Theorem ftc1anclem4 37693

Description: Lemma for ftc1anc 37698. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem4	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7008	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑡) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑡) ∈ ℂ)
3		i1ff 25558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
6		subcl 11350	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
7	2, 5, 6	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
8	7	anandirs 679	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15333	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11153	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ*)
11	8	absge0d 15341	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))
12		elxrge0 13348	. . . . 5 ⊢ ((abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))))
13	10, 11, 12	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
14	13	fmpttd 7042	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
15	14	3adant2 1131	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
16		reex 11088	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
18		fvexd 6831	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ V)
19		fvexd 6831	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ V)
20		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
21		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
22	17, 18, 19, 20, 21	offval2 7624	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
23	22	fveq2d 6820	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
24		id 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
25	24	feqmptd 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑡)))
26		absf 15232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
28	27	feqmptd 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
29		fveq2 6816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐺‘𝑡)))
30	2, 25, 28, 29	fmptco 7056	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
32		iblmbf 25649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐿1 → 𝐺 ∈ MblFn)
33		ftc1anclem1 37690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
34	32, 33	sylan2 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
35	34	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
36	31, 35	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn)
37	36	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn)
38	2	abscld 15333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ)
39	2	absge0d 15341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
40		elrege0 13345	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
41	38, 39, 40	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
42	41	fmpttd 7042	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
43	42	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
44		iftrue 4478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0) = (abs‘(𝐺‘𝑡)))
45	44	mpteq2ia 5183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
46	45	fveq2i 6819	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
47	1	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑡) ∈ ℝ)
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
49	48	feqmptd 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑡)))
50		simpl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
51	49, 50	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
52	47, 51, 36	iblabsnc 37681	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
53	38	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ)
54	39	adantll 714	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
55	53, 54	iblpos 25675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
56	52, 55	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
57	56	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
58	46, 57	eqeltrrid 2833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) ∈ ℝ)
59	58	3adant1 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) ∈ ℝ)
60	5	abscld 15333	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
61	5	absge0d 15341	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
62		elrege0 13345	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
63	60, 61, 62	sylanbrc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
64	63	fmpttd 7042	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
65	64	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
66		iftrue 4478	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
67	66	mpteq2ia 5183	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
68	67	fveq2i 6819	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
69	3	feqmptd 6884	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑡)))
70		i1fibl 25690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
71	69, 70	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
72	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs:ℂ⟶ℝ)
73	72	feqmptd 6884	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
74		fveq2 6816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
75	5, 69, 73, 74	fmptco 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
76		i1fmbf 25557	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)
77		ftc1anclem1 37690	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
78	3, 76, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
79	75, 78	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
80	4, 71, 79	iblabsnc 37681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
81	60, 61	iblpos 25675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
82	80, 81	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
83	82	simprd 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
84	68, 83	eqeltrrid 2833	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ ℝ)
85	84	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ ℝ)
86	37, 43, 59, 65, 85	itg2addnc 37671	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
87	23, 86	eqtr3d 2766	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
88	59, 85	readdcld 11132	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)
89	87, 88	eqeltrd 2828	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)
90		readdcl 11080	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
91	38, 60, 90	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
92	91	anandirs 679	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
93	92	rexrd 11153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ*)
94	38	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ)
95	60	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
96	39	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
97	61	adantlr 715	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
98	94, 95, 96, 97	addge0d 11684	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
99		elxrge0 13348	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
100	93, 98, 99	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
101	100	fmpttd 7042	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
102	101	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
103		abs2dif2 15228	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
104	2, 5, 103	syl2anr 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
105	104	anandirs 679	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
106	105	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
107	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
108		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))))
109		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
110	107, 9, 92, 108, 109	ofrfval2 7625	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
111	106, 110	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
112	111	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
113		itg2le 25621	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
114	15, 102, 112, 113	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
115		itg2lecl 25620	. 2 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)
116	15, 89, 114, 115	syl3anc 1373	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  Vcvv 3433  ifcif 4472   class class class wbr 5088   ↦ cmpt 5169  dom cdm 5613   ∘ ccom 5617  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340   ∘_f cof 7602   ∘_r cofr 7603  ℂcc 10995  ℝcr 10996  0cc0 10997   + caddc 11000  +∞cpnf 11134  ℝ^*cxr 11136   ≤ cle 11138   − cmin 11335  [,)cico 13238  [,]cicc 13239  abscabs 15128  MblFncmbf 25496  ∫₁citg1 25497  ∫₂citg2 25498  𝐿¹cibl 25499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-inf2 9525  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075  ax-addf 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-disj 5056  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-se 5567  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-of 7604  df-ofr 7605  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8616  df-map 8746  df-pm 8747  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fi 9289  df-sup 9320  df-inf 9321  df-oi 9390  df-dju 9785  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-xneg 13002  df-xadd 13003  df-xmul 13004  df-ioo 13240  df-ico 13242  df-icc 13243  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-fl 13684  df-seq 13897  df-exp 13957  df-hash 14226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15382  df-sum 15581  df-rest 17313  df-topgen 17334  df-psmet 21237  df-xmet 21238  df-met 21239  df-bl 21240  df-mopn 21241  df-top 22763  df-topon 22780  df-bases 22815  df-cmp 23256  df-ovol 25346  df-vol 25347  df-mbf 25501  df-itg1 25502  df-itg2 25503  df-ibl 25504  df-0p 25552

This theorem is referenced by:  ftc1anclem5  37694  ftc1anclem6  37695