Theorem hvsubaddi 29147

Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvaddcan.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubaddi	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)

Proof of Theorem hvsubaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 29101	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	eqeq1i 2742	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶)
5		neg1cn 11944	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 29095	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	2, 1, 6	hvadd12i 29138	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8	2	hvnegidi 29111	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
9	8	oveq2i 7224	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 0ℎ)
10		ax-hvaddid 29085	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴
12	7, 9, 11	3eqtri 2769	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = 𝐴
13	12	eqeq1i 2742	. . 3 ⊢ ((𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
14	1, 6	hvaddcli 29099	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
15		hvaddcan.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
16	2, 14, 15	hvaddcani 29146	. . 3 ⊢ ((𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶)
17		eqcom 2744	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
18	13, 16, 17	3bitr3i 304	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
19	4, 18	bitri 278	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  1c1 10730  -cneg 11063   ℋchba 29000   +_ℎ cva 29001   ·_ℎ csm 29002  0_ℎc0v 29005   −_ℎ cmv 29006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-hfvadd 29081  ax-hvcom 29082  ax-hvass 29083  ax-hv0cl 29084  ax-hvaddid 29085  ax-hfvmul 29086  ax-hvmulid 29087  ax-hvdistr2 29090  ax-hvmul0 29091

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-ltxr 10872  df-sub 11064  df-neg 11065  df-hvsub 29052

This theorem is referenced by:  hvsubadd  29158  omlsilem  29483