Theorem normlem0 31141

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem0	⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
2		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
3		normlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 31046	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubvali 31052	. . . 4 ⊢ (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)))
6	2	mulm1i 11735	. . . . . . 7 ⊢ (-1 · 𝑆) = -𝑆
7	6	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((-1 · 𝑆) ·ℎ 𝐺) = (-𝑆 ·ℎ 𝐺)
8		neg1cn 12407	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 2, 3	hvmulassi 31078	. . . . . 6 ⊢ ((-1 · 𝑆) ·ℎ 𝐺) = (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))
10	7, 9	eqtr3i 2770	. . . . 5 ⊢ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) = (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))
11	10	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)))
12	5, 11	eqtr4i 2771	. . 3 ⊢ (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))
13	12, 12	oveq12i 7460	. 2 ⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
14	2	negcli 11604	. . . 4 ⊢ -𝑆 ∈ ℂ
15	14, 3	hvmulcli 31046	. . 3 ⊢ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
16	1, 15	hvaddcli 31050	. . 3 ⊢ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ
17		ax-his2 31115	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ ∧ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ) → ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))))
18	1, 15, 16, 17	mp3an 1461	. 2 ⊢ ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
19		his7 31122	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
20	1, 1, 15, 19	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
21		his5 31118	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
22	14, 1, 3, 21	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
23	2	cjnegi 15231	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-𝑆) = -(∗‘𝑆)
24	23	oveq1i 7458	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
25	22, 24	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
26	25	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
27	20, 26	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
28		ax-his3 31116	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ) → ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))))
29	14, 3, 16, 28	mp3an 1461	. . . 4 ⊢ ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
30		his7 31122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
31	3, 1, 15, 30	mp3an 1461	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
32		his5 31118	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
33	14, 3, 3, 32	mp3an 1461	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))
34	33	oveq2i 7459	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
35	31, 34	eqtri 2768	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
36	35	oveq2i 7459	. . . 4 ⊢ (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))) = (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
37	3, 1	hicli 31113	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
38	14	cjcli 15218	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-𝑆) ∈ ℂ
39	3, 3	hicli 31113	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 11297	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
41	14, 37, 40	adddii 11302	. . . . 5 ⊢ (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
42	14, 38, 39	mulassi 11301	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
43	23	oveq2i 7459	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (-𝑆 · -(∗‘𝑆))
44	2	cjcli 15218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
45	2, 44	mul2negi 11738	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑆 · -(∗‘𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
46	43, 45	eqtri 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
47	46	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
48	42, 47	eqtr3i 2770	. . . . . 6 ⊢ (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
49	48	oveq2i 7459	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
50	41, 49	eqtri 2768	. . . 4 ⊢ (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
51	29, 36, 50	3eqtri 2772	. . 3 ⊢ ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
52	27, 51	oveq12i 7460	. 2 ⊢ ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
53	13, 18, 52	3eqtri 2772	1 ⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189  -cneg 11521  ∗ccj 15145   ℋchba 30951   +_ℎ cva 30952   ·_ℎ csm 30953   ·_ih csp 30954   −_ℎ cmv 30957

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-hfvadd 31032  ax-hfvmul 31037  ax-hvmulass 31039  ax-hfi 31111  ax-his1 31114  ax-his2 31115  ax-his3 31116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-2 12356  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-hvsub 31003

This theorem is referenced by:  normlem1  31142