Theorem ftc1anclem4 36154

Description: Lemma for ftc1anc 36159. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem4	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑡) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑡) ∈ ℂ)
3		i1ff 25040	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
6		subcl 11400	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
7	2, 5, 6	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
8	7	anandirs 677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15321	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11205	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ*)
11	8	absge0d 15329	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))
12		elxrge0 13374	. . . . 5 ⊢ ((abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))))
13	10, 11, 12	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
14	13	fmpttd 7063	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
15	14	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
16		reex 11142	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
18		fvexd 6857	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ V)
19		fvexd 6857	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ V)
20		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
21		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
22	17, 18, 19, 20, 21	offval2 7637	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
23	22	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
24		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
25	24	feqmptd 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑡)))
26		absf 15222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
28	27	feqmptd 6910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
29		fveq2 6842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐺‘𝑡)))
30	2, 25, 28, 29	fmptco 7075	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
31	30	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
32		iblmbf 25132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐿1 → 𝐺 ∈ MblFn)
33		ftc1anclem1 36151	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
34	32, 33	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
35	34	ancoms 459	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
36	31, 35	eqeltrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn)
37	36	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn)
38	2	abscld 15321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ)
39	2	absge0d 15329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
40		elrege0 13371	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
41	38, 39, 40	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
42	41	fmpttd 7063	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
43	42	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
44		iftrue 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0) = (abs‘(𝐺‘𝑡)))
45	44	mpteq2ia 5208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
46	45	fveq2i 6845	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
47	1	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑡) ∈ ℝ)
48		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
49	48	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑡)))
50		simpl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
51	49, 50	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
52	47, 51, 36	iblabsnc 36142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
53	38	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ)
54	39	adantll 712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
55	53, 54	iblpos 25157	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
56	52, 55	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
57	56	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
58	46, 57	eqeltrrid 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) ∈ ℝ)
59	58	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) ∈ ℝ)
60	5	abscld 15321	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
61	5	absge0d 15329	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
62		elrege0 13371	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
63	60, 61, 62	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
64	63	fmpttd 7063	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
65	64	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
66		iftrue 4492	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
67	66	mpteq2ia 5208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
68	67	fveq2i 6845	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
69	3	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑡)))
70		i1fibl 25172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
71	69, 70	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
72	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs:ℂ⟶ℝ)
73	72	feqmptd 6910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
74		fveq2 6842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
75	5, 69, 73, 74	fmptco 7075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
76		i1fmbf 25039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)
77		ftc1anclem1 36151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
78	3, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
79	75, 78	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
80	4, 71, 79	iblabsnc 36142	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
81	60, 61	iblpos 25157	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
82	80, 81	mpbid 231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
83	82	simprd 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
84	68, 83	eqeltrrid 2843	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ ℝ)
85	84	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ ℝ)
86	37, 43, 59, 65, 85	itg2addnc 36132	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
87	23, 86	eqtr3d 2778	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
88	59, 85	readdcld 11184	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)
89	87, 88	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)
90		readdcl 11134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
91	38, 60, 90	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
92	91	anandirs 677	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
93	92	rexrd 11205	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ*)
94	38	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ)
95	60	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
96	39	adantll 712	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
97	61	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
98	94, 95, 96, 97	addge0d 11731	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
99		elxrge0 13374	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
100	93, 98, 99	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
101	100	fmpttd 7063	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
102	101	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
103		abs2dif2 15218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
104	2, 5, 103	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
105	104	anandirs 677	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
106	105	ralrimiva 3143	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
107	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
108		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))))
109		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
110	107, 9, 92, 108, 109	ofrfval2 7638	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
111	106, 110	mpbird 256	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
112	111	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
113		itg2le 25104	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
114	15, 102, 112, 113	syl3anc 1371	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
115		itg2lecl 25103	. 2 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)
116	15, 89, 114, 115	syl3anc 1371	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  Vcvv 3445  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∘_f cof 7615   ∘_r cofr 7616  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051   + caddc 11054  +∞cpnf 11186  ℝ^*cxr 11188   ≤ cle 11190   − cmin 11385  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  abscabs 15119  MblFncmbf 24978  ∫₁citg1 24979  ∫₂citg2 24980  𝐿¹cibl 24981

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-rest 17304  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-cmp 22738  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-0p 25034

This theorem is referenced by:  ftc1anclem5  36155  ftc1anclem6  36156