MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem2 25672
Description: Lemma for mbfmul 25674. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
mbfmul.4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
mbfmul.5 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
mbfmul.6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
mbfmul.7 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•βŸΆdom ∫1)
mbfmul.8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
Assertion
Ref Expression
mbfmullem2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,π‘₯   πœ‘,𝑛,π‘₯   𝑄,𝑛,π‘₯   𝑛,𝐹,π‘₯   𝑛,𝐺,π‘₯

Proof of Theorem mbfmullem2
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„)
21ffnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐴)
3 mbfmul.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺:π΄βŸΆβ„)
43ffnd 6718 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐴)
51fdmd 6728 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfmul.1 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 25573 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2826 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4213 . . 3 (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11 eqidd 2726 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
12 eqidd 2726 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
132, 4, 9, 9, 10, 11, 12offval 7691 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))))
14 nnuz 12895 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
15 1zzd 12623 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
16 1zzd 12623 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 1 ∈ β„€)
17 mbfmul.6 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΉβ€˜π‘₯))
18 nnex 12248 . . . . . 6 β„• ∈ V
1918mptex 7231 . . . . 5 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ V)
21 mbfmul.8 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ⇝ (πΊβ€˜π‘₯))
22 mbfmul.5 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃:β„•βŸΆdom ∫1)
2322ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
24 i1ff 25623 . . . . . . . . . 10 ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
2625adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
27 mblss 25478 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
289, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
2928sselda 3972 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3029adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3126, 30ffvelcdmd 7090 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3231recnd 11272 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
3332fmpttd 7120 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
3433ffvelcdmda 7089 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
35 mbfmul.7 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄:β„•βŸΆdom ∫1)
3635ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›) ∈ dom ∫1)
37 i1ff 25623 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜π‘›) ∈ dom ∫1 β†’ (π‘„β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
3938adantlr 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
4039, 30ffvelcdmd 7090 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
4140recnd 11272 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
4241fmpttd 7120 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„‚)
4342ffvelcdmda 7089 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
44 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) = (π‘ƒβ€˜π‘˜))
4544fveq1d 6894 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
46 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (π‘„β€˜π‘›) = (π‘„β€˜π‘˜))
4746fveq1d 6894 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
4845, 47oveq12d 7434 . . . . . . 7 (𝑛 = π‘˜ β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
49 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
50 ovex 7449 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)) ∈ V
5148, 49, 50fvmpt 7000 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
5251adantl 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
53 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
54 fvex 6905 . . . . . . . 8 ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
5545, 53, 54fvmpt 7000 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = ((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
56 eqid 2725 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
57 fvex 6905 . . . . . . . 8 ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V
5847, 56, 57fvmpt 7000 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) = ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
5955, 58oveq12d 7434 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
6059adantl 480 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)) = (((π‘ƒβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
6152, 60eqtr4d 2768 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)))β€˜π‘˜) = (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜) Β· ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘˜)))
6214, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61climmul 15609 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ⇝ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯)))
6328adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
6463resmptd 6039 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐴) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))))
6525ffnd 6718 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘›) Fn ℝ)
6638ffnd 6718 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘„β€˜π‘›) Fn ℝ)
67 reex 11229 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
69 inidm 4213 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70 eqidd 2726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
71 eqidd 2726 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))
7265, 66, 68, 68, 69, 70, 71offval 7691 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))))
7323, 36i1fmul 25643 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ dom ∫1)
74 i1fmbf 25622 . . . . . . 7 (((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ dom ∫1 β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ MblFn)
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘›) ∘f Β· (π‘„β€˜π‘›)) ∈ MblFn)
7672, 75eqeltrrd 2826 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
779adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
78 mbfres 25591 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
7976, 77, 78syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) β†Ύ 𝐴) ∈ MblFn)
8064, 79eqeltrrd 2826 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
81 ovex 7449 . . . 4 (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ V
8281a1i 11 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ 𝐴)) β†’ (((π‘ƒβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) Β· ((π‘„β€˜π‘›)β€˜π‘₯)) ∈ V)
8314, 15, 62, 80, 82mbflim 25615 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
8413, 83eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680  β„‚cc 11136  β„cr 11137  1c1 11139   Β· cmul 11143  β„•cn 12242   ⇝ cli 15460  volcvol 25410  MblFncmbf 25561  βˆ«1citg1 25562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xadd 13125  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-xmet 21276  df-met 21277  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567
This theorem is referenced by:  mbfmullem  25673
  Copyright terms: Public domain W3C validator