MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fibl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem i1fibl 25557
Description: A simple function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fibl (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Proof of Theorem i1fibl
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 25425 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
21feqmptd 6959 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3 i1fmbf 25424 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
42, 3eqeltrrd 2832 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
5 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
65biantrurd 531 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
76ifbid 4550 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
87mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
98fveq2d 6894 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
10 eqid 2730 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
1110i1fpos 25456 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
12 0re 11220 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
131ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
14 max1 13168 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
1512, 13, 14sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
1615ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))
17 reex 11203 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
1912a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
20 fvex 6903 . . . . . . . . . . 11 (πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
21 c0ex 11212 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2220, 21ifex 4577 . . . . . . . . . 10 if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V)
24 fconstmpt 5737 . . . . . . . . . 10 (ℝ Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 0)
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 0))
26 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
2718, 19, 23, 25, 26ofrfval2 7693 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
2816, 27mpbird 256 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
29 ax-resscn 11169 . . . . . . . . 9 ℝ βŠ† β„‚
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ βŠ† β„‚)
3122, 10fnmpti 6692 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn ℝ)
3330, 320pledm 25422 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
3428, 33mpbird 256 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)))
35 itg2itg1 25486 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
3611, 34, 35syl2anc 582 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
379, 36eqtr3d 2772 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))))
38 itg1cl 25434 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
3911, 38syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
4037, 39eqeltrd 2831 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
415biantrurd 531 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯))))
4241ifbid 4550 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) = if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯)), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
4342mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯)), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
4443fveq2d 6894 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯)), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
45 neg1rr 12331 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ -1 ∈ ℝ)
47 fconstmpt 5737 . . . . . . . . . . 11 (ℝ Γ— {-1}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -1)
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {-1}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -1))
4918, 46, 13, 48, 2offval2 7692 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (-1 Β· (πΉβ€˜π‘₯))))
5013recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5150mulm1d 11670 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-1 Β· (πΉβ€˜π‘₯)) = -(πΉβ€˜π‘₯))
5251mpteq2dva 5247 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (-1 Β· (πΉβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)))
5349, 52eqtrd 2770 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐹) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)))
54 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ dom ∫1)
5545a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ -1 ∈ ℝ)
5654, 55i1fmulc 25453 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-1}) ∘f Β· 𝐹) ∈ dom ∫1)
5753, 56eqeltrrd 2832 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ -(πΉβ€˜π‘₯)) ∈ dom ∫1)
5857i1fposd 25457 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
5913renegcld 11645 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
60 max1 13168 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
6112, 59, 60sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
6261ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
63 negex 11462 . . . . . . . . . . 11 -(πΉβ€˜π‘₯) ∈ V
6463, 21ifex 4577 . . . . . . . . . 10 if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0) ∈ V)
66 eqidd 2731 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
6718, 19, 65, 25, 66ofrfval2 7693 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ 0 ≀ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
6862, 67mpbird 256 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
69 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))
7064, 69fnmpti 6692 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn ℝ
7170a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) Fn ℝ)
7230, 710pledm 25422 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ↔ (ℝ Γ— {0}) ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
7368, 72mpbird 256 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)))
74 itg2itg1 25486 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
7558, 73, 74syl2anc 582 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
7644, 75eqtr3d 2772 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯)), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))))
77 itg1cl 25434 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
7858, 77syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
7976, 78eqeltrd 2831 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯)), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
8013iblrelem 25540 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1 ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)), (πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ -(πΉβ€˜π‘₯)), -(πΉβ€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)))
814, 40, 79, 80mpbir3and 1340 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ 𝐿1)
822, 81eqeltrd 2831 1 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   ∘r cofr 7671  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  -cneg 11449  MblFncmbf 25363  βˆ«1citg1 25364  βˆ«2citg2 25365  πΏ1cibl 25366  0𝑝c0p 25418
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-0p 25419
This theorem is referenced by:  itgitg1  25558  ftc1anclem4  36867
  Copyright terms: Public domain W3C validator