Theorem mbfmullem2 26045

Description: Lemma for mbfmul 26047. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
mbfmul.3	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.4	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
mbfmul.5	⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
mbfmul.7	⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
mbfmul.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))

Assertion

Ref	Expression
mbfmullem2	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐴   𝑃,𝑛,𝑥   𝜑,𝑛,𝑥   𝑄,𝑛,𝑥   𝑛,𝐹,𝑥   𝑛,𝐺,𝑥

Proof of Theorem mbfmullem2

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ)
2	1	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
3		mbfmul.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐴⟶ℝ)
4	3	ffnd 6710	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐴)
5	1	fdmd 6720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
6		mbfmul.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
7		mbfdm 25947	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
8	6, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
9	5, 8	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ dom vol)
10		inidm 4172	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
11		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
12		eqidd 2762	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
13	2, 4, 9, 9, 10, 11, 12	offval 7702	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
14		nnuz 13004	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
15		1zzd 12727	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
16		1zzd 12727	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 1 ∈ ℤ)
17		mbfmul.6	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐹‘𝑥))
18		nnex 12341	. . . . . 6 ⊢ ℕ ∈ V
19	18	mptex 7229	. . . . 5 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ V
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ V)
21		mbfmul.8	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ⇝ (𝐺‘𝑥))
22		mbfmul.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃:ℕ⟶dom ∫1)
23	22	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) ∈ dom ∫1)
24		i1ff 25997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃‘𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
26	25	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
27		mblss 25852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ dom vol → 𝐴 ⊆ ℝ)
28	9, 27	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
29	28	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
30	29	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
31	26, 30	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
33	32	fmpttd 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
34	33	ffvelcdmda 7084	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
35		mbfmul.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄:ℕ⟶dom ∫1)
36	35	ffvelcdmda 7084	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛) ∈ dom ∫1)
37		i1ff 25997	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘𝑛) ∈ dom ∫1 → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
38	36, 37	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
39	38	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛):ℝ⟶ℝ)
40	39, 30	ffvelcdmd 7085	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℝ)
41	40	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) ∈ ℂ)
42	41	fmpttd 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)):ℕ⟶ℂ)
43	42	ffvelcdmda 7084	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) ∈ ℂ)
44		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑃‘𝑛) = (𝑃‘𝑘))
45	44	fveq1d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑥))
46		fveq2 6885	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑄‘𝑛) = (𝑄‘𝑘))
47	46	fveq1d 6887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑘)‘𝑥))
48	45, 47	oveq12d 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
49		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))
50		ovex 7453	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)) ∈ V
51	48, 49, 50	fvmpt 6993	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
52	51	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
53		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))
54		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
55	45, 53, 54	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑃‘𝑘)‘𝑥))
56		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))
57		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑄‘𝑘)‘𝑥) ∈ V
58	47, 56, 57	fvmpt 6993	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) = ((𝑄‘𝑘)‘𝑥))
59	55, 58	oveq12d 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
60	59	adantl 487	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)) = (((𝑃‘𝑘)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑘)‘𝑥)))
61	52, 60	eqtr4d 2799	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)))‘𝑘) = (((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘) · ((𝑛 ∈ ℕ ↦ ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))‘𝑘)))
62	14, 16, 17, 20, 21, 34, 43, 61	climmul 15800	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑛 ∈ ℕ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ⇝ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))
63	28	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
64	63	resmptd 6032	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))))
65	25	ffnd 6710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑃‘𝑛) Fn ℝ)
66	38	ffnd 6710	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑄‘𝑛) Fn ℝ)
67		reex 11291	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ V
68	67	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ℝ ∈ V)
69		inidm 4172	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
70		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑃‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑃‘𝑛)‘𝑥))
71		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑄‘𝑛)‘𝑥) = ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))
72	65, 66, 68, 68, 69, 70, 71	offval 7702	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))))
73	23, 36	i1fmul 26017	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ dom ∫1)
74		i1fmbf 25996	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ dom ∫1 → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ MblFn)
75	73, 74	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑃‘𝑛) ∘f · (𝑄‘𝑛)) ∈ MblFn)
76	72, 75	eqeltrrd 2862	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
77	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ dom vol)
78		mbfres 25965	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ 𝐴 ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
79	76, 77, 78	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ↾ 𝐴) ∈ MblFn)
80	64, 79	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥))) ∈ MblFn)
81		ovex 7453	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ∈ V
82	81	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (((𝑃‘𝑛)‘𝑥) · ((𝑄‘𝑛)‘𝑥)) ∈ V)
83	14, 15, 62, 80, 82	mbflim 25989	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
84	13, 83	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5651   ↾ cres 5653  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11198  ℝcr 11199  1c1 11201   · cmul 11205  ℕcn 12335   ⇝ cli 15651  volcvol 25784  MblFncmbf 25935  ∫₁citg1 25936

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-dju 9982  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xadd 13242  df-ioo 13480  df-ioc 13481  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-xmet 21671  df-met 21672  df-ovol 25785  df-vol 25786  df-mbf 25940  df-itg1 25941

This theorem is used by:  mbfmullem  26046