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Theorem ftc1anclem4 36040
Description: Lemma for ftc1anc 36045. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑑,𝐹   𝑑,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem4
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7028 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
21recnd 11117 . . . . . . . . 9 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
3 i1ff 24962 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
43ffvelcdmda 7030 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
54recnd 11117 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
6 subcl 11334 . . . . . . . . 9 (((πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
72, 5, 6syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
87anandirs 678 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
98abscld 15256 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
109rexrd 11139 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ*)
118absge0d 15264 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))
12 elxrge0 13303 . . . . 5 ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))))
1310, 11, 12sylanbrc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ∈ (0[,]+∞))
1413fmpttd 7058 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,]+∞))
15143adant2 1132 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,]+∞))
16 reex 11076 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ ℝ ∈ V)
18 fvexd 6853 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ V)
19 fvexd 6853 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ V)
20 eqidd 2739 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
21 eqidd 2739 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
2217, 18, 19, 20, 21offval2 7628 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
2322fveq2d 6842 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐺:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
2524feqmptd 6906 . . . . . . . . 9 (𝐺:β„βŸΆβ„ β†’ 𝐺 = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (πΊβ€˜π‘‘)))
26 absf 15157 . . . . . . . . . . 11 abs:β„‚βŸΆβ„
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐺:β„βŸΆβ„ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
2827feqmptd 6906 . . . . . . . . 9 (𝐺:β„βŸΆβ„ β†’ abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘₯)))
29 fveq2 6838 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (πΊβ€˜π‘‘) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))
302, 25, 28, 29fmptco 7070 . . . . . . . 8 (𝐺:β„βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ 𝐺) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
3130adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (abs ∘ 𝐺) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
32 iblmbf 25054 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐿1 β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
33 ftc1anclem1 36037 . . . . . . . . 9 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝐺 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3432, 33sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) β†’ (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3534ancoms 460 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3631, 35eqeltrrd 2840 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
37363adant1 1131 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
382abscld 15256 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
392absge0d 15264 . . . . . . . 8 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))
40 elrege0 13300 . . . . . . . 8 ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
4138, 39, 40sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ (0[,)+∞))
4241fmpttd 7058 . . . . . 6 (𝐺:β„βŸΆβ„ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))):β„βŸΆ(0[,)+∞))
43423ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))):β„βŸΆ(0[,)+∞))
44 iftrue 4491 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ β†’ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)), 0) = (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))
4544mpteq2ia 5207 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))
4645fveq2i 6841 . . . . . . 7 (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
471adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ ℝ)
48 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
4948feqmptd 6906 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ 𝐺 = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (πΊβ€˜π‘‘)))
50 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
5149, 50eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (πΊβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
5247, 51, 36iblabsnc 36028 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)
5338adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
5439adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))
5553, 54iblpos 25079 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)), 0))) ∈ ℝ)))
5652, 55mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)), 0))) ∈ ℝ))
5756simprd 497 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)), 0))) ∈ ℝ)
5846, 57eqeltrrid 2844 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))) ∈ ℝ)
59583adant1 1131 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))) ∈ ℝ)
605abscld 15256 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
615absge0d 15264 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
62 elrege0 13300 . . . . . . . 8 ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
6360, 61, 62sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ (0[,)+∞))
6463fmpttd 7058 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):β„βŸΆ(0[,)+∞))
65643ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))):β„βŸΆ(0[,)+∞))
66 iftrue 4491 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ℝ β†’ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
6766mpteq2ia 5207 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
6867fveq2i 6841 . . . . . . 7 (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
693feqmptd 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
70 i1fibl 25094 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
7169, 70eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ 𝐿1)
7226a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
7372feqmptd 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘₯)))
74 fveq2 6838 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = (πΉβ€˜π‘‘) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
755, 69, 73, 74fmptco 7070 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (abs ∘ 𝐹) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
76 i1fmbf 24961 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
77 ftc1anclem1 36037 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
783, 76, 77syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
7975, 78eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
804, 71, 79iblabsnc 36028 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1)
8160, 61iblpos 25079 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0))) ∈ ℝ)))
8280, 81mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0))) ∈ ℝ))
8382simprd 497 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ ℝ, (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0))) ∈ ℝ)
8468, 83eqeltrrid 2844 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ ℝ)
85843ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ ℝ)
8637, 43, 59, 65, 85itg2addnc 36018 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))) = ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
8723, 86eqtr3d 2780 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))) = ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
8859, 85readdcld 11118 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
8987, 88eqeltrd 2839 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
90 readdcl 11068 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
9138, 60, 90syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
9291anandirs 678 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
9392rexrd 11139 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ*)
9438adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
9560adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
9639adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))
9761adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
9894, 95, 96, 97addge0d 11665 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
99 elxrge0 13303 . . . . . 6 (((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
10093, 98, 99sylanbrc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ (0[,]+∞))
101100fmpttd 7058 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,]+∞))
1021013adant2 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,]+∞))
103 abs2dif2 15153 . . . . . . . 8 (((πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
1042, 5, 103syl2anr 598 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
105104anandirs 678 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
106105ralrimiva 3142 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
10716a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ ℝ ∈ V)
108 eqidd 2739 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))))
109 eqidd 2739 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
110107, 9, 92, 108, 109ofrfval2 7629 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
111106, 110mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
1121113adant2 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
113 itg2le 25026 . . 3 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))) ≀ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
11415, 102, 112, 113syl3anc 1372 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))) ≀ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
115 itg2lecl 25025 . 2 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))) ≀ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) + (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
11615, 89, 114, 115syl3anc 1372 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:β„βŸΆβ„) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((πΊβ€˜π‘‘) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444  ifcif 4485   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187  dom cdm 5631   ∘ ccom 5635  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∘f cof 7606   ∘r cofr 7607  β„‚cc 10983  β„cr 10984  0cc0 10985   + caddc 10988  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124   βˆ’ cmin 11319  [,)cico 13195  [,]cicc 13196  abscabs 15053  MblFncmbf 24900  βˆ«1citg1 24901  βˆ«2citg2 24902  πΏ1cibl 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-ofr 7609  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ioo 13197  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-clim 15305  df-sum 15506  df-rest 17239  df-topgen 17260  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cmp 22660  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-ibl 24908  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  ftc1anclem5  36041  ftc1anclem6  36042
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