Theorem normlem0 29759

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem0	⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
2		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
3		normlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 29664	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubvali 29670	. . . 4 ⊢ (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)))
6	2	mulm1i 11521	. . . . . . 7 ⊢ (-1 · 𝑆) = -𝑆
7	6	oveq1i 7347	. . . . . 6 ⊢ ((-1 · 𝑆) ·ℎ 𝐺) = (-𝑆 ·ℎ 𝐺)
8		neg1cn 12188	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 2, 3	hvmulassi 29696	. . . . . 6 ⊢ ((-1 · 𝑆) ·ℎ 𝐺) = (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))
10	7, 9	eqtr3i 2766	. . . . 5 ⊢ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) = (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))
11	10	oveq2i 7348	. . . 4 ⊢ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)))
12	5, 11	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))
13	12, 12	oveq12i 7349	. 2 ⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
14	2	negcli 11390	. . . 4 ⊢ -𝑆 ∈ ℂ
15	14, 3	hvmulcli 29664	. . 3 ⊢ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
16	1, 15	hvaddcli 29668	. . 3 ⊢ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ
17		ax-his2 29733	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ ∧ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ) → ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))))
18	1, 15, 16, 17	mp3an 1460	. 2 ⊢ ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
19		his7 29740	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
20	1, 1, 15, 19	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
21		his5 29736	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
22	14, 1, 3, 21	mp3an 1460	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
23	2	cjnegi 14992	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-𝑆) = -(∗‘𝑆)
24	23	oveq1i 7347	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
25	22, 24	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
26	25	oveq2i 7348	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
27	20, 26	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
28		ax-his3 29734	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ) → ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))))
29	14, 3, 16, 28	mp3an 1460	. . . 4 ⊢ ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
30		his7 29740	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
31	3, 1, 15, 30	mp3an 1460	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
32		his5 29736	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
33	14, 3, 3, 32	mp3an 1460	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))
34	33	oveq2i 7348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
35	31, 34	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
36	35	oveq2i 7348	. . . 4 ⊢ (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))) = (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
37	3, 1	hicli 29731	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
38	14	cjcli 14979	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-𝑆) ∈ ℂ
39	3, 3	hicli 29731	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 11083	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
41	14, 37, 40	adddii 11088	. . . . 5 ⊢ (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
42	14, 38, 39	mulassi 11087	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
43	23	oveq2i 7348	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (-𝑆 · -(∗‘𝑆))
44	2	cjcli 14979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
45	2, 44	mul2negi 11524	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑆 · -(∗‘𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
46	43, 45	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
47	46	oveq1i 7347	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
48	42, 47	eqtr3i 2766	. . . . . 6 ⊢ (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
49	48	oveq2i 7348	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
50	41, 49	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
51	29, 36, 50	3eqtri 2768	. . 3 ⊢ ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
52	27, 51	oveq12i 7349	. 2 ⊢ ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
53	13, 18, 52	3eqtri 2768	1 ⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  ℂcc 10970  1c1 10973   + caddc 10975   · cmul 10977  -cneg 11307  ∗ccj 14906   ℋchba 29569   +_ℎ cva 29570   ·_ℎ csm 29571   ·_ih csp 29572   −_ℎ cmv 29575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-hfvadd 29650  ax-hfvmul 29655  ax-hvmulass 29657  ax-hfi 29729  ax-his1 29732  ax-his2 29733  ax-his3 29734

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-2 12137  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-hvsub 29621

This theorem is referenced by:  normlem1  29760