MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem2 25112
Description: Lemma for mbfmul 25114. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfmul.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
mbfmul.5 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
mbfmul.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
mbfmul.7 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•βŸΆdom ∫1)
mbfmul.8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
mbfmullem2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑄,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐹,π‘₯   𝑛,𝐺,π‘₯

Proof of Theorem mbfmullem2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
21ffnd 6673 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 mbfmul.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
43ffnd 6673 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
51fdmd 6683 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfmul.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 25013 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4182 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
12 eqidd 2734 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
132, 4, 9, 9, 10, 11, 12offval 7630 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
14 nnuz 12814 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15 1zzd 12542 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
16 1zzd 12542 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 1 ∈ β„€)
17 mbfmul.6 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
18 nnex 12167 . . . . . 6 β„• ∈ V
1918mptex 7177 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ V)
21 mbfmul.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
22 mbfmul.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
2322ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
24 i1ff 25063 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
2625adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
27 mblss 24918 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
289, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2928sselda 3948 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3029adantr 482 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3126, 30ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3231recnd 11191 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3332fmpttd 7067 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
3433ffvelcdmda 7039 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
35 mbfmul.7 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•βŸΆdom ∫1)
3635ffvelcdmda 7039 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
37 i1ff 25063 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜π‘›) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘„β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
3938adantlr 714 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
4039, 30ffvelcdmd 7040 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4140recnd 11191 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4241fmpttd 7067 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7039 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
44 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
4544fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
46 fveq2 6846 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘„β€˜π‘›) = (π‘„β€˜π‘˜))
4746fveq1d 6848 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
4845, 47oveq12d 7379 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
49 eqid 2733 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
50 ovex 7394 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)) ∈ V
5148, 49, 50fvmpt 6952 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
5251adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
53 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
54 fvex 6859 . . . . . . . 8 ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
5545, 53, 54fvmpt 6952 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
56 eqid 2733 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
57 fvex 6859 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
5847, 56, 57fvmpt 6952 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
5955, 58oveq12d 7379 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
6059adantl 483 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
6152, 60eqtr4d 2776 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)))
6214, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61climmul 15524 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ⇝ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
6328adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6463resmptd 5998 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))))
6525ffnd 6673 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) Fn ℝ)
6638ffnd 6673 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›) Fn ℝ)
67 reex 11150 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
69 inidm 4182 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
71 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
7265, 66, 68, 68, 69, 70, 71offval 7630 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))))
7323, 36i1fmul 25083 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ dom ∫1)
74 i1fmbf 25062 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ MblFn)
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ MblFn)
7672, 75eqeltrrd 2835 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
779adantr 482 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
78 mbfres 25031 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
7976, 77, 78syl2anc 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
8064, 79eqeltrrd 2835 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
81 ovex 7394 . . . 4 (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ V
8281a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ V)
8314, 15, 62, 80, 82mbflim 25055 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
8413, 83eqeltrd 2834 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  β„‚cc 11057  β„cr 11058  1c1 11060   Β· cmul 11064  β„•cn 12161   ⇝ cli 15375  volcvol 24850  MblFncmbf 25001  βˆ«1citg1 25002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-disj 5075  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-dju 9845  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xadd 13042  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-xmet 20812  df-met 20813  df-ovol 24851  df-vol 24852  df-mbf 25006  df-itg1 25007
This theorem is referenced by:  mbfmullem  25113
  Copyright terms: Public domain W3C validator