HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubaddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubaddi 29473
Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 ๐ด โˆˆ โ„‹
hvnegdi.2 ๐ต โˆˆ โ„‹
hvaddcan.3 ๐ถ โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
hvsubaddi ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = ๐ถ โ†” (๐ต +โ„Ž ๐ถ) = ๐ด)

Proof of Theorem hvsubaddi
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . 4 ๐ด โˆˆ โ„‹
2 hvnegdi.2 . . . 4 ๐ต โˆˆ โ„‹
31, 2hvsubvali 29427 . . 3 (๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))
43eqeq1i 2741 . 2 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = ๐ถ โ†” (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ถ)
5 neg1cn 12133 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
65, 2hvmulcli 29421 . . . . . 6 (-1 ยทโ„Ž ๐ต) โˆˆ โ„‹
72, 1, 6hvadd12i 29464 . . . . 5 (๐ต +โ„Ž (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))) = (๐ด +โ„Ž (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)))
82hvnegidi 29437 . . . . . 6 (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = 0โ„Ž
98oveq2i 7318 . . . . 5 (๐ด +โ„Ž (๐ต +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))) = (๐ด +โ„Ž 0โ„Ž)
10 ax-hvaddid 29411 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‹ โ†’ (๐ด +โ„Ž 0โ„Ž) = ๐ด)
111, 10ax-mp 5 . . . . 5 (๐ด +โ„Ž 0โ„Ž) = ๐ด
127, 9, 113eqtri 2768 . . . 4 (๐ต +โ„Ž (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))) = ๐ด
1312eqeq1i 2741 . . 3 ((๐ต +โ„Ž (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))) = (๐ต +โ„Ž ๐ถ) โ†” ๐ด = (๐ต +โ„Ž ๐ถ))
141, 6hvaddcli 29425 . . . 4 (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) โˆˆ โ„‹
15 hvaddcan.3 . . . 4 ๐ถ โˆˆ โ„‹
162, 14, 15hvaddcani 29472 . . 3 ((๐ต +โ„Ž (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต))) = (๐ต +โ„Ž ๐ถ) โ†” (๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ถ)
17 eqcom 2743 . . 3 (๐ด = (๐ต +โ„Ž ๐ถ) โ†” (๐ต +โ„Ž ๐ถ) = ๐ด)
1813, 16, 173bitr3i 301 . 2 ((๐ด +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž ๐ต)) = ๐ถ โ†” (๐ต +โ„Ž ๐ถ) = ๐ด)
194, 18bitri 275 1 ((๐ด โˆ’โ„Ž ๐ต) = ๐ถ โ†” (๐ต +โ„Ž ๐ถ) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  (class class class)co 7307  1c1 10918  -cneg 11252   โ„‹chba 29326   +โ„Ž cva 29327   ยทโ„Ž csm 29328  0โ„Žc0v 29331   โˆ’โ„Ž cmv 29332
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-hfvadd 29407  ax-hvcom 29408  ax-hvass 29409  ax-hv0cl 29410  ax-hvaddid 29411  ax-hfvmul 29412  ax-hvmulid 29413  ax-hvdistr2 29416  ax-hvmul0 29417
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-ltxr 11060  df-sub 11253  df-neg 11254  df-hvsub 29378
This theorem is referenced by:  hvsubadd  29484  omlsilem  29809
  Copyright terms: Public domain W3C validator