HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hvsubaddi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hvsubaddi 30297
Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hvnegdi.1 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2 𝐵 ∈ ℋ
hvaddcan.3 𝐶 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
hvsubaddi ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)

Proof of Theorem hvsubaddi
StepHypRef Expression
1 hvnegdi.1 . . . 4 𝐴 ∈ ℋ
2 hvnegdi.2 . . . 4 𝐵 ∈ ℋ
31, 2hvsubvali 30251 . . 3 (𝐴 𝐵) = (𝐴 + (-1 · 𝐵))
43eqeq1i 2738 . 2 ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 𝐶)
5 neg1cn 12322 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
65, 2hvmulcli 30245 . . . . . 6 (-1 · 𝐵) ∈ ℋ
72, 1, 6hvadd12i 30288 . . . . 5 (𝐵 + (𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵)))
82hvnegidi 30261 . . . . . 6 (𝐵 + (-1 · 𝐵)) = 0
98oveq2i 7415 . . . . 5 (𝐴 + (𝐵 + (-1 · 𝐵))) = (𝐴 + 0)
10 ax-hvaddid 30235 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 + 0) = 𝐴)
111, 10ax-mp 5 . . . . 5 (𝐴 + 0) = 𝐴
127, 9, 113eqtri 2765 . . . 4 (𝐵 + (𝐴 + (-1 · 𝐵))) = 𝐴
1312eqeq1i 2738 . . 3 ((𝐵 + (𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝐵 + 𝐶) ↔ 𝐴 = (𝐵 + 𝐶))
141, 6hvaddcli 30249 . . . 4 (𝐴 + (-1 · 𝐵)) ∈ ℋ
15 hvaddcan.3 . . . 4 𝐶 ∈ ℋ
162, 14, 15hvaddcani 30296 . . 3 ((𝐵 + (𝐴 + (-1 · 𝐵))) = (𝐵 + 𝐶) ↔ (𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 𝐶)
17 eqcom 2740 . . 3 (𝐴 = (𝐵 + 𝐶) ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)
1813, 16, 173bitr3i 301 . 2 ((𝐴 + (-1 · 𝐵)) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)
194, 18bitri 275 1 ((𝐴 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 + 𝐶) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7404  1c1 11107  -cneg 11441  chba 30150   + cva 30151   · csm 30152  0c0v 30155   cmv 30156
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-hfvadd 30231  ax-hvcom 30232  ax-hvass 30233  ax-hv0cl 30234  ax-hvaddid 30235  ax-hfvmul 30236  ax-hvmulid 30237  ax-hvdistr2 30240  ax-hvmul0 30241
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-hvsub 30202
This theorem is referenced by:  hvsubadd  30308  omlsilem  30633
  Copyright terms: Public domain W3C validator