MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmbf 23655
Description: Simple functions are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fmbf (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem i1fmbf
StepHypRef Expression
1 isi1f 23654 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
21simplbi 485 1 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071  wcel 2145  cdif 3720  {csn 4316  ccnv 5248  dom cdm 5249  ran crn 5250  cima 5252  wf 6025  cfv 6029  Fincfn 8107  cr 10135  0cc0 10136  volcvol 23444  MblFncmbf 23595  1citg1 23596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-fv 6037  df-sum 14618  df-itg1 23601
This theorem is referenced by:  i1fima  23658  i1fadd  23675  mbfmullem2  23704  itg2monolem1  23730  itg2i1fseq  23735  i1fibl  23787  itg2addnclem2  33787  ftc1anclem4  33813  ftc1anclem5  33814  ftc1anclem8  33817
  Copyright terms: Public domain W3C validator