Theorem i1fibl 24915

Description: A simple function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1fibl	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ 𝐿1)

Proof of Theorem i1fibl

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		i1ff 24783	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2	1	feqmptd 6824	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
3		i1fmbf 24782	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)
4	2, 3	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
5		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))))
7	6	ifbid 4484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0) = if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0))
8	7	mpteq2dva 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0)))
9	8	fveq2d 6765	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0))))
10		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
11	10	i1fpos 24814	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
12		0re 10924	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ ℝ
13	1	ffvelrnda 6948	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
14		max1 12864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
15	12, 13, 14	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
16	15	ralrimiva 3106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))
17		reex 10909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℝ ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
19	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
20		fvex 6774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
21		c0ex 10916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ V
22	20, 21	ifex 4511	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ V
23	22	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0) ∈ V)
24		fconstmpt 5645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0)
25	24	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ 0))
26		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)))
27	18, 19, 23, 25, 26	ofrfval2 7537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)))
28	16, 27	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)))
29		ax-resscn 10875	. . . . . . . . 9 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
30	29	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ℝ ⊆ ℂ)
31	22, 10	fnmpti 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) Fn ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) Fn ℝ)
33	30, 32	0pledm 24780	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))))
34	28, 33	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)))
35		itg2itg1 24844	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))))
36	11, 34, 35	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))))
37	9, 36	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))))
38		itg1cl 24792	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
39	11, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ (𝐹‘𝑥), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
40	37, 39	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
41	5	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 ≤ -(𝐹‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥))))
42	41	ifbid 4484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0) = if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0))
43	42	mpteq2dva 5175	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0)))
44	43	fveq2d 6765	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) = (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0))))
45		neg1rr 12034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -1 ∈ ℝ
46	45	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -1 ∈ ℝ)
47		fconstmpt 5645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℝ × {-1}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -1)
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {-1}) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -1))
49	18, 46, 13, 48, 2	offval2 7536	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-1 · (𝐹‘𝑥))))
50	13	recnd 10950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
51	50	mulm1d 11373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-1 · (𝐹‘𝑥)) = -(𝐹‘𝑥))
52	51	mpteq2dva 5175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (-1 · (𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹‘𝑥)))
53	49, 52	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐹) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹‘𝑥)))
54		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ dom ∫1)
55	45	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → -1 ∈ ℝ)
56	54, 55	i1fmulc 24811	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {-1}) ∘f · 𝐹) ∈ dom ∫1)
57	53, 56	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ -(𝐹‘𝑥)) ∈ dom ∫1)
58	57	i1fposd 24815	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1)
59	13	renegcld 11348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
60		max1 12864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ -(𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))
61	12, 59, 60	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))
62	61	ralrimiva 3106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))
63		negex 11165	. . . . . . . . . . 11 ⊢ -(𝐹‘𝑥) ∈ V
64	63, 21	ifex 4511	. . . . . . . . . 10 ⊢ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0) ∈ V
65	64	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0) ∈ V)
66		eqidd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)))
67	18, 19, 65, 25, 66	ofrfval2 7537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ 0 ≤ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)))
68	62, 67	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)))
69		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))
70	64, 69	fnmpti 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) Fn ℝ
71	70	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) Fn ℝ)
72	30, 71	0pledm 24780	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) ↔ (ℝ × {0}) ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))))
73	68, 72	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)))
74		itg2itg1 24844	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≤ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))))
75	58, 73, 74	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))))
76	44, 75	eqtr3d 2779	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0))) = (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))))
77		itg1cl 24792	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0)) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
78	58, 77	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(0 ≤ -(𝐹‘𝑥), -(𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
79	76, 78	eqeltrd 2837	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)
80	13	iblrelem 24898	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)), (𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑥 ∈ ℝ ↦ if((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ -(𝐹‘𝑥)), -(𝐹‘𝑥), 0))) ∈ ℝ)))
81	4, 40, 79, 80	mpbir3and 1340	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ 𝐿1)
82	2, 81	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ 𝐿1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  Vcvv 3427   ⊆ wss 3888  ifcif 4461  {csn 4563   class class class wbr 5075   ↦ cmpt 5158   × cxp 5583  dom cdm 5585   Fn wfn 6418  ‘cfv 6423  (class class class)co 7260   ∘_f cof 7514   ∘_r cofr 7515  ℂcc 10816  ℝcr 10817  0cc0 10818  1c1 10819   · cmul 10823   ≤ cle 10957  -cneg 11152  MblFncmbf 24721  ∫₁citg1 24722  ∫₂citg2 24723  𝐿¹cibl 24724  0_𝑝c0p 24776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571  ax-inf2 9345  ax-cnex 10874  ax-resscn 10875  ax-1cn 10876  ax-icn 10877  ax-addcl 10878  ax-addrcl 10879  ax-mulcl 10880  ax-mulrcl 10881  ax-mulcom 10882  ax-addass 10883  ax-mulass 10884  ax-distr 10885  ax-i2m1 10886  ax-1ne0 10887  ax-1rid 10888  ax-rnegex 10889  ax-rrecex 10890  ax-cnre 10891  ax-pre-lttri 10892  ax-pre-lttrn 10893  ax-pre-ltadd 10894  ax-pre-mulgt0 10895  ax-pre-sup 10896  ax-addf 10897

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-int 4882  df-iun 4928  df-disj 5041  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-se 5541  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6259  df-on 6260  df-lim 6261  df-suc 6262  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-isom 6432  df-riota 7217  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-of 7516  df-ofr 7517  df-om 7693  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-frecs 8073  df-wrecs 8104  df-recs 8178  df-rdg 8217  df-1o 8272  df-2o 8273  df-er 8461  df-map 8580  df-pm 8581  df-en 8697  df-dom 8698  df-sdom 8699  df-fin 8700  df-fi 9116  df-sup 9147  df-inf 9148  df-oi 9215  df-dju 9606  df-card 9644  df-pnf 10958  df-mnf 10959  df-xr 10960  df-ltxr 10961  df-le 10962  df-sub 11153  df-neg 11154  df-div 11579  df-nn 11920  df-2 11982  df-3 11983  df-n0 12180  df-z 12266  df-uz 12528  df-q 12634  df-rp 12676  df-xneg 12793  df-xadd 12794  df-xmul 12795  df-ioo 13028  df-ico 13030  df-icc 13031  df-fz 13185  df-fzo 13328  df-fl 13456  df-seq 13666  df-exp 13727  df-hash 13989  df-cj 14754  df-re 14755  df-im 14756  df-sqrt 14890  df-abs 14891  df-clim 15141  df-sum 15342  df-rest 17077  df-topgen 17098  df-psmet 20533  df-xmet 20534  df-met 20535  df-bl 20536  df-mopn 20537  df-top 21987  df-topon 22004  df-bases 22040  df-cmp 22482  df-ovol 24571  df-vol 24572  df-mbf 24726  df-itg1 24727  df-itg2 24728  df-ibl 24729  df-0p 24777

This theorem is referenced by:  itgitg1  24916  ftc1anclem4  35822