Theorem mbfmullem2 25693

Description: Lemma for mbfmul 25695. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.5	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
mbfmul.7	⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
mbfmullem2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Proof of Theorem mbfmullem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffnd 6671	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		mbfmul.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
4	3	ffnd 6671	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5	1	fdmd 6680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6		mbfmul.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
7		mbfdm 25595	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
8	6, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	5, 8	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
10		inidm 4181	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		eqidd 2738	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
13	2, 4, 9, 9, 10, 11, 12	offval 7641	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
14		nnuz 12802	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1zzd 12534	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		1zzd 12534	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
17		mbfmul.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
18		nnex 12163	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	mptex 7179	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ V)
21		mbfmul.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
22		mbfmul.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
23	22	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) ∈ dom ∫1)
24		i1ff 25645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
26	25	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
27		mblss 25500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
29	28	sselda 3935	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	26, 30	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
33	32	fmpttd 7069	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
34	33	ffvelcdmda 7038	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
35		mbfmul.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
36	35	ffvelcdmda 7038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛) ∈ dom ∫1)
37		i1ff 25645	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
39	38	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
40	39, 30	ffvelcdmd 7039	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7069	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
43	42	ffvelcdmda 7038	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
44		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
45	44	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑥))
46		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝑘))
47	46	fveq1d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑘)‘𝑥))
48	45, 47	oveq12d 7386	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
49		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))
50		ovex 7401	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)) ∈ V
51	48, 49, 50	fvmpt 6949	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
53		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))
54		fvex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
55	45, 53, 54	fvmpt 6949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑥))
56		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))
57		fvex 6855	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
58	47, 56, 57	fvmpt 6949	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑄‘𝑘)‘𝑥))
59	55, 58	oveq12d 7386	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
60	59	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
61	52, 60	eqtr4d 2775	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)))
62	14, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61	climmul 15568	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ⇝ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
63	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
64	63	resmptd 6007	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))))
65	25	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) Fn ℝ)
66	38	ffnd 6671	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛) Fn ℝ)
67		reex 11129	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
69		inidm 4181	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))
71		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))
72	65, 66, 68, 68, 69, 70, 71	offval 7641	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))))
73	23, 36	i1fmul 25665	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ dom ∫1)
74		i1fmbf 25644	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ MblFn)
75	73, 74	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ MblFn)
76	72, 75	eqeltrrd 2838	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
77	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
78		mbfres 25613	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
79	76, 77, 78	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
80	64, 79	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
81		ovex 7401	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ∈ V
82	81	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ∈ V)
83	14, 15, 62, 80, 82	mbflim 25637	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
84	13, 83	eqeltrd 2837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   ⊆ wss 3903   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632   ↾ cres 5634  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630  ℂcc 11036  ℝcr 11037  1c1 11039   · cmul 11043  ℕcn 12157   ⇝ cli 15419  volcvol 25432  MblFncmbf 25583  ∫₁citg1 25584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xadd 13039  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-xmet 21314  df-met 21315  df-ovol 25433  df-vol 25434  df-mbf 25588  df-itg1 25589

This theorem is referenced by:  mbfmullem  25694