HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem normlem0 30362
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 ๐‘† โˆˆ โ„‚
normlem1.2 ๐น โˆˆ โ„‹
normlem1.3 ๐บ โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
normlem0 ((๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = (((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
Proof of Theorem normlem0
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . . 5 ๐น โˆˆ โ„‹
2 normlem1.1 . . . . . 6 ๐‘† โˆˆ โ„‚
3 normlem1.3 . . . . . 6 ๐บ โˆˆ โ„‹
42, 3hvmulcli 30267 . . . . 5 (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) โˆˆ โ„‹
51, 4hvsubvali 30273 . . . 4 (๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = (๐น +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))
62mulm1i 11659 . . . . . . 7 (-1 ยท ๐‘†) = -๐‘†
76oveq1i 7419 . . . . . 6 ((-1 ยท ๐‘†) ยทโ„Ž ๐บ) = (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)
8 neg1cn 12326 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
98, 2, 3hvmulassi 30299 . . . . . 6 ((-1 ยท ๐‘†) ยทโ„Ž ๐บ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))
107, 9eqtr3i 2763 . . . . 5 (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))
1110oveq2i 7420 . . . 4 (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = (๐น +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))
125, 11eqtr4i 2764 . . 3 (๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))
1312, 12oveq12i 7421 . 2 ((๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))
142negcli 11528 . . . 4 -๐‘† โˆˆ โ„‚
1514, 3hvmulcli 30267 . . 3 (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) โˆˆ โ„‹
161, 15hvaddcli 30271 . . 3 (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) โˆˆ โ„‹
17 ax-his2 30336 . . 3 ((๐น โˆˆ โ„‹ โˆง (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) + ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))))
181, 15, 16, 17mp3an 1462 . 2 ((๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) + ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))))
19 his7 30343 . . . . 5 ((๐น โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โˆˆ โ„‹ โˆง (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih ๐น) + (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))))
201, 1, 15, 19mp3an 1462 . . . 4 (๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih ๐น) + (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))
21 his5 30339 . . . . . . 7 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‹ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)))
2214, 1, 3, 21mp3an 1462 . . . . . 6 (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))
232cjnegi 15129 . . . . . . 7 (โˆ—โ€˜-๐‘†) = -(โˆ—โ€˜๐‘†)
2423oveq1i 7419 . . . . . 6 ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) = (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))
2522, 24eqtri 2761 . . . . 5 (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))
2625oveq2i 7420 . . . 4 ((๐น ยทih ๐น) + (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)))
2720, 26eqtri 2761 . . 3 (๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)))
28 ax-his3 30337 . . . . 5 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = (-๐‘† ยท (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))))
2914, 3, 16, 28mp3an 1462 . . . 4 ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = (-๐‘† ยท (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))))
30 his7 30343 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โˆˆ โ„‹ โˆง (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐บ ยทih ๐น) + (๐บ ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))))
313, 1, 15, 30mp3an 1462 . . . . . 6 (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐บ ยทih ๐น) + (๐บ ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))
32 his5 30339 . . . . . . . 8 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐บ ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
3314, 3, 3, 32mp3an 1462 . . . . . . 7 (๐บ ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ))
3433oveq2i 7420 . . . . . 6 ((๐บ ยทih ๐น) + (๐บ ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐บ ยทih ๐น) + ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
3531, 34eqtri 2761 . . . . 5 (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐บ ยทih ๐น) + ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
3635oveq2i 7420 . . . 4 (-๐‘† ยท (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))) = (-๐‘† ยท ((๐บ ยทih ๐น) + ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
373, 1hicli 30334 . . . . . 6 (๐บ ยทih ๐น) โˆˆ โ„‚
3814cjcli 15116 . . . . . . 7 (โˆ—โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„‚
393, 3hicli 30334 . . . . . . 7 (๐บ ยทih ๐บ) โˆˆ โ„‚
4038, 39mulcli 11221 . . . . . 6 ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)) โˆˆ โ„‚
4114, 37, 40adddii 11226 . . . . 5 (-๐‘† ยท ((๐บ ยทih ๐น) + ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))) = ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + (-๐‘† ยท ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
4214, 38, 39mulassi 11225 . . . . . . 7 ((-๐‘† ยท (โˆ—โ€˜-๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ)) = (-๐‘† ยท ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
4323oveq2i 7420 . . . . . . . . 9 (-๐‘† ยท (โˆ—โ€˜-๐‘†)) = (-๐‘† ยท -(โˆ—โ€˜๐‘†))
442cjcli 15116 . . . . . . . . . 10 (โˆ—โ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚
452, 44mul2negi 11662 . . . . . . . . 9 (-๐‘† ยท -(โˆ—โ€˜๐‘†)) = (๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†))
4643, 45eqtri 2761 . . . . . . . 8 (-๐‘† ยท (โˆ—โ€˜-๐‘†)) = (๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†))
4746oveq1i 7419 . . . . . . 7 ((-๐‘† ยท (โˆ—โ€˜-๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ)) = ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ))
4842, 47eqtr3i 2763 . . . . . 6 (-๐‘† ยท ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ))) = ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ))
4948oveq2i 7420 . . . . 5 ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + (-๐‘† ยท ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))) = ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
5041, 49eqtri 2761 . . . 4 (-๐‘† ยท ((๐บ ยทih ๐น) + ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))) = ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
5129, 36, 503eqtri 2765 . . 3 ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
5227, 51oveq12i 7421 . 2 ((๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) + ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))) = (((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
5313, 18, 523eqtri 2765 1 ((๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = (((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  -cneg 11445  โˆ—ccj 15043   โ„‹chba 30172   +โ„Ž cva 30173   ยทโ„Ž csm 30174   ยทih csp 30175   โˆ’โ„Ž cmv 30178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-hfvadd 30253  ax-hfvmul 30258  ax-hvmulass 30260  ax-hfi 30332  ax-his1 30335  ax-his2 30336  ax-his3 30337
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-2 12275  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-hvsub 30224
This theorem is referenced by:  normlem1  30363
  Copyright terms: Public domain W3C validator