MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem2 25609
Description: Lemma for mbfmul 25611. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfmul.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
mbfmul.5 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
mbfmul.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
mbfmul.7 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•βŸΆdom ∫1)
mbfmul.8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
mbfmullem2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑄,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐹,π‘₯   𝑛,𝐺,π‘₯

Proof of Theorem mbfmullem2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
21ffnd 6712 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 mbfmul.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
43ffnd 6712 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
51fdmd 6722 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfmul.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 25510 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2828 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4213 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11 eqidd 2727 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
12 eqidd 2727 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
132, 4, 9, 9, 10, 11, 12offval 7676 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
14 nnuz 12869 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15 1zzd 12597 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
16 1zzd 12597 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 1 ∈ β„€)
17 mbfmul.6 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
18 nnex 12222 . . . . . 6 β„• ∈ V
1918mptex 7220 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ V)
21 mbfmul.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
22 mbfmul.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
2322ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
24 i1ff 25560 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
2625adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
27 mblss 25415 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
289, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2928sselda 3977 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3029adantr 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3126, 30ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3231recnd 11246 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3332fmpttd 7110 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
3433ffvelcdmda 7080 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
35 mbfmul.7 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•βŸΆdom ∫1)
3635ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
37 i1ff 25560 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜π‘›) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘„β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
3938adantlr 712 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
4039, 30ffvelcdmd 7081 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4140recnd 11246 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4241fmpttd 7110 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7080 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
44 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
4544fveq1d 6887 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
46 fveq2 6885 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘„β€˜π‘›) = (π‘„β€˜π‘˜))
4746fveq1d 6887 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
4845, 47oveq12d 7423 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
49 eqid 2726 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
50 ovex 7438 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)) ∈ V
5148, 49, 50fvmpt 6992 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
5251adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
53 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
54 fvex 6898 . . . . . . . 8 ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
5545, 53, 54fvmpt 6992 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
56 eqid 2726 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
57 fvex 6898 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
5847, 56, 57fvmpt 6992 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
5955, 58oveq12d 7423 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
6059adantl 481 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
6152, 60eqtr4d 2769 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)))
6214, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61climmul 15583 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ⇝ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
6328adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6463resmptd 6034 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))))
6525ffnd 6712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) Fn ℝ)
6638ffnd 6712 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›) Fn ℝ)
67 reex 11203 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
69 inidm 4213 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70 eqidd 2727 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
71 eqidd 2727 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
7265, 66, 68, 68, 69, 70, 71offval 7676 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))))
7323, 36i1fmul 25580 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ dom ∫1)
74 i1fmbf 25559 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ MblFn)
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ MblFn)
7672, 75eqeltrrd 2828 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
779adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
78 mbfres 25528 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
7976, 77, 78syl2anc 583 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
8064, 79eqeltrrd 2828 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
81 ovex 7438 . . . 4 (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ V
8281a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ V)
8314, 15, 62, 80, 82mbflim 25552 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
8413, 83eqeltrd 2827 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5669   β†Ύ cres 5671  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘f cof 7665  β„‚cc 11110  β„cr 11111  1c1 11113   Β· cmul 11117  β„•cn 12216   ⇝ cli 15434  volcvol 25347  MblFncmbf 25498  βˆ«1citg1 25499
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-disj 5107  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-oadd 8471  df-omul 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xadd 13099  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-hash 14296  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-xmet 21233  df-met 21234  df-ovol 25348  df-vol 25349  df-mbf 25503  df-itg1 25504
This theorem is referenced by:  mbfmullem  25610
  Copyright terms: Public domain W3C validator