Theorem i1fibl 25709

Description: A simple function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fibl	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem i1fibl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 25577	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	feqmptd 6929	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		i1fmbf 25576	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)
4	2, 3	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))))
7	6	ifbid 4512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0))
8	7	mpteq2dva 5200	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0)))
9	8	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0))))
10		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
11	10	i1fpos 25607	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
12		0re 11176	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	1	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14		max1 13145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
15	12, 13, 14	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
16	15	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
17		reex 11159	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
19	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
20		fvex 6871	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
21		c0ex 11168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
22	20, 21	ifex 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ V)
24		fconstmpt 5700	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
26		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)))
27	18, 19, 23, 25, 26	ofrfval2 7674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)))
28	16, 27	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)))
29		ax-resscn 11125	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ⊆ ℂ)
31	22, 10	fnmpti 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) Fn ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) Fn ℝ)
33	30, 32	0pledm 25574	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))))
34	28, 33	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)))
35		itg2itg1 25637	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))))
36	11, 34, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))))
37	9, 36	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))))
38		itg1cl 25586	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
39	11, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
40	37, 39	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
41	5	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ -(𝐹‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥))))
42	41	ifbid 4512	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0) = if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0))
43	42	mpteq2dva 5200	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0)))
44	43	fveq2d 6862	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0))))
45		neg1rr 12172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
47		fconstmpt 5700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ × {-1}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -1)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {-1}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -1))
49	18, 46, 13, 48, 2	offval2 7673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-1 · (𝐹‘𝑥))))
50	13	recnd 11202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	mulm1d 11630	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-1 · (𝐹‘𝑥)) = -(𝐹‘𝑥))
52	51	mpteq2dva 5200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-1 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹‘𝑥)))
53	49, 52	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹‘𝑥)))
54		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
55	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → -1 ∈ ℝ)
56	54, 55	i1fmulc 25604	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
57	53, 56	eqeltrrd 2829	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹‘𝑥)) ∈ dom ∫1)
58	57	i1fposd 25608	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
59	13	renegcld 11605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
60		max1 13145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))
61	12, 59, 60	sylancr 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))
62	61	ralrimiva 3125	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))
63		negex 11419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
64	63, 21	ifex 4539	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0) ∈ V
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0) ∈ V)
66		eqidd 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)))
67	18, 19, 65, 25, 66	ofrfval2 7674	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)))
68	62, 67	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)))
69		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))
70	64, 69	fnmpti 6661	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) Fn ℝ
71	70	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) Fn ℝ)
72	30, 71	0pledm 25574	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))))
73	68, 72	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)))
74		itg2itg1 25637	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))))
75	58, 73, 74	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))))
76	44, 75	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))))
77		itg1cl 25586	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
78	58, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
79	76, 78	eqeltrd 2828	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
80	13	iblrelem 25692	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)))
81	4, 40, 79, 80	mpbir3and 1343	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
82	2, 81	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ⊆ wss 3914  ifcif 4488  {csn 4589   class class class wbr 5107   ↦ cmpt 5188   × cxp 5636  dom cdm 5638   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651   ∘_r cofr 7652  ℂcc 11066  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   · cmul 11073   ≤ cle 11209  -cneg 11406  MblFncmbf 25515  ∫₁citg1 25516  ∫₂citg2 25517  𝐿¹cibl 25518  0_𝑝c0p 25570

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-ofr 7654  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fi 9362  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xneg 13072  df-xadd 13073  df-xmul 13074  df-ioo 13310  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-sum 15653  df-rest 17385  df-topgen 17406  df-psmet 21256  df-xmet 21257  df-met 21258  df-bl 21259  df-mopn 21260  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cmp 23274  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-mbf 25520  df-itg1 25521  df-itg2 25522  df-ibl 25523  df-0p 25571

This theorem is referenced by:  itgitg1  25710  ftc1anclem4  37690