Theorem mbfmullem2 25623

Description: Lemma for mbfmul 25625. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.5	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
mbfmul.7	⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
mbfmullem2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Proof of Theorem mbfmullem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffnd 6653	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		mbfmul.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
4	3	ffnd 6653	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5	1	fdmd 6662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6		mbfmul.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
7		mbfdm 25525	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	5, 8	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
10		inidm 4178	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		eqidd 2730	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
13	2, 4, 9, 9, 10, 11, 12	offval 7622	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
14		nnuz 12778	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1zzd 12506	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		1zzd 12506	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
17		mbfmul.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
18		nnex 12134	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	mptex 7159	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ V)
21		mbfmul.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
22		mbfmul.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
23	22	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) ∈ dom ∫1)
24		i1ff 25575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
26	25	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
27		mblss 25430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
29	28	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	26, 30	ffvelcdmd 7019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
33	32	fmpttd 7049	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
34	33	ffvelcdmda 7018	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
35		mbfmul.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
36	35	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛) ∈ dom ∫1)
37		i1ff 25575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
39	38	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
40	39, 30	ffvelcdmd 7019	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11143	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7049	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
43	42	ffvelcdmda 7018	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
44		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
45	44	fveq1d 6824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑥))
46		fveq2 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝑘))
47	46	fveq1d 6824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑘)‘𝑥))
48	45, 47	oveq12d 7367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
49		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))
50		ovex 7382	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)) ∈ V
51	48, 49, 50	fvmpt 6930	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
53		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))
54		fvex 6835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
55	45, 53, 54	fvmpt 6930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑥))
56		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))
57		fvex 6835	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
58	47, 56, 57	fvmpt 6930	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑄‘𝑘)‘𝑥))
59	55, 58	oveq12d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
60	59	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
61	52, 60	eqtr4d 2767	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)))
62	14, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61	climmul 15540	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ⇝ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
63	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
64	63	resmptd 5991	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))))
65	25	ffnd 6653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) Fn ℝ)
66	38	ffnd 6653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛) Fn ℝ)
67		reex 11100	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
69		inidm 4178	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))
71		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))
72	65, 66, 68, 68, 69, 70, 71	offval 7622	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))))
73	23, 36	i1fmul 25595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ dom ∫1)
74		i1fmbf 25574	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ MblFn)
75	73, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ MblFn)
76	72, 75	eqeltrrd 2829	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
77	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
78		mbfres 25543	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
79	76, 77, 78	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
80	64, 79	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
81		ovex 7382	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ∈ V
82	81	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ∈ V)
83	14, 15, 62, 80, 82	mbflim 25567	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
84	13, 83	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3436   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619   ↾ cres 5621  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   ∘_f cof 7611  ℂcc 11007  ℝcr 11008  1c1 11010   · cmul 11014  ℕcn 12128   ⇝ cli 15391  volcvol 25362  MblFncmbf 25513  ∫₁citg1 25514

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xadd 13015  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-xmet 21254  df-met 21255  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-mbf 25518  df-itg1 25519

This theorem is referenced by:  mbfmullem  25624