HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubeq0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubeq0i 28756
Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvsubeq0i ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem hvsubeq0i
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
2 hvnegdi.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 28713 . . . . 5 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
43eqeq1i 2830 . . . 4 ((𝐴 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 0)
5 oveq1 7158 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 0 → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
64, 5sylbi 218 . . 3 ((𝐴 𝐵) = 0 → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
7 neg1cn 11743 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
87, 2hvmulcli 28707 . . . . 5 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
91, 8, 2hvadd32i 28747 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵))
101, 2, 8hvassi 28746 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵)))
112hvnegidi 28723 . . . . . . 7 (𝐵 + (-1 · 𝐵)) = 0
1211oveq2i 7162 . . . . . 6 (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = (𝐴 + 0)
13 ax-hvaddid 28697 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
141, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴 + 0) = 𝐴
1512, 14eqtri 2848 . . . . 5 (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = 𝐴
1610, 15eqtri 2848 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = 𝐴
179, 16eqtri 2848 . . 3 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = 𝐴
182hvaddid2i 28722 . . 3 (0 + 𝐵) = 𝐵
196, 17, 183eqtr3g 2883 . 2 ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)
20 oveq1 7158 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐵))
21 hvsubid 28719 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 𝐵) = 0)
222, 21ax-mp 5 . . 3 (𝐵 𝐵) = 0
2320, 22syl6eq 2876 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 𝐵) = 0)
2419, 23impbii 210 1 ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 207   = wceq 1530  wcel 2107  (class class class)co 7151  1c1 10530  -cneg 10863  chba 28612   + cva 28613   · csm 28614  0c0v 28617   cmv 28618
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-hvcom 28694  ax-hvass 28695  ax-hv0cl 28696  ax-hvaddid 28697  ax-hfvmul 28698  ax-hvmulid 28699  ax-hvdistr2 28702  ax-hvmul0 28703
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672  df-sub 10864  df-neg 10865  df-hvsub 28664
This theorem is referenced by:  hvsubeq0  28761  bcseqi  28813  normsub0i  28828  pjss2i  29373
  Copyright terms: Public domain W3C validator