MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmbf 25617
Description: Simple functions are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fmbf (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem i1fmbf
StepHypRef Expression
1 isi1f 25616 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
21simplbi 497 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3944  {csn 4629  β—‘ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679   β€œ cima 5681  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  Fincfn 8964  β„cr 11138  0cc0 11139  volcvol 25405  MblFncmbf 25556  βˆ«1citg1 25557
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-sum 15666  df-itg1 25562
This theorem is referenced by:  i1fima  25620  i1fadd  25637  mbfmullem2  25667  itg2monolem1  25693  itg2i1fseq  25698  i1fibl  25750  itg2addnclem2  37145  ftc1anclem4  37169  ftc1anclem5  37170  ftc1anclem8  37173
  Copyright terms: Public domain W3C validator