MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmullem2 24018
Description: Lemma for mbfmul 24020. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.5 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.6 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
mbfmul.7 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.8 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
Assertion
Ref Expression
mbfmullem2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Proof of Theorem mbfmullem2
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.3 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ)
21ffnd 6339 . . 3 (𝜑𝐹 Fn 𝐴)
3 mbfmul.4 . . . 4 (𝜑𝐺:𝐴⟶ℝ)
43ffnd 6339 . . 3 (𝜑𝐺 Fn 𝐴)
51fdmd 6347 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6 mbfmul.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
7 mbfdm 23920 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
95, 8eqeltrrd 2861 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ dom vol)
10 inidm 4077 . . 3 (𝐴𝐴) = 𝐴
11 eqidd 2773 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
12 eqidd 2773 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
132, 4, 9, 9, 10, 11, 12offval 7228 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
14 nnuz 12088 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
15 1zzd 11819 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16 1zzd 11819 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 1 ∈ ℤ)
17 mbfmul.6 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹𝑥))
18 nnex 11438 . . . . . 6 ℕ ∈ V
1918mptex 6806 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ V
2019a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ V)
21 mbfmul.8 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺𝑥))
22 mbfmul.5 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
2322ffvelrnda 6670 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) ∈ dom ∫1)
24 i1ff 23970 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
2625adantlr 702 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛):ℝ⟶ℝ)
27 mblss 23825 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
289, 27syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
2928sselda 3854 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
3029adantr 473 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3126, 30ffvelrnd 6671 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
3231recnd 10460 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
3332fmpttd 6696 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
3433ffvelrnda 6670 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
35 mbfmul.7 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
3635ffvelrnda 6670 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛) ∈ dom ∫1)
37 i1ff 23970 . . . . . . . . . 10 ((𝑄𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
3836, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
3938adantlr 702 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛):ℝ⟶ℝ)
4039, 30ffvelrnd 6671 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
4140recnd 10460 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
4241fmpttd 6696 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
4342ffvelrnda 6670 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
44 fveq2 6493 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑃𝑛) = (𝑃𝑘))
4544fveq1d 6495 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑘)‘𝑥))
46 fveq2 6493 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (𝑄𝑛) = (𝑄𝑘))
4746fveq1d 6495 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑘)‘𝑥))
4845, 47oveq12d 6988 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
49 eqid 2772 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))
50 ovex 7002 . . . . . . 7 (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)) ∈ V
5148, 49, 50fvmpt 6589 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
5251adantl 474 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
53 eqid 2772 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))
54 fvex 6506 . . . . . . . 8 ((𝑃𝑘)‘𝑥) ∈ V
5545, 53, 54fvmpt 6589 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑃𝑘)‘𝑥))
56 eqid 2772 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))
57 fvex 6506 . . . . . . . 8 ((𝑄𝑘)‘𝑥) ∈ V
5847, 56, 57fvmpt 6589 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑄𝑘)‘𝑥))
5955, 58oveq12d 6988 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
6059adantl 474 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃𝑘)‘𝑥) · ((𝑄𝑘)‘𝑥)))
6152, 60eqtr4d 2811 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄𝑛)‘𝑥))‘𝑘)))
6214, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61climmul 14840 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ⇝ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))
6328adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
6463resmptd 5747 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) = (𝑥𝐴 ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))))
6525ffnd 6339 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃𝑛) Fn ℝ)
6638ffnd 6339 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄𝑛) Fn ℝ)
67 reex 10418 . . . . . . . 8 ℝ ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
69 inidm 4077 . . . . . . 7 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70 eqidd 2773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑃𝑛)‘𝑥) = ((𝑃𝑛)‘𝑥))
71 eqidd 2773 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑄𝑛)‘𝑥) = ((𝑄𝑛)‘𝑥))
7265, 66, 68, 68, 69, 70, 71offval 7228 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))))
7323, 36i1fmul 23990 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ dom ∫1)
74 i1fmbf 23969 . . . . . . 7 (((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ MblFn)
7573, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃𝑛) ∘𝑓 · (𝑄𝑛)) ∈ MblFn)
7672, 75eqeltrrd 2861 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
779adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
78 mbfres 23938 . . . . 5 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
7976, 77, 78syl2anc 576 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
8064, 79eqeltrrd 2861 . . 3 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥𝐴 ↦ (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
81 ovex 7002 . . . 4 (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ∈ V
8281a1i 11 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐴)) → (((𝑃𝑛)‘𝑥) · ((𝑄𝑛)‘𝑥)) ∈ V)
8314, 15, 62, 80, 82mbflim 23962 . 2 (𝜑 → (𝑥𝐴 ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
8413, 83eqeltrd 2860 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1507  wcel 2048  Vcvv 3409  wss 3825   class class class wbr 4923  cmpt 5002  dom cdm 5400  cres 5402  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  𝑓 cof 7219  cc 10325  cr 10326  1c1 10328   · cmul 10332  cn 11431  cli 14692  volcvol 23757  MblFncmbf 23908  1citg1 23909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-inf2 8890  ax-cc 9647  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404  ax-pre-sup 10405
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-fal 1520  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-disj 4892  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-of 7221  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-2o 7898  df-oadd 7901  df-omul 7902  df-er 8081  df-map 8200  df-pm 8201  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-sup 8693  df-inf 8694  df-oi 8761  df-dju 9116  df-card 9154  df-acn 9157  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-div 11091  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-q 12156  df-rp 12198  df-xadd 12318  df-ioo 12551  df-ioc 12552  df-ico 12553  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843  df-fl 12970  df-seq 13178  df-exp 13238  df-hash 13499  df-cj 14309  df-re 14310  df-im 14311  df-sqrt 14445  df-abs 14446  df-limsup 14679  df-clim 14696  df-rlim 14697  df-sum 14894  df-xmet 20230  df-met 20231  df-ovol 23758  df-vol 23759  df-mbf 23913  df-itg1 23914
This theorem is referenced by:  mbfmullem  24019
  Copyright terms: Public domain W3C validator