Theorem normlem0 30114

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem0	⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
2		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
3		normlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 30019	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubvali 30025	. . . 4 ⊢ (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)))
6	2	mulm1i 11609	. . . . . . 7 ⊢ (-1 · 𝑆) = -𝑆
7	6	oveq1i 7372	. . . . . 6 ⊢ ((-1 · 𝑆) ·ℎ 𝐺) = (-𝑆 ·ℎ 𝐺)
8		neg1cn 12276	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 2, 3	hvmulassi 30051	. . . . . 6 ⊢ ((-1 · 𝑆) ·ℎ 𝐺) = (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))
10	7, 9	eqtr3i 2761	. . . . 5 ⊢ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) = (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))
11	10	oveq2i 7373	. . . 4 ⊢ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)))
12	5, 11	eqtr4i 2762	. . 3 ⊢ (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))
13	12, 12	oveq12i 7374	. 2 ⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
14	2	negcli 11478	. . . 4 ⊢ -𝑆 ∈ ℂ
15	14, 3	hvmulcli 30019	. . 3 ⊢ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
16	1, 15	hvaddcli 30023	. . 3 ⊢ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ
17		ax-his2 30088	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ ∧ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ) → ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))))
18	1, 15, 16, 17	mp3an 1461	. 2 ⊢ ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
19		his7 30095	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
20	1, 1, 15, 19	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
21		his5 30091	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
22	14, 1, 3, 21	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
23	2	cjnegi 15079	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-𝑆) = -(∗‘𝑆)
24	23	oveq1i 7372	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
25	22, 24	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
26	25	oveq2i 7373	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
27	20, 26	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
28		ax-his3 30089	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ) → ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))))
29	14, 3, 16, 28	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
30		his7 30095	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
31	3, 1, 15, 30	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
32		his5 30091	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
33	14, 3, 3, 32	mp3an 1461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))
34	33	oveq2i 7373	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
35	31, 34	eqtri 2759	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
36	35	oveq2i 7373	. . . 4 ⊢ (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))) = (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
37	3, 1	hicli 30086	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
38	14	cjcli 15066	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-𝑆) ∈ ℂ
39	3, 3	hicli 30086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 11171	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
41	14, 37, 40	adddii 11176	. . . . 5 ⊢ (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
42	14, 38, 39	mulassi 11175	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
43	23	oveq2i 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (-𝑆 · -(∗‘𝑆))
44	2	cjcli 15066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
45	2, 44	mul2negi 11612	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑆 · -(∗‘𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
46	43, 45	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
47	46	oveq1i 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
48	42, 47	eqtr3i 2761	. . . . . 6 ⊢ (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
49	48	oveq2i 7373	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
50	41, 49	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
51	29, 36, 50	3eqtri 2763	. . 3 ⊢ ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
52	27, 51	oveq12i 7374	. 2 ⊢ ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
53	13, 18, 52	3eqtri 2763	1 ⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  ℂcc 11058  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065  -cneg 11395  ∗ccj 14993   ℋchba 29924   +_ℎ cva 29925   ·_ℎ csm 29926   ·_ih csp 29927   −_ℎ cmv 29930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137  ax-hfvadd 30005  ax-hfvmul 30010  ax-hvmulass 30012  ax-hfi 30084  ax-his1 30087  ax-his2 30088  ax-his3 30089

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-2 12225  df-cj 14996  df-re 14997  df-im 14998  df-hvsub 29976

This theorem is referenced by:  normlem1  30115