต))
21 hvsubid 30017 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
222, 21ax-mp 5 . . 3 (๐ต โˆ’โ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž
2320, 22eqtrdi 2789 . 2 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž)
2419, 23impbii 208 1 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = 0โ„Ž โ†” ๐ด = ๐ต)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  1c1 11060  -cneg 11394   โ„‹chba 29910   +โ„Ž cva 29911   ยทโ„Ž csm 29912  0โ„Žc0v 29915   โˆ’โ„Ž cmv 29916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-hvcom 29992  ax-hvass 29993  ax-hv0cl 29994  ax-hvaddid 29995  ax-hfvmul 29996  ax-hvmulid 29997  ax-hvdistr2 30000  ax-hvmul0 30001
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-ltxr 11202  df-sub 11395  df-neg 11396  df-hvsub 29962
This theorem is referenced by:  hvsubeq0  30059  bcseqi  30111  normsub0i  30126  pjss2i  30671
  Copyright terms: Public domain W3C validator