Theorem normlem0 31712

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem0	⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + ( -(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (( -𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
2		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
3		normlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 31617	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubvali 31623	. . . 4 ⊢ (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)))
6	2	mulm1i 11762	. . . . . . 7 ⊢ ( -1 · 𝑆) = -𝑆
7	6	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ (( -1 · 𝑆) ·ℎ 𝐺) = ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)
8		neg1cn 12306	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 2, 3	hvmulassi 31649	. . . . . 6 ⊢ (( -1 · 𝑆) ·ℎ 𝐺) = ( -1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))
10	7, 9	eqtr3i 2785	. . . . 5 ⊢ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺) = ( -1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))
11	10	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ ( -1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)))
12	5, 11	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))
13	12, 12	oveq12i 7432	. 2 ⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)))
14	2	negcli 11627	. . . 4 ⊢ -𝑆 ∈ ℂ
15	14, 3	hvmulcli 31617	. . 3 ⊢ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
16	1, 15	hvaddcli 31621	. . 3 ⊢ (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ
17		ax-his2 31686	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℋ ∧ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ ∧ (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ) → ((𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) + (( -𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)))))
18	1, 15, 16, 17	mp3an 1490	. 2 ⊢ ((𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) + (( -𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))))
19		his7 31693	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))))
20	1, 1, 15, 19	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)))
21		his5 31689	. . . . . . 7 ⊢ (( -𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘ -𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
22	14, 1, 3, 21	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘ -𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
23	2	cjnegi 15350	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘ -𝑆) = -(∗‘𝑆)
24	23	oveq1i 7430	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘ -𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = ( -(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
25	22, 24	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ( -(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
26	25	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ( -(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
27	20, 26	eqtri 2783	. . 3 ⊢ (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + ( -(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
28		ax-his3 31687	. . . . 5 ⊢ (( -𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ) → (( -𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ( -𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)))))
29	14, 3, 16, 28	mp3an 1490	. . . 4 ⊢ (( -𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ( -𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))))
30		his7 31693	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))))
31	3, 1, 15, 30	mp3an 1490	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)))
32		his5 31689	. . . . . . . 8 ⊢ (( -𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
33	14, 3, 3, 32	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))
34	33	oveq2i 7431	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
35	31, 34	eqtri 2783	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
36	35	oveq2i 7431	. . . 4 ⊢ ( -𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)))) = ( -𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
37	3, 1	hicli 31684	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
38	14	cjcli 15337	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘ -𝑆) ∈ ℂ
39	3, 3	hicli 31684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 11317	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
41	14, 37, 40	adddii 11322	. . . . 5 ⊢ ( -𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (( -𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ( -𝑆 · ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
42	14, 38, 39	mulassi 11321	. . . . . . 7 ⊢ (( -𝑆 · (∗‘ -𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ( -𝑆 · ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
43	23	oveq2i 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -𝑆 · (∗‘ -𝑆)) = ( -𝑆 · -(∗‘𝑆))
44	2	cjcli 15337	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
45	2, 44	mul2negi 11765	. . . . . . . . 9 ⊢ ( -𝑆 · -(∗‘𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
46	43, 45	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ ( -𝑆 · (∗‘ -𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
47	46	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (( -𝑆 · (∗‘ -𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
48	42, 47	eqtr3i 2785	. . . . . 6 ⊢ ( -𝑆 · ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
49	48	oveq2i 7431	. . . . 5 ⊢ (( -𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ( -𝑆 · ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (( -𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
50	41, 49	eqtri 2783	. . . 4 ⊢ ( -𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘ -𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = (( -𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
51	29, 36, 50	3eqtri 2787	. . 3 ⊢ (( -𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (( -𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
52	27, 51	oveq12i 7432	. 2 ⊢ ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺))) + (( -𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ ( -𝑆 ·ℎ 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + ( -(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (( -𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
53	13, 18, 52	3eqtri 2787	1 ⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + ( -(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + (( -𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  1c1 11202   + caddc 11204   · cmul 11206   -cneg 11543  ∗ccj 15264   ℋchba 31522   +_ℎ cva 31523   ·_ℎ csm 31524   ·_ih csp 31525   −_ℎ cmv 31528

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-hfvadd 31603  ax-hfvmul 31608  ax-hvmulass 31610  ax-hfi 31682  ax-his1 31685  ax-his2 31686  ax-his3 31687

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-hvsub 31574

This theorem is used by:  normlem1  31713