Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1fibl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1fibl 24390
 Description: A simple function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1fibl (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem i1fibl
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1ff 24259 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
21feqmptd 6706 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
3 i1fmbf 24258 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)
42, 3eqeltrrd 2913 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
5 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
65biantrurd 536 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥))))
76ifbid 4462 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) = if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)), (𝐹𝑥), 0))
87mpteq2dva 5134 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)), (𝐹𝑥), 0)))
98fveq2d 6647 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)), (𝐹𝑥), 0))))
10 eqid 2821 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
1110i1fpos 24289 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
12 0re 10620 . . . . . . . . . 10 0 ∈ ℝ
131ffvelrnda 6824 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
14 max1 12556 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
1512, 13, 14sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
1615ralrimiva 3170 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))
17 reex 10605 . . . . . . . . . 10 ℝ ∈ V
1817a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
1912a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
20 fvex 6656 . . . . . . . . . . 11 (𝐹𝑥) ∈ V
21 c0ex 10612 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ V
2220, 21ifex 4488 . . . . . . . . . 10 if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) ∈ V
2322a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0) ∈ V)
24 fconstmpt 5587 . . . . . . . . . 10 (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
2524a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
26 eqidd 2822 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)))
2718, 19, 23, 25, 26ofrfval2 7402 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)))
2816, 27mpbird 260 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)))
29 ax-resscn 10571 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℂ
3029a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ⊆ ℂ)
3122, 10fnmpti 6464 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) Fn ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) Fn ℝ)
3330, 320pledm 24256 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))))
3428, 33mpbird 260 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)))
35 itg2itg1 24319 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))))
3611, 34, 35syl2anc 587 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))))
379, 36eqtr3d 2858 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)), (𝐹𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))))
38 itg1cl 24268 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
3911, 38syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹𝑥), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
4037, 39eqeltrd 2912 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
415biantrurd 536 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ -(𝐹𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹𝑥))))
4241ifbid 4462 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0) = if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹𝑥)), -(𝐹𝑥), 0))
4342mpteq2dva 5134 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹𝑥)), -(𝐹𝑥), 0)))
4443fveq2d 6647 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹𝑥)), -(𝐹𝑥), 0))))
45 neg1rr 11730 . . . . . . . . . . 11 -1 ∈ ℝ
4645a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
47 fconstmpt 5587 . . . . . . . . . . 11 (ℝ × {-1}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -1)
4847a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {-1}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -1))
4918, 46, 13, 48, 2offval2 7401 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-1 · (𝐹𝑥))))
5013recnd 10646 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
5150mulm1d 11069 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (-1 · (𝐹𝑥)) = -(𝐹𝑥))
5251mpteq2dva 5134 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-1 · (𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹𝑥)))
5349, 52eqtrd 2856 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹𝑥)))
54 id 22 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ dom ∫1)
5545a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → -1 ∈ ℝ)
5654, 55i1fmulc 24286 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
5753, 56eqeltrrd 2913 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹𝑥)) ∈ dom ∫1)
5857i1fposd 24290 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
5913renegcld 11044 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐹𝑥) ∈ ℝ)
60 max1 12556 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))
6112, 59, 60sylancr 590 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))
6261ralrimiva 3170 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))
63 negex 10861 . . . . . . . . . . 11 -(𝐹𝑥) ∈ V
6463, 21ifex 4488 . . . . . . . . . 10 if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0) ∈ V
6564a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0) ∈ V)
66 eqidd 2822 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))
6718, 19, 65, 25, 66ofrfval2 7402 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))
6862, 67mpbird 260 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))
69 eqid 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))
7064, 69fnmpti 6464 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) Fn ℝ
7170a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) Fn ℝ)
7230, 710pledm 24256 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))))
7368, 72mpbird 260 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)))
74 itg2itg1 24319 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))))
7558, 73, 74syl2anc 587 . . . . 5 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))))
7644, 75eqtr3d 2858 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹𝑥)), -(𝐹𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))))
77 itg1cl 24268 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
7858, 77syl 17 . . . 4 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹𝑥), -(𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
7976, 78eqeltrd 2912 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹𝑥)), -(𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)
8013iblrelem 24373 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)), (𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹𝑥)), -(𝐹𝑥), 0))) ∈ ℝ)))
814, 40, 79, 80mpbir3and 1339 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) ∈ 𝐿1)
822, 81eqeltrd 2912 1 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ 𝐿1)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3126  Vcvv 3471   ⊆ wss 3910  ifcif 4440  {csn 4540   class class class wbr 5039   ↦ cmpt 5119   × cxp 5526  dom cdm 5528   Fn wfn 6323  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130   ∘f cof 7382   ∘r cofr 7383  ℂcc 10512  ℝcr 10513  0cc0 10514  1c1 10515   · cmul 10519   ≤ cle 10653  -cneg 10848  MblFncmbf 24197  ∫1citg1 24198  ∫2citg2 24199  𝐿1cibl 24200  0𝑝c0p 24252 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-inf2 9080  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591  ax-pre-sup 10592  ax-addf 10593 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-disj 5005  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-of 7384  df-ofr 7385  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-div 11275  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-q 12327  df-rp 12368  df-xneg 12485  df-xadd 12486  df-xmul 12487  df-ioo 12720  df-ico 12722  df-icc 12723  df-fz 12876  df-fzo 13017  df-fl 13145  df-seq 13353  df-exp 13414  df-hash 13675  df-cj 14437  df-re 14438  df-im 14439  df-sqrt 14573  df-abs 14574  df-clim 14824  df-sum 15022  df-rest 16675  df-topgen 16696  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-top 21478  df-topon 21495  df-bases 21530  df-cmp 21971  df-ovol 24047  df-vol 24048  df-mbf 24202  df-itg1 24203  df-itg2 24204  df-ibl 24205  df-0p 24253 This theorem is referenced by:  itgitg1  24391  ftc1anclem4  35019
 Copyright terms: Public domain W3C validator