HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  normlem0 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem normlem0 30400
Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
normlem1.1 ๐‘† โˆˆ โ„‚
normlem1.2 ๐น โˆˆ โ„‹
normlem1.3 ๐บ โˆˆ โ„‹
Assertion
Ref Expression
normlem0 ((๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = (((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
Proof of Theorem normlem0
StepHypRef Expression
1 normlem1.2 . . . . 5 ๐น โˆˆ โ„‹
2 normlem1.1 . . . . . 6 ๐‘† โˆˆ โ„‚
3 normlem1.3 . . . . . 6 ๐บ โˆˆ โ„‹
42, 3hvmulcli 30305 . . . . 5 (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) โˆˆ โ„‹
51, 4hvsubvali 30311 . . . 4 (๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = (๐น +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))
62mulm1i 11661 . . . . . . 7 (-1 ยท ๐‘†) = -๐‘†
76oveq1i 7421 . . . . . 6 ((-1 ยท ๐‘†) ยทโ„Ž ๐บ) = (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)
8 neg1cn 12328 . . . . . . 7 -1 โˆˆ โ„‚
98, 2, 3hvmulassi 30337 . . . . . 6 ((-1 ยท ๐‘†) ยทโ„Ž ๐บ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))
107, 9eqtr3i 2762 . . . . 5 (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) = (-1 ยทโ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))
1110oveq2i 7422 . . . 4 (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = (๐น +โ„Ž (-1 ยทโ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))
125, 11eqtr4i 2763 . . 3 (๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))
1312, 12oveq12i 7423 . 2 ((๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))
142negcli 11530 . . . 4 -๐‘† โˆˆ โ„‚
1514, 3hvmulcli 30305 . . 3 (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) โˆˆ โ„‹
161, 15hvaddcli 30309 . . 3 (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) โˆˆ โ„‹
17 ax-his2 30374 . . 3 ((๐น โˆˆ โ„‹ โˆง (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) โˆˆ โ„‹ โˆง (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) + ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))))
181, 15, 16, 17mp3an 1461 . 2 ((๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) + ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))))
19 his7 30381 . . . . 5 ((๐น โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โˆˆ โ„‹ โˆง (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih ๐น) + (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))))
201, 1, 15, 19mp3an 1461 . . . 4 (๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih ๐น) + (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))
21 his5 30377 . . . . . . 7 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง ๐น โˆˆ โ„‹ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)))
2214, 1, 3, 21mp3an 1461 . . . . . 6 (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))
232cjnegi 15131 . . . . . . 7 (โˆ—โ€˜-๐‘†) = -(โˆ—โ€˜๐‘†)
2423oveq1i 7421 . . . . . 6 ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)) = (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))
2522, 24eqtri 2760 . . . . 5 (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))
2625oveq2i 7422 . . . 4 ((๐น ยทih ๐น) + (๐น ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)))
2720, 26eqtri 2760 . . 3 (๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ)))
28 ax-his3 30375 . . . . 5 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‹ โˆง (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) โˆˆ โ„‹) โ†’ ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = (-๐‘† ยท (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))))
2914, 3, 16, 28mp3an 1461 . . . 4 ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = (-๐‘† ยท (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))))
30 his7 30381 . . . . . . 7 ((๐บ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐น โˆˆ โ„‹ โˆง (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐บ ยทih ๐น) + (๐บ ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))))
313, 1, 15, 30mp3an 1461 . . . . . 6 (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐บ ยทih ๐น) + (๐บ ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))
32 his5 30377 . . . . . . . 8 ((-๐‘† โˆˆ โ„‚ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‹ โˆง ๐บ โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐บ ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
3314, 3, 3, 32mp3an 1461 . . . . . . 7 (๐บ ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) = ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ))
3433oveq2i 7422 . . . . . 6 ((๐บ ยทih ๐น) + (๐บ ยทih (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐บ ยทih ๐น) + ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
3531, 34eqtri 2760 . . . . 5 (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((๐บ ยทih ๐น) + ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
3635oveq2i 7422 . . . 4 (-๐‘† ยท (๐บ ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))) = (-๐‘† ยท ((๐บ ยทih ๐น) + ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
373, 1hicli 30372 . . . . . 6 (๐บ ยทih ๐น) โˆˆ โ„‚
3814cjcli 15118 . . . . . . 7 (โˆ—โ€˜-๐‘†) โˆˆ โ„‚
393, 3hicli 30372 . . . . . . 7 (๐บ ยทih ๐บ) โˆˆ โ„‚
4038, 39mulcli 11223 . . . . . 6 ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)) โˆˆ โ„‚
4114, 37, 40adddii 11228 . . . . 5 (-๐‘† ยท ((๐บ ยทih ๐น) + ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))) = ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + (-๐‘† ยท ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
4214, 38, 39mulassi 11227 . . . . . . 7 ((-๐‘† ยท (โˆ—โ€˜-๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ)) = (-๐‘† ยท ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
4323oveq2i 7422 . . . . . . . . 9 (-๐‘† ยท (โˆ—โ€˜-๐‘†)) = (-๐‘† ยท -(โˆ—โ€˜๐‘†))
442cjcli 15118 . . . . . . . . . 10 (โˆ—โ€˜๐‘†) โˆˆ โ„‚
452, 44mul2negi 11664 . . . . . . . . 9 (-๐‘† ยท -(โˆ—โ€˜๐‘†)) = (๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†))
4643, 45eqtri 2760 . . . . . . . 8 (-๐‘† ยท (โˆ—โ€˜-๐‘†)) = (๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†))
4746oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((-๐‘† ยท (โˆ—โ€˜-๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ)) = ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ))
4842, 47eqtr3i 2762 . . . . . 6 (-๐‘† ยท ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ))) = ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ))
4948oveq2i 7422 . . . . 5 ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + (-๐‘† ยท ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))) = ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
5041, 49eqtri 2760 . . . 4 (-๐‘† ยท ((๐บ ยทih ๐น) + ((โˆ—โ€˜-๐‘†) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))) = ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
5129, 36, 503eqtri 2764 . . 3 ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ)))
5227, 51oveq12i 7423 . 2 ((๐น ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) + ((-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ) ยทih (๐น +โ„Ž (-๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)))) = (((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
5313, 18, 523eqtri 2764 1 ((๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ)) ยทih (๐น โˆ’โ„Ž (๐‘† ยทโ„Ž ๐บ))) = (((๐น ยทih ๐น) + (-(โˆ—โ€˜๐‘†) ยท (๐น ยทih ๐บ))) + ((-๐‘† ยท (๐บ ยทih ๐น)) + ((๐‘† ยท (โˆ—โ€˜๐‘†)) ยท (๐บ ยทih ๐บ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  -cneg 11447  โˆ—ccj 15045   โ„‹chba 30210   +โ„Ž cva 30211   ยทโ„Ž csm 30212   ยทih csp 30213   โˆ’โ„Ž cmv 30216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-hfvadd 30291  ax-hfvmul 30296  ax-hvmulass 30298  ax-hfi 30370  ax-his1 30373  ax-his2 30374  ax-his3 30375
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-2 12277  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-hvsub 30262
This theorem is referenced by:  normlem1  30401
  Copyright terms: Public domain W3C validator