MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem2 25089
Description: Lemma for mbfmul 25091. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.5 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
mbfmul.7 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
mbfmullem2 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Proof of Theorem mbfmullem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.3 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
21ffnd 6669 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 mbfmul.4 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
43ffnd 6669 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
51fdmd 6679 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfmul.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 24990 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4178 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
11 eqidd 2737 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
12 eqidd 2737 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
132, 4, 9, 9, 10, 11, 12offval 7626 . 2 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
14 nnuz 12806 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
15 1zzd 12534 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16 1zzd 12534 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℤ)
17 mbfmul.6 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
18 nnex 12159 . . . . . 6 ℕ ∈ V
1918mptex 7173 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ V)
21 mbfmul.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
22 mbfmul.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
2322ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) ∈ dom ∫1)
24 i1ff 25040 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
2625adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
27 mblss 24895 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
289, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2928sselda 3944 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3029adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3126, 30ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
3231recnd 11183 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
3332fmpttd 7063 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
3433ffvelcdmda 7035 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
35 mbfmul.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
3635ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛) ∈ dom ∫1)
37 i1ff 25040 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
3938adantlr 713 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
4039, 30ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
4140recnd 11183 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
4241fmpttd 7063 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
4342ffvelcdmda 7035 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
44 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑘))
4544fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑘)‘𝑥))
46 fveq2 6842 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝑘))
4746fveq1d 6844 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑘)‘𝑥))
4845, 47oveq12d 7375 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
49 eqid 2736 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))
50 ovex 7390 . . . . . . 7 (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)) ∈ V
5148, 49, 50fvmpt 6948 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
5251adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
53 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))
54 fvex 6855 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑘)‘𝑥) ∈ V
5545, 53, 54fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑥))
56 eqid 2736 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))
57 fvex 6855 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑘)‘𝑥) ∈ V
5847, 56, 57fvmpt 6948 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑄𝑘)‘𝑥))
5955, 58oveq12d 7375 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
6059adantl 482 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
6152, 60eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)))
6214, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61climmul 15515 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ⇝ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
6328adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6463resmptd 5994 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))))
6525ffnd 6669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) Fn ℝ)
6638ffnd 6669 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛) Fn ℝ)
67 reex 11142 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
69 inidm 4178 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑥))
71 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑛)‘𝑥))
7265, 66, 68, 68, 69, 70, 71offval 7626 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘f · (𝑄𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))))
7323, 36i1fmul 25060 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘f · (𝑄𝑛)) ∈ dom ∫1)
74 i1fmbf 25039 . . . . . . 7 (((𝑃𝑛) ∘f · (𝑄𝑛)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃𝑛) ∘f · (𝑄𝑛)) ∈ MblFn)
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘f · (𝑄𝑛)) ∈ MblFn)
7672, 75eqeltrrd 2839 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
779adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
78 mbfres 25008 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
7976, 77, 78syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
8064, 79eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
81 ovex 7390 . . . 4 (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ∈ V
8281a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐴)) → (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ∈ V)
8314, 15, 62, 80, 82mbflim 25032 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
8413, 83eqeltrd 2838 1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  cres 5635  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  cc 11049  cr 11050  1c1 11052   · cmul 11056  cn 12153  cli 15366  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  1citg1 24979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984
This theorem is referenced by:  mbfmullem  25090
  Copyright terms: Public domain W3C validator