Theorem normlem0 31129

Description: Lemma used to derive properties of norm. Part of Theorem 3.3(ii) of [Beran] p. 97. (Contributed by NM, 7-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
normlem1.1	⊢ 𝑆 ∈ ℂ
normlem1.2	⊢ 𝐹 ∈ ℋ
normlem1.3	⊢ 𝐺 ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
normlem0	⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Proof of Theorem normlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		normlem1.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 ∈ ℋ
2		normlem1.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 ∈ ℂ
3		normlem1.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 ∈ ℋ
4	2, 3	hvmulcli 31034	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
5	1, 4	hvsubvali 31040	. . . 4 ⊢ (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)))
6	2	mulm1i 11709	. . . . . . 7 ⊢ (-1 · 𝑆) = -𝑆
7	6	oveq1i 7442	. . . . . 6 ⊢ ((-1 · 𝑆) ·ℎ 𝐺) = (-𝑆 ·ℎ 𝐺)
8		neg1cn 12381	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℂ
9	8, 2, 3	hvmulassi 31066	. . . . . 6 ⊢ ((-1 · 𝑆) ·ℎ 𝐺) = (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))
10	7, 9	eqtr3i 2766	. . . . 5 ⊢ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) = (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))
11	10	oveq2i 7443	. . . 4 ⊢ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-1 ·ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)))
12	5, 11	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))
13	12, 12	oveq12i 7444	. 2 ⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
14	2	negcli 11578	. . . 4 ⊢ -𝑆 ∈ ℂ
15	14, 3	hvmulcli 31034	. . 3 ⊢ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ
16	1, 15	hvaddcli 31038	. . 3 ⊢ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ
17		ax-his2 31103	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ ∧ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ) → ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))))
18	1, 15, 16, 17	mp3an 1462	. 2 ⊢ ((𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
19		his7 31110	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
20	1, 1, 15, 19	mp3an 1462	. . . 4 ⊢ (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
21		his5 31106	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
22	14, 1, 3, 21	mp3an 1462	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
23	2	cjnegi 15222	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-𝑆) = -(∗‘𝑆)
24	23	oveq1i 7442	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
25	22, 24	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))
26	25	oveq2i 7443	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ·ih 𝐹) + (𝐹 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
27	20, 26	eqtri 2764	. . 3 ⊢ (𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺)))
28		ax-his3 31104	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) ∈ ℋ) → ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))))
29	14, 3, 16, 28	mp3an 1462	. . . 4 ⊢ ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
30		his7 31110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐹 ∈ ℋ ∧ (-𝑆 ·ℎ 𝐺) ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))))
31	3, 1, 15, 30	mp3an 1462	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))
32		his5 31106	. . . . . . . 8 ⊢ ((-𝑆 ∈ ℂ ∧ 𝐺 ∈ ℋ ∧ 𝐺 ∈ ℋ) → (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
33	14, 3, 3, 32	mp3an 1462	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺)) = ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))
34	33	oveq2i 7443	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ·ih 𝐹) + (𝐺 ·ih (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
35	31, 34	eqtri 2764	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
36	35	oveq2i 7443	. . . 4 ⊢ (-𝑆 · (𝐺 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))) = (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
37	3, 1	hicli 31101	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐹) ∈ ℂ
38	14	cjcli 15209	. . . . . . 7 ⊢ (∗‘-𝑆) ∈ ℂ
39	3, 3	hicli 31101	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ·ih 𝐺) ∈ ℂ
40	38, 39	mulcli 11269	. . . . . 6 ⊢ ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)) ∈ ℂ
41	14, 37, 40	adddii 11274	. . . . 5 ⊢ (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
42	14, 38, 39	mulassi 11273	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
43	23	oveq2i 7443	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (-𝑆 · -(∗‘𝑆))
44	2	cjcli 15209	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∗‘𝑆) ∈ ℂ
45	2, 44	mul2negi 11712	. . . . . . . . 9 ⊢ (-𝑆 · -(∗‘𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
46	43, 45	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝑆 · (∗‘-𝑆)) = (𝑆 · (∗‘𝑆))
47	46	oveq1i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑆 · (∗‘-𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
48	42, 47	eqtr3i 2766	. . . . . 6 ⊢ (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺))) = ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))
49	48	oveq2i 7443	. . . . 5 ⊢ ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + (-𝑆 · ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
50	41, 49	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (-𝑆 · ((𝐺 ·ih 𝐹) + ((∗‘-𝑆) · (𝐺 ·ih 𝐺)))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
51	29, 36, 50	3eqtri 2768	. . 3 ⊢ ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) = ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺)))
52	27, 51	oveq12i 7444	. 2 ⊢ ((𝐹 ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺))) + ((-𝑆 ·ℎ 𝐺) ·ih (𝐹 +ℎ (-𝑆 ·ℎ 𝐺)))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))
53	13, 18, 52	3eqtri 2768	1 ⊢ ((𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺)) ·ih (𝐹 −ℎ (𝑆 ·ℎ 𝐺))) = (((𝐹 ·ih 𝐹) + (-(∗‘𝑆) · (𝐹 ·ih 𝐺))) + ((-𝑆 · (𝐺 ·ih 𝐹)) + ((𝑆 · (∗‘𝑆)) · (𝐺 ·ih 𝐺))))

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  1c1 11157   + caddc 11159   · cmul 11161  -cneg 11494  ∗ccj 15136   ℋchba 30939   +_ℎ cva 30940   ·_ℎ csm 30941   ·_ih csp 30942   −_ℎ cmv 30945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-hfvadd 31020  ax-hfvmul 31025  ax-hvmulass 31027  ax-hfi 31099  ax-his1 31102  ax-his2 31103  ax-his3 31104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-hvsub 30991

This theorem is referenced by:  normlem1  31130