HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubeq0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubeq0i 28509
Description: If the difference between two vectors is zero, they are equal. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvsubeq0i ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem hvsubeq0i
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . . . 6 𝐴 ∈ ℋ
2 hvnegdi.2 . . . . . 6 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 28466 . . . . 5 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
43eqeq1i 2783 . . . 4 ((𝐴 𝐵) = 0 ↔ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 0)
5 oveq1 6931 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 0 → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
64, 5sylbi 209 . . 3 ((𝐴 𝐵) = 0 → ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = (0 + 𝐵))
7 neg1cn 11501 . . . . . 6 -1 ∈ ℂ
87, 2hvmulcli 28460 . . . . 5 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
91, 8, 2hvadd32i 28500 . . . 4 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵))
101, 2, 8hvassi 28499 . . . . 5 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵)))
112hvnegidi 28476 . . . . . . 7 (𝐵 + (-1 · 𝐵)) = 0
1211oveq2i 6935 . . . . . 6 (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = (𝐴 + 0)
13 ax-hvaddid 28450 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
141, 13ax-mp 5 . . . . . 6 (𝐴 + 0) = 𝐴
1512, 14eqtri 2802 . . . . 5 (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = 𝐴
1610, 15eqtri 2802 . . . 4 ((𝐴 + 𝐵) + (-1 · 𝐵)) = 𝐴
179, 16eqtri 2802 . . 3 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) + 𝐵) = 𝐴
182hvaddid2i 28475 . . 3 (0 + 𝐵) = 𝐵
196, 17, 183eqtr3g 2837 . 2 ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)
20 oveq1 6931 . . 3 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 𝐵) = (𝐵 𝐵))
21 hvsubid 28472 . . . 4 (𝐵 ∈ ℋ → (𝐵 𝐵) = 0)
222, 21ax-mp 5 . . 3 (𝐵 𝐵) = 0
2320, 22syl6eq 2830 . 2 (𝐴 = 𝐵 → (𝐴 𝐵) = 0)
2419, 23impbii 201 1 ((𝐴 𝐵) = 0𝐴 = 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198   = wceq 1601  wcel 2107  (class class class)co 6924  1c1 10275  -cneg 10609  chba 28365   + cva 28366   · csm 28367  0c0v 28370   cmv 28371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-hvcom 28447  ax-hvass 28448  ax-hv0cl 28449  ax-hvaddid 28450  ax-hfvmul 28451  ax-hvmulid 28452  ax-hvdistr2 28455  ax-hvmul0 28456
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-po 5276  df-so 5277  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-ltxr 10418  df-sub 10610  df-neg 10611  df-hvsub 28417
This theorem is referenced by:  hvsubeq0  28514  bcseqi  28566  normsub0i  28581  pjss2i  29128
  Copyright terms: Public domain W3C validator