Theorem hvsubeq0i 31082

Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubeq0i	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem hvsubeq0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31039	. . . . 5 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	eqeq1i 2742	. . . 4 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ)
5		oveq1 7438	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵))
6	4, 5	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ → ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = (0ℎ +ℎ 𝐵))
7		neg1cn 12380	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
8	7, 2	hvmulcli 31033	. . . . 5 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
9	1, 8, 2	hvadd32i 31073	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
10	1, 2, 8	hvassi 31072	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
11	2	hvnegidi 31049	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
12	11	oveq2i 7442	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 0ℎ)
13		ax-hvaddid 31023	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
14	1, 13	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴
15	12, 14	eqtri 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = 𝐴
16	10, 15	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((𝐴 +ℎ 𝐵) +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐴
17	9, 16	eqtri 2765	. . 3 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) +ℎ 𝐵) = 𝐴
18	2	hvaddlidi 31048	. . 3 ⊢ (0ℎ +ℎ 𝐵) = 𝐵
19	6, 17, 18	3eqtr3g 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ → 𝐴 = 𝐵)
20		oveq1 7438	. . 3 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐵 −ℎ 𝐵))
21		hvsubid 31045	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
22	2, 21	ax-mp 5	. . 3 ⊢ (𝐵 −ℎ 𝐵) = 0ℎ
23	20, 22	eqtrdi 2793	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ)
24	19, 23	impbii 209	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 0ℎ ↔ 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  1c1 11156  -cneg 11493   ℋchba 30938   +_ℎ cva 30939   ·_ℎ csm 30940  0_ℎc0v 30943   −_ℎ cmv 30944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-hvsub 30990

This theorem is referenced by:  hvsubeq0  31087  bcseqi  31139  normsub0i  31154  pjss2i  31699