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Theorem normlem0 28422
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3 𝐺 ∈ ℋ
Assertion
Ref Expression
normlem0 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem0
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . . 5 𝐹 ∈ ℋ
2 normlem1.1 . . . . . 6 𝑆 ∈ ℂ
3 normlem1.3 . . . . . 6 𝐺 ∈ ℋ
42, 3hvmulcli 28327 . . . . 5 (𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ
51, 4hvsubvali 28333 . . . 4 (𝐹 (𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-1 · (𝑆 · 𝐺)))
62mulm1i 10729 . . . . . . 7 (-1 · 𝑆) = -𝑆
76oveq1i 6852 . . . . . 6 ((-1 · 𝑆) · 𝐺) = (-𝑆 · 𝐺)
8 neg1cn 11393 . . . . . . 7 -1 ∈ ℂ
98, 2, 3hvmulassi 28359 . . . . . 6 ((-1 · 𝑆) · 𝐺) = (-1 · (𝑆 · 𝐺))
107, 9eqtr3i 2789 . . . . 5 (-𝑆 · 𝐺) = (-1 · (𝑆 · 𝐺))
1110oveq2i 6853 . . . 4 (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-1 · (𝑆 · 𝐺)))
125, 11eqtr4i 2790 . . 3 (𝐹 (𝑆 · 𝐺)) = (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))
1312, 12oveq12i 6854 . 2 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))
142negcli 10603 . . . 4 -𝑆 ∈ ℂ
1514, 3hvmulcli 28327 . . 3 (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ
161, 15hvaddcli 28331 . . 3 (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ
17 ax-his2 28396 . . 3 ((𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ ∧ (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ) → ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))))
181, 15, 16, 17mp3an 1585 . 2 ((𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))))
19 his7 28403 . . . . 5 ((𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺))))
201, 1, 15, 19mp3an 1585 . . . 4 (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)))
21 his5 28399 . . . . . . 7 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2214, 1, 3, 21mp3an 1585 . . . . . 6 (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
232cjnegi 14207 . . . . . . 7 (∗‘-𝑆) = -(∗‘𝑆)
2423oveq1i 6852 . . . . . 6 ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
2522, 24eqtri 2787 . . . . 5 (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
2625oveq2i 6853 . . . 4 ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
2720, 26eqtri 2787 . . 3 (𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
28 ax-his3 28397 . . . . 5 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)) ∈ ℋ) → ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))))
2914, 3, 16, 28mp3an 1585 . . . 4 ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))))
30 his7 28403 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 · 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺))))
313, 1, 15, 30mp3an 1585 . . . . . 6 (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)))
32 his5 28399 . . . . . . . 8 ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3314, 3, 3, 32mp3an 1585 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))
3433oveq2i 6853 . . . . . 6 ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3531, 34eqtri 2787 . . . . 5 (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
3635oveq2i 6853 . . . 4 (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))) = (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
373, 1hicli 28394 . . . . . 6 (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
3814cjcli 14194 . . . . . . 7 (∗‘-𝑆) ∈ ℂ
393, 3hicli 28394 . . . . . . 7 (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
4038, 39mulcli 10301 . . . . . 6 ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
4114, 37, 40adddii 10306 . . . . 5 (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
4214, 38, 39mulassi 10305 . . . . . . 7 ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
4323oveq2i 6853 . . . . . . . . 9 (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (-𝑆 · -(∗‘𝑆))
442cjcli 14194 . . . . . . . . . 10 (∗‘𝑆) ∈ ℂ
452, 44mul2negi 10732 . . . . . . . . 9 (-𝑆 · -(∗‘𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
4643, 45eqtri 2787 . . . . . . . 8 (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
4746oveq1i 6852 . . . . . . 7 ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4842, 47eqtr3i 2789 . . . . . 6 (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
4948oveq2i 6853 . . . . 5 ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5041, 49eqtri 2787 . . . 4 (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5129, 36, 503eqtri 2791 . . 3 ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
5227, 51oveq12i 6854 . 2 ((𝐹 ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺))) + ((-𝑆 · 𝐺) ·ih (𝐹 + (-𝑆 · 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
5313, 18, 523eqtri 2791 1 ((𝐹 (𝑆 · 𝐺)) ·ih (𝐹 (𝑆 · 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  -cneg 10521  ccj 14121  chba 28232   + cva 28233   · csm 28234   ·ih csp 28235   cmv 28238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-hfvadd 28313  ax-hfvmul 28318  ax-hvmulass 28320  ax-hfi 28392  ax-his1 28395  ax-his2 28396  ax-his3 28397
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-2 11335  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-hvsub 28284
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