Theorem hvsubaddi 30981

Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvaddcan.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubaddi	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)

Proof of Theorem hvsubaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 30935	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	eqeq1i 2739	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶)
5		neg1cn 12347	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 30929	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	2, 1, 6	hvadd12i 30972	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8	2	hvnegidi 30945	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
9	8	oveq2i 7411	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 0ℎ)
10		ax-hvaddid 30919	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴
12	7, 9, 11	3eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = 𝐴
13	12	eqeq1i 2739	. . 3 ⊢ ((𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
14	1, 6	hvaddcli 30933	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
15		hvaddcan.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
16	2, 14, 15	hvaddcani 30980	. . 3 ⊢ ((𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶)
17		eqcom 2741	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
18	13, 16, 17	3bitr3i 301	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
19	4, 18	bitri 275	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7400  1c1 11123  -cneg 11460   ℋchba 30834   +_ℎ cva 30835   ·_ℎ csm 30836  0_ℎc0v 30839   −_ℎ cmv 30840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-hfvadd 30915  ax-hvcom 30916  ax-hvass 30917  ax-hv0cl 30918  ax-hvaddid 30919  ax-hfvmul 30920  ax-hvmulid 30921  ax-hvdistr2 30924  ax-hvmul0 30925

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8714  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-ltxr 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-hvsub 30886

This theorem is referenced by:  hvsubadd  30992  omlsilem  31317