Theorem i1fmbf 25725

Description: Simple functions are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fmbf	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem i1fmbf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25724	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simplbi 500	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3899  {csn 4579  ^◡ccnv 5642  dom cdm 5643  ran crn 5644   “ cima 5646  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  Fincfn 8921  ℝcr 11066  0cc0 11067  volcvol 25513  MblFncmbf 25664  ∫₁citg1 25665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5538  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-fv 6524  df-sum 15705  df-itg1 25670

This theorem is referenced by:  i1fima  25728  i1fadd  25745  mbfmullem2  25774  itg2monolem1  25800  itg2i1fseq  25805  i1fibl  25858  itg2addnclem2  38132  ftc1anclem4  38156  ftc1anclem5  38157  ftc1anclem8  38160