Theorem mbfmullem2 25779

Description: Lemma for mbfmul 25781. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.5	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
mbfmul.7	⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
mbfmullem2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Proof of Theorem mbfmullem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffnd 6748	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		mbfmul.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
4	3	ffnd 6748	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5	1	fdmd 6757	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6		mbfmul.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
7		mbfdm 25680	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	5, 8	eqeltrrd 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
10		inidm 4248	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11		eqidd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		eqidd 2741	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
13	2, 4, 9, 9, 10, 11, 12	offval 7723	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
14		nnuz 12946	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1zzd 12674	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		1zzd 12674	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
17		mbfmul.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
18		nnex 12299	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	mptex 7260	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ V)
21		mbfmul.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
22		mbfmul.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
23	22	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) ∈ dom ∫1)
24		i1ff 25730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
26	25	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
27		mblss 25585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
29	28	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	26, 30	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
33	32	fmpttd 7149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
34	33	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
35		mbfmul.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
36	35	ffvelcdmda 7118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛) ∈ dom ∫1)
37		i1ff 25730	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
39	38	adantlr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
40	39, 30	ffvelcdmd 7119	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11318	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7149	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
43	42	ffvelcdmda 7118	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
44		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
45	44	fveq1d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑥))
46		fveq2 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝑘))
47	46	fveq1d 6922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑘)‘𝑥))
48	45, 47	oveq12d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
49		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))
50		ovex 7481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)) ∈ V
51	48, 49, 50	fvmpt 7029	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
53		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))
54		fvex 6933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
55	45, 53, 54	fvmpt 7029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑥))
56		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))
57		fvex 6933	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
58	47, 56, 57	fvmpt 7029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑄‘𝑘)‘𝑥))
59	55, 58	oveq12d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
60	59	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
61	52, 60	eqtr4d 2783	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)))
62	14, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61	climmul 15679	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ⇝ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
63	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
64	63	resmptd 6069	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))))
65	25	ffnd 6748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) Fn ℝ)
66	38	ffnd 6748	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛) Fn ℝ)
67		reex 11275	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
69		inidm 4248	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))
71		eqidd 2741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))
72	65, 66, 68, 68, 69, 70, 71	offval 7723	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))))
73	23, 36	i1fmul 25750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ dom ∫1)
74		i1fmbf 25729	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ MblFn)
75	73, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ MblFn)
76	72, 75	eqeltrrd 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
77	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
78		mbfres 25698	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
79	76, 77, 78	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
80	64, 79	eqeltrrd 2845	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
81		ovex 7481	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ∈ V
82	81	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ∈ V)
83	14, 15, 62, 80, 82	mbflim 25722	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
84	13, 83	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  dom cdm 5700   ↾ cres 5702  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ∘_f cof 7712  ℂcc 11182  ℝcr 11183  1c1 11185   · cmul 11189  ℕcn 12293   ⇝ cli 15530  volcvol 25517  MblFncmbf 25668  ∫₁citg1 25669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-disj 5134  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-dju 9970  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xadd 13176  df-ioo 13411  df-ioc 13412  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-xmet 21380  df-met 21381  df-ovol 25518  df-vol 25519  df-mbf 25673  df-itg1 25674

This theorem is referenced by:  mbfmullem  25780