Theorem i1fmbf 25592

Description: Simple functions are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fmbf	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem i1fmbf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25591	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624   “ cima 5626  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  Fincfn 8879  ℝcr 11027  0cc0 11028  volcvol 25380  MblFncmbf 25531  ∫₁citg1 25532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-sum 15612  df-itg1 25537

This theorem is referenced by:  i1fima  25595  i1fadd  25612  mbfmullem2  25641  itg2monolem1  25667  itg2i1fseq  25672  i1fibl  25725  itg2addnclem2  37654  ftc1anclem4  37678  ftc1anclem5  37679  ftc1anclem8  37682