Theorem hvsubaddi 31156

Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvaddcan.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubaddi	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)

Proof of Theorem hvsubaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 31110	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	eqeq1i 2742	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶)
5		neg1cn 12139	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 31104	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	2, 1, 6	hvadd12i 31147	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8	2	hvnegidi 31120	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
9	8	oveq2i 7373	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 0ℎ)
10		ax-hvaddid 31094	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴
12	7, 9, 11	3eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = 𝐴
13	12	eqeq1i 2742	. . 3 ⊢ ((𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
14	1, 6	hvaddcli 31108	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
15		hvaddcan.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
16	2, 14, 15	hvaddcani 31155	. . 3 ⊢ ((𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶)
17		eqcom 2744	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
18	13, 16, 17	3bitr3i 301	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
19	4, 18	bitri 275	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7362  1c1 11034  -cneg 11373   ℋchba 31009   +_ℎ cva 31010   ·_ℎ csm 31011  0_ℎc0v 31014   −_ℎ cmv 31015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-hfvadd 31090  ax-hvcom 31091  ax-hvass 31092  ax-hv0cl 31093  ax-hvaddid 31094  ax-hfvmul 31095  ax-hvmulid 31096  ax-hvdistr2 31099  ax-hvmul0 31100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179  df-sub 11374  df-neg 11375  df-hvsub 31061

This theorem is referenced by:  hvsubadd  31167  omlsilem  31492