Theorem i1fmbf 25865

Description: Simple functions are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fmbf	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem i1fmbf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25864	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 3903  {csn 4591  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  Fincfn 8945  ℝcr 11110  0cc0 11111  volcvol 25653  MblFncmbf 25804  ∫₁citg1 25805

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-sum 15758  df-itg1 25810

This theorem is used by:  i1fima  25868  i1fadd  25885  mbfmullem2  25914  itg2monolem1  25940  itg2i1fseq  25945  i1fibl  25998  itg2addnclem2  38356  ftc1anclem4  38380  ftc1anclem5  38381  ftc1anclem8  38384