MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fmbf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fmbf 25042
Description: Simple functions are measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fmbf (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)

Proof of Theorem i1fmbf
StepHypRef Expression
1 isi1f 25041 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (volβ€˜(◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– {0}))) ∈ ℝ)))
21simplbi 499 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3908  {csn 4587  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β€œ cima 5637  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  Fincfn 8884  β„cr 11051  0cc0 11052  volcvol 24830  MblFncmbf 24981  βˆ«1citg1 24982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-fv 6505  df-sum 15572  df-itg1 24987
This theorem is referenced by:  i1fima  25045  i1fadd  25062  mbfmullem2  25092  itg2monolem1  25118  itg2i1fseq  25123  i1fibl  25175  itg2addnclem2  36133  ftc1anclem4  36157  ftc1anclem5  36158  ftc1anclem8  36161
  Copyright terms: Public domain W3C validator