Theorem i1fmbf 24839

Description: Simple functions are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fmbf	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem i1fmbf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 24838	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simplbi 498	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884  {csn 4561  ^◡ccnv 5588  dom cdm 5589  ran crn 5590   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  ℝcr 10870  0cc0 10871  volcvol 24627  MblFncmbf 24778  ∫₁citg1 24779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-sum 15398  df-itg1 24784

This theorem is referenced by:  i1fima  24842  i1fadd  24859  mbfmullem2  24889  itg2monolem1  24915  itg2i1fseq  24920  i1fibl  24972  itg2addnclem2  35829  ftc1anclem4  35853  ftc1anclem5  35854  ftc1anclem8  35857