Theorem ftc1anclem4 38445

Description: Lemma for ftc1anc 38450. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
ftc1anclem4	⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)

Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem4

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdm 7074	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑡) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑡) ∈ ℂ)
3		i1ff 25904	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4	3	ffvelcdmda 7077	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ)
6		subcl 11480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺‘𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
7	2, 5, 6	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
8	7	anandirs 692	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)) ∈ ℂ)
9	8	abscld 15526	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11283	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ*)
11	8	absge0d 15534	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))
12		elxrge0 13510	. . . . 5 ⊢ ((abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))))
13	10, 11, 12	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
14	13	fmpttd 7108	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
15	14	3adant2 1149	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
16		reex 11215	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
18		fvexd 6893	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ V)
19		fvexd 6893	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ V)
20		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
21		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
22	17, 18, 19, 20, 21	offval2 7698	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
23	22	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
24		id 23	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
25	24	feqmptd 6946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑡)))
26		absf 15425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
27	26	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
28	27	feqmptd 6946	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
29		fveq2 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝐺‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐺‘𝑡)))
30	2, 25, 28, 29	fmptco 7123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
31	30	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
32		iblmbf 25995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ 𝐿1 → 𝐺 ∈ MblFn)
33		ftc1anclem1 38442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
34	32, 33	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
35	34	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
36	31, 35	eqeltrrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn)
37	36	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn)
38	2	abscld 15526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ)
39	2	absge0d 15534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
40		elrege0 13507	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
41	38, 39, 40	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
42	41	fmpttd 7108	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:ℝ⟶ℝ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
43	42	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
44		iftrue 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0) = (abs‘(𝐺‘𝑡)))
45	44	mpteq2ia 5200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
46	45	fveq2i 6881	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))))
47	1	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑡) ∈ ℝ)
48		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
49	48	feqmptd 6946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑡)))
50		simpl 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
51	49, 50	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
52	47, 51, 36	iblabsnc 38433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
53	38	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ)
54	39	adantll 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
55	53, 54	iblpos 26020	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
56	52, 55	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
57	56	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
58	46, 57	eqeltrrid 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) ∈ ℝ)
59	58	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) ∈ ℝ)
60	5	abscld 15526	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
61	5	absge0d 15534	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
62		elrege0 13507	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
63	60, 61, 62	sylanbrc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
64	63	fmpttd 7108	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
65	64	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
66		iftrue 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
67	66	mpteq2ia 5200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
68	67	fveq2i 6881	. . . . . . 7 ⊢ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
69	3	feqmptd 6946	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑡)))
70		i1fibl 26035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ 𝐿1)
71	69, 70	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑡)) ∈ 𝐿1)
72	26	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs:ℂ⟶ℝ)
73	72	feqmptd 6946	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
74		fveq2 6878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = (𝐹‘𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹‘𝑡)))
75	5, 69, 73, 74	fmptco 7123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))
76		i1fmbf 25903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹 ∈ MblFn)
77		ftc1anclem1 38442	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
78	3, 76, 77	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
79	75, 78	eqeltrrd 2861	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn)
80	4, 71, 79	iblabsnc 38433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1)
81	60, 61	iblpos 26020	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
82	80, 81	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
83	82	simprd 501	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹‘𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
84	68, 83	eqeltrrid 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ ℝ)
85	84	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡)))) ∈ ℝ)
86	37, 43, 59, 65, 85	itg2addnc 38423	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
87	23, 86	eqtr3d 2797	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
88	59, 85	readdcld 11262	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺‘𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)
89	87, 88	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)
90		readdcl 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
91	38, 60, 90	syl2anr 609	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
92	91	anandirs 692	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ)
93	92	rexrd 11283	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ*)
94	38	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺‘𝑡)) ∈ ℝ)
95	60	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹‘𝑡)) ∈ ℝ)
96	39	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺‘𝑡)))
97	61	adantlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑡)))
98	94, 95, 96, 97	addge0d 11814	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
99		elxrge0 13510	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
100	93, 98, 99	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
101	100	fmpttd 7108	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
102	101	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
103		abs2dif2 15421	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺‘𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
104	2, 5, 103	syl2anr 609	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
105	104	anandirs 692	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
106	105	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))
107	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
108		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))))
109		eqidd 2761	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
110	107, 9, 92, 108, 109	ofrfval2 7699	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
111	106, 110	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
112	111	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))
113		itg2le 25967	. . 3 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
114	15, 102, 112, 113	syl3anc 1398	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))))
115		itg2lecl 25966	. 2 ⊢ (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺‘𝑡)) + (abs‘(𝐹‘𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)
116	15, 89, 114, 115	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝐹 ∈ dom ∫1 ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ 𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺‘𝑡) − (𝐹‘𝑡))))) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  Vcvv 3450  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5655   ∘ ccom 5659  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∘_f cof 7676   ∘_r cofr 7677  ℂcc 11122  ℝcr 11123  0cc0 11124   + caddc 11127  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   ≤ cle 11268   − cmin 11465  [,)cico 13400  [,]cicc 13401  abscabs 15321  MblFncmbf 25842  ∫₁citg1 25843  ∫₂citg2 25844  𝐿¹cibl 25845

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-disj 5071  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7678  df-ofr 7679  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-q 12998  df-rp 13043  df-xneg 13163  df-xadd 13164  df-xmul 13165  df-ioo 13402  df-ico 13404  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-clim 15575  df-sum 15774  df-rest 17507  df-topgen 17528  df-psmet 21577  df-xmet 21578  df-met 21579  df-bl 21580  df-mopn 21581  df-top 23119  df-topon 23136  df-bases 23171  df-cmp 23612  df-ovol 25692  df-vol 25693  df-mbf 25847  df-itg1 25848  df-itg2 25849  df-ibl 25850  df-0p 25898

This theorem is used by:  ftc1anclem5  38446  ftc1anclem6  38447