Theorem hvsubaddi 30743

Description: Relationship between vector subtraction and addition. (Contributed by NM, 11-Sep-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hvnegdi.1	⊢ 𝐴 ∈ ℋ
hvnegdi.2	⊢ 𝐵 ∈ ℋ
hvaddcan.3	⊢ 𝐶 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hvsubaddi	⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)

Proof of Theorem hvsubaddi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hvnegdi.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℋ
2		hvnegdi.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℋ
3	1, 2	hvsubvali 30697	. . 3 ⊢ (𝐴 −ℎ 𝐵) = (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))
4	3	eqeq1i 2729	. 2 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶)
5		neg1cn 12322	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
6	5, 2	hvmulcli 30691	. . . . . 6 ⊢ (-1 ·ℎ 𝐵) ∈ ℋ
7	2, 1, 6	hvadd12i 30734	. . . . 5 ⊢ (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)))
8	2	hvnegidi 30707	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 0ℎ
9	8	oveq2i 7412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ (𝐵 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐴 +ℎ 0ℎ)
10		ax-hvaddid 30681	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴)
11	1, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 +ℎ 0ℎ) = 𝐴
12	7, 9, 11	3eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = 𝐴
13	12	eqeq1i 2729	. . 3 ⊢ ((𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ 𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶))
14	1, 6	hvaddcli 30695	. . . 4 ⊢ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) ∈ ℋ
15		hvaddcan.3	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℋ
16	2, 14, 15	hvaddcani 30742	. . 3 ⊢ ((𝐵 +ℎ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵))) = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ (𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶)
17		eqcom 2731	. . 3 ⊢ (𝐴 = (𝐵 +ℎ 𝐶) ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
18	13, 16, 17	3bitr3i 301	. 2 ⊢ ((𝐴 +ℎ (-1 ·ℎ 𝐵)) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)
19	4, 18	bitri 275	1 ⊢ ((𝐴 −ℎ 𝐵) = 𝐶 ↔ (𝐵 +ℎ 𝐶) = 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7401  1c1 11106  -cneg 11441   ℋchba 30596   +_ℎ cva 30597   ·_ℎ csm 30598  0_ℎc0v 30601   −_ℎ cmv 30602

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-hfvadd 30677  ax-hvcom 30678  ax-hvass 30679  ax-hv0cl 30680  ax-hvaddid 30681  ax-hfvmul 30682  ax-hvmulid 30683  ax-hvdistr2 30686  ax-hvmul0 30687

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-id 5564  df-po 5578  df-so 5579  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-sub 11442  df-neg 11443  df-hvsub 30648

This theorem is referenced by:  hvsubadd  30754  omlsilem  31079