Theorem mbfmullem2 24594

Description: Lemma for mbfmul 24596. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.5	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
mbfmul.7	⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
mbfmullem2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Proof of Theorem mbfmullem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffnd 6535	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		mbfmul.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
4	3	ffnd 6535	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5	1	fdmd 6545	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6		mbfmul.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
7		mbfdm 24495	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	5, 8	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
10		inidm 4123	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11		eqidd 2735	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		eqidd 2735	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
13	2, 4, 9, 9, 10, 11, 12	offval 7466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
14		nnuz 12460	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1zzd 12191	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		1zzd 12191	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
17		mbfmul.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
18		nnex 11819	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	mptex 7028	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ V)
21		mbfmul.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
22		mbfmul.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
23	22	ffvelrnda 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) ∈ dom ∫1)
24		i1ff 24545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
26	25	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
27		mblss 24400	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
29	28	sselda 3891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	29	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	26, 30	ffvelrnd 6894	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
32	31	recnd 10844	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
33	32	fmpttd 6921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
34	33	ffvelrnda 6893	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
35		mbfmul.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
36	35	ffvelrnda 6893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛) ∈ dom ∫1)
37		i1ff 24545	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
39	38	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
40	39, 30	ffvelrnd 6894	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
41	40	recnd 10844	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 6921	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
43	42	ffvelrnda 6893	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
44		fveq2 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
45	44	fveq1d 6708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑥))
46		fveq2 6706	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝑘))
47	46	fveq1d 6708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑘)‘𝑥))
48	45, 47	oveq12d 7220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
49		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))
50		ovex 7235	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)) ∈ V
51	48, 49, 50	fvmpt 6807	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
52	51	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
53		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))
54		fvex 6719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
55	45, 53, 54	fvmpt 6807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑥))
56		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))
57		fvex 6719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
58	47, 56, 57	fvmpt 6807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑄‘𝑘)‘𝑥))
59	55, 58	oveq12d 7220	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
60	59	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
61	52, 60	eqtr4d 2777	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)))
62	14, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61	climmul 15177	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ⇝ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
63	28	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
64	63	resmptd 5897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))))
65	25	ffnd 6535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) Fn ℝ)
66	38	ffnd 6535	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛) Fn ℝ)
67		reex 10803	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
69		inidm 4123	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70		eqidd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))
71		eqidd 2735	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))
72	65, 66, 68, 68, 69, 70, 71	offval 7466	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))))
73	23, 36	i1fmul 24565	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ dom ∫1)
74		i1fmbf 24544	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ MblFn)
75	73, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ MblFn)
76	72, 75	eqeltrrd 2835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
77	9	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
78		mbfres 24513	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
79	76, 77, 78	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
80	64, 79	eqeltrrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
81		ovex 7235	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ∈ V
82	81	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ∈ V)
83	14, 15, 62, 80, 82	mbflim 24537	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
84	13, 83	eqeltrd 2834	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3401   ⊆ wss 3857   class class class wbr 5043   ↦ cmpt 5124  dom cdm 5540   ↾ cres 5542  ⟶wf 6365  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202   ∘_f cof 7456  ℂcc 10710  ℝcr 10711  1c1 10713   · cmul 10717  ℕcn 11813   ⇝ cli 15028  volcvol 24332  MblFncmbf 24483  ∫₁citg1 24484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-inf2 9245  ax-cc 10032  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789  ax-pre-sup 10790

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-int 4850  df-iun 4896  df-disj 5009  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-se 5499  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-isom 6378  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-of 7458  df-om 7634  df-1st 7750  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-1o 8191  df-2o 8192  df-oadd 8195  df-omul 8196  df-er 8380  df-map 8499  df-pm 8500  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-fin 8619  df-sup 9047  df-inf 9048  df-oi 9115  df-dju 9500  df-card 9538  df-acn 9541  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-nn 11814  df-2 11876  df-3 11877  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-q 12528  df-rp 12570  df-xadd 12688  df-ioo 12922  df-ioc 12923  df-ico 12924  df-icc 12925  df-fz 13079  df-fzo 13222  df-fl 13350  df-seq 13558  df-exp 13619  df-hash 13880  df-cj 14645  df-re 14646  df-im 14647  df-sqrt 14781  df-abs 14782  df-limsup 15015  df-clim 15032  df-rlim 15033  df-sum 15233  df-xmet 20328  df-met 20329  df-ovol 24333  df-vol 24334  df-mbf 24488  df-itg1 24489

This theorem is referenced by:  mbfmullem  24595