Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem4 35006
Description: Lemma for ftc1anc 35011. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelrn 6823 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
21recnd 10645 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
3 i1ff 24256 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
43ffvelrnda 6825 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
54recnd 10645 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
6 subcl 10861 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℂ) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
72, 5, 6syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
87anandirs 677 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
98abscld 14774 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
109rexrd 10667 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ*)
118absge0d 14782 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
12 elxrge0 12824 . . . . 5 ((abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))))
1310, 11, 12sylanbrc 585 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
1413fmpttd 6853 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
15143adant2 1127 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
16 reex 10604 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
18 fvexd 6659 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ V)
19 fvexd 6659 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ V)
20 eqidd 2821 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
21 eqidd 2821 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
2217, 18, 19, 20, 21offval2 7402 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
2322fveq2d 6648 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
2524feqmptd 6707 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)))
26 absf 14675 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
2827feqmptd 6707 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
29 fveq2 6644 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐺𝑡)))
302, 25, 28, 29fmptco 6865 . . . . . . . 8 (𝐺:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
3130adantl 484 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
32 iblmbf 24347 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐿1𝐺 ∈ MblFn)
33 ftc1anclem1 35003 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3432, 33sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3534ancoms 461 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3631, 35eqeltrrd 2912 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn)
37363adant1 1126 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn)
382abscld 14774 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
392absge0d 14782 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
40 elrege0 12821 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡))))
4138, 39, 40sylanbrc 585 . . . . . . 7 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
4241fmpttd 6853 . . . . . 6 (𝐺:ℝ⟶ℝ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
43423ad2ant3 1131 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
44 iftrue 4447 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0) = (abs‘(𝐺𝑡)))
4544mpteq2ia 5131 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))
4645fveq2i 6647 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
471adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
48 simpr 487 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
4948feqmptd 6707 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)))
50 simpl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
5149, 50eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)) ∈ 𝐿1)
5247, 51, 36iblabsnc 34994 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ 𝐿1)
5338adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
5439adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
5553, 54iblpos 24372 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
5652, 55mpbid 234 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
5756simprd 498 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
5846, 57eqeltrrid 2916 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) ∈ ℝ)
59583adant1 1126 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) ∈ ℝ)
605abscld 14774 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
615absge0d 14782 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡)))
62 elrege0 12821 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡))))
6360, 61, 62sylanbrc 585 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
6463fmpttd 6853 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
65643ad2ant1 1129 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
66 iftrue 4447 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0) = (abs‘(𝐹𝑡)))
6766mpteq2ia 5131 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))
6867fveq2i 6647 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
693feqmptd 6707 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑡)))
70 i1fibl 24387 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ 𝐿1)
7169, 70eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
7226a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs:ℂ⟶ℝ)
7372feqmptd 6707 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
74 fveq2 6644 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑡)))
755, 69, 73, 74fmptco 6865 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
76 i1fmbf 24255 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)
77 ftc1anclem1 35003 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
783, 76, 77syl2anc 586 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
7975, 78eqeltrrd 2912 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
804, 71, 79iblabsnc 34994 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1)
8160, 61iblpos 24372 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
8280, 81mpbid 234 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
8382simprd 498 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
8468, 83eqeltrrid 2916 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
85843ad2ant1 1129 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
8637, 43, 59, 65, 85itg2addnc 34984 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))))
8723, 86eqtr3d 2857 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))))
8859, 85readdcld 10646 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
8987, 88eqeltrd 2911 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
90 readdcl 10596 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9138, 60, 90syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9291anandirs 677 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9392rexrd 10667 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ*)
9438adantll 712 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
9560adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
9639adantll 712 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
9761adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡)))
9894, 95, 96, 97addge0d 11192 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
99 elxrge0 12824 . . . . . 6 (((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
10093, 98, 99sylanbrc 585 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
101100fmpttd 6853 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
1021013adant2 1127 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
103 abs2dif2 14671 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
1042, 5, 103syl2anr 598 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
105104anandirs 677 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
106105ralrimiva 3169 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
10716a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
108 eqidd 2821 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))))
109 eqidd 2821 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
110107, 9, 92, 108, 109ofrfval2 7403 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
111106, 110mpbird 259 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
1121113adant2 1127 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
113 itg2le 24319 . . 3 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
11415, 102, 112, 113syl3anc 1367 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
115 itg2lecl 24318 . 2 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
11615, 89, 114, 115syl3anc 1367 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114  wral 3125  Vcvv 3473  ifcif 4441   class class class wbr 5040  cmpt 5120  dom cdm 5529  ccom 5533  wf 6325  cfv 6329  (class class class)co 7131  f cof 7383  r cofr 7384  cc 10511  cr 10512  0cc0 10513   + caddc 10516  +∞cpnf 10648  *cxr 10650  cle 10652  cmin 10846  [,)cico 12717  [,]cicc 12718  abscabs 14571  MblFncmbf 24194  1citg1 24195  2citg2 24196  𝐿1cibl 24197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-inf2 9080  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591  ax-addf 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-disj 5006  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-of 7385  df-ofr 7386  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-2o 8079  df-oadd 8082  df-er 8265  df-map 8384  df-pm 8385  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-dju 9306  df-card 9344  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-n0 11875  df-z 11959  df-uz 12221  df-q 12326  df-rp 12367  df-xneg 12484  df-xadd 12485  df-xmul 12486  df-ioo 12719  df-ico 12721  df-icc 12722  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-fl 13144  df-seq 13352  df-exp 13413  df-hash 13674  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-clim 14823  df-sum 15021  df-rest 16672  df-topgen 16693  df-psmet 20510  df-xmet 20511  df-met 20512  df-bl 20513  df-mopn 20514  df-top 21475  df-topon 21492  df-bases 21527  df-cmp 21968  df-ovol 24044  df-vol 24045  df-mbf 24199  df-itg1 24200  df-itg2 24201  df-ibl 24202  df-0p 24250
This theorem is referenced by:  ftc1anclem5  35007  ftc1anclem6  35008
  Copyright terms: Public domain W3C validator