Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem2 24332
 Description: Lemma for mbfmul 24334. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.5 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
mbfmul.7 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
mbfmullem2 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Proof of Theorem mbfmullem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.3 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
21ffnd 6492 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 mbfmul.4 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
43ffnd 6492 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
51fdmd 6501 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfmul.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 24234 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2894 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4148 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
11 eqidd 2802 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
12 eqidd 2802 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
132, 4, 9, 9, 10, 11, 12offval 7400 . 2 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
14 nnuz 12273 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
15 1zzd 12005 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16 1zzd 12005 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℤ)
17 mbfmul.6 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
18 nnex 11635 . . . . . 6 ℕ ∈ V
1918mptex 6967 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ V)
21 mbfmul.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
22 mbfmul.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
2322ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) ∈ dom ∫1)
24 i1ff 24284 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
2625adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
27 mblss 24139 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
289, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2928sselda 3918 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3029adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3126, 30ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
3231recnd 10662 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
3332fmpttd 6860 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
3433ffvelrnda 6832 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
35 mbfmul.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
3635ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛) ∈ dom ∫1)
37 i1ff 24284 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
3938adantlr 714 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
4039, 30ffvelrnd 6833 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
4140recnd 10662 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
4241fmpttd 6860 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
4342ffvelrnda 6832 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
44 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑘))
4544fveq1d 6651 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑘)‘𝑥))
46 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝑘))
4746fveq1d 6651 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑘)‘𝑥))
4845, 47oveq12d 7157 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
49 eqid 2801 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))
50 ovex 7172 . . . . . . 7 (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)) ∈ V
5148, 49, 50fvmpt 6749 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
5251adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
53 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))
54 fvex 6662 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑘)‘𝑥) ∈ V
5545, 53, 54fvmpt 6749 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑥))
56 eqid 2801 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))
57 fvex 6662 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑘)‘𝑥) ∈ V
5847, 56, 57fvmpt 6749 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑄𝑘)‘𝑥))
5955, 58oveq12d 7157 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
6059adantl 485 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
6152, 60eqtr4d 2839 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)))
6214, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61climmul 14985 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ⇝ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
6328adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6463resmptd 5879 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))))
6525ffnd 6492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) Fn ℝ)
6638ffnd 6492 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛) Fn ℝ)
67 reex 10621 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
69 inidm 4148 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70 eqidd 2802 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑥))
71 eqidd 2802 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑛)‘𝑥))
7265, 66, 68, 68, 69, 70, 71offval 7400 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘f · (𝑄𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))))
7323, 36i1fmul 24304 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘f · (𝑄𝑛)) ∈ dom ∫1)
74 i1fmbf 24283 . . . . . . 7 (((𝑃𝑛) ∘f · (𝑄𝑛)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃𝑛) ∘f · (𝑄𝑛)) ∈ MblFn)
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘f · (𝑄𝑛)) ∈ MblFn)
7672, 75eqeltrrd 2894 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
779adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
78 mbfres 24252 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
7976, 77, 78syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
8064, 79eqeltrrd 2894 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
81 ovex 7172 . . . 4 (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ∈ V
8281a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐴)) → (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ∈ V)
8314, 15, 62, 80, 82mbflim 24276 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
8413, 83eqeltrd 2893 1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  Vcvv 3444   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113  dom cdm 5523   ↾ cres 5525  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∘f cof 7391  ℂcc 10528  ℝcr 10529  1c1 10531   · cmul 10535  ℕcn 11629   ⇝ cli 14837  volcvol 24071  MblFncmbf 24222  ∫1citg1 24223 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cc 9850  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xadd 12500  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-xmet 20088  df-met 20089  df-ovol 24072  df-vol 24073  df-mbf 24227  df-itg1 24228 This theorem is referenced by:  mbfmullem  24333
 Copyright terms: Public domain W3C validator