Theorem i1fmbf 25191

Description: Simple functions are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fmbf	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem i1fmbf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25190	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simplbi 498	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945  {csn 4628  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Fincfn 8938  ℝcr 11108  0cc0 11109  volcvol 24979  MblFncmbf 25130  ∫₁citg1 25131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-sum 15632  df-itg1 25136

This theorem is referenced by:  i1fima  25194  i1fadd  25211  mbfmullem2  25241  itg2monolem1  25267  itg2i1fseq  25272  i1fibl  25324  itg2addnclem2  36535  ftc1anclem4  36559  ftc1anclem5  36560  ftc1anclem8  36563