Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem4 37703
Description: Lemma for ftc1anc 37708. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
21recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
3 i1ff 25711 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
43ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
54recnd 11289 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
6 subcl 11507 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℂ) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
72, 5, 6syl2anr 597 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
87anandirs 679 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
98abscld 15475 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
109rexrd 11311 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ*)
118absge0d 15483 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
12 elxrge0 13497 . . . . 5 ((abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))))
1310, 11, 12sylanbrc 583 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
1413fmpttd 7135 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
15143adant2 1132 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
16 reex 11246 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
18 fvexd 6921 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ V)
19 fvexd 6921 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ V)
20 eqidd 2738 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
21 eqidd 2738 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
2217, 18, 19, 20, 21offval2 7717 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
2322fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
2524feqmptd 6977 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)))
26 absf 15376 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
2827feqmptd 6977 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
29 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐺𝑡)))
302, 25, 28, 29fmptco 7149 . . . . . . . 8 (𝐺:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
3130adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
32 iblmbf 25802 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐿1𝐺 ∈ MblFn)
33 ftc1anclem1 37700 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3432, 33sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3534ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3631, 35eqeltrrd 2842 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn)
37363adant1 1131 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn)
382abscld 15475 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
392absge0d 15483 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
40 elrege0 13494 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡))))
4138, 39, 40sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
4241fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝐺:ℝ⟶ℝ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
43423ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
44 iftrue 4531 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0) = (abs‘(𝐺𝑡)))
4544mpteq2ia 5245 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))
4645fveq2i 6909 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
471adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
48 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
4948feqmptd 6977 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)))
50 simpl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
5149, 50eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)) ∈ 𝐿1)
5247, 51, 36iblabsnc 37691 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ 𝐿1)
5338adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
5439adantll 714 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
5553, 54iblpos 25828 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
5652, 55mpbid 232 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
5756simprd 495 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
5846, 57eqeltrrid 2846 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) ∈ ℝ)
59583adant1 1131 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) ∈ ℝ)
605abscld 15475 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
615absge0d 15483 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡)))
62 elrege0 13494 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡))))
6360, 61, 62sylanbrc 583 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
6463fmpttd 7135 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
65643ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
66 iftrue 4531 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0) = (abs‘(𝐹𝑡)))
6766mpteq2ia 5245 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))
6867fveq2i 6909 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
693feqmptd 6977 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑡)))
70 i1fibl 25843 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ 𝐿1)
7169, 70eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
7226a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs:ℂ⟶ℝ)
7372feqmptd 6977 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
74 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑡)))
755, 69, 73, 74fmptco 7149 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
76 i1fmbf 25710 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)
77 ftc1anclem1 37700 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
783, 76, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
7975, 78eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
804, 71, 79iblabsnc 37691 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1)
8160, 61iblpos 25828 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
8280, 81mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
8382simprd 495 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
8468, 83eqeltrrid 2846 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
85843ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
8637, 43, 59, 65, 85itg2addnc 37681 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))))
8723, 86eqtr3d 2779 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))))
8859, 85readdcld 11290 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
8987, 88eqeltrd 2841 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
90 readdcl 11238 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9138, 60, 90syl2anr 597 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9291anandirs 679 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9392rexrd 11311 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ*)
9438adantll 714 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
9560adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
9639adantll 714 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
9761adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡)))
9894, 95, 96, 97addge0d 11839 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
99 elxrge0 13497 . . . . . 6 (((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
10093, 98, 99sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
101100fmpttd 7135 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
1021013adant2 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
103 abs2dif2 15372 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
1042, 5, 103syl2anr 597 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
105104anandirs 679 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
106105ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
10716a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
108 eqidd 2738 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))))
109 eqidd 2738 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
110107, 9, 92, 108, 109ofrfval2 7718 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
111106, 110mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
1121113adant2 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
113 itg2le 25774 . . 3 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
11415, 102, 112, 113syl3anc 1373 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
115 itg2lecl 25773 . 2 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
11615, 89, 114, 115syl3anc 1373 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ccom 5689  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  r cofr 7696  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155   + caddc 11158  +∞cpnf 11292  *cxr 11294  cle 11296  cmin 11492  [,)cico 13389  [,]cicc 13390  abscabs 15273  MblFncmbf 25649  1citg1 25650  2citg2 25651  𝐿1cibl 25652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-disj 5111  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cmp 23395  df-ovol 25499  df-vol 25500  df-mbf 25654  df-itg1 25655  df-itg2 25656  df-ibl 25657  df-0p 25705
This theorem is referenced by:  ftc1anclem5  37704  ftc1anclem6  37705
  Copyright terms: Public domain W3C validator