Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ftc1anclem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ftc1anclem4 36553
Description: Lemma for ftc1anc 36558. (Contributed by Brendan Leahy, 17-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
Distinct variable groups:   𝑡,𝐹   𝑡,𝐺

Proof of Theorem ftc1anclem4
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffvelcdm 7081 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
21recnd 11239 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℂ)
3 i1ff 25185 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
43ffvelcdmda 7084 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) ∈ ℝ)
54recnd 11239 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
6 subcl 11456 . . . . . . . . 9 (((𝐺𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℂ) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
72, 5, 6syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
87anandirs 678 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
98abscld 15380 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
109rexrd 11261 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ*)
118absge0d 15388 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))
12 elxrge0 13431 . . . . 5 ((abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))))
1310, 11, 12sylanbrc 584 . . . 4 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
1413fmpttd 7112 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
15143adant2 1132 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
16 reex 11198 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1716a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
18 fvexd 6904 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ V)
19 fvexd 6904 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ V)
20 eqidd 2734 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
21 eqidd 2734 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
2217, 18, 19, 20, 21offval2 7687 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
2322fveq2d 6893 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
2524feqmptd 6958 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ℝ → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)))
26 absf 15281 . . . . . . . . . . 11 abs:ℂ⟶ℝ
2726a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs:ℂ⟶ℝ)
2827feqmptd 6958 . . . . . . . . 9 (𝐺:ℝ⟶ℝ → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
29 fveq2 6889 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐺𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐺𝑡)))
302, 25, 28, 29fmptco 7124 . . . . . . . 8 (𝐺:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
3130adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
32 iblmbf 25277 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐿1𝐺 ∈ MblFn)
33 ftc1anclem1 36550 . . . . . . . . 9 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3432, 33sylan2 594 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3534ancoms 460 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (abs ∘ 𝐺) ∈ MblFn)
3631, 35eqeltrrd 2835 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn)
37363adant1 1131 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn)
382abscld 15380 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
392absge0d 15388 . . . . . . . 8 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
40 elrege0 13428 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡))))
4138, 39, 40sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
4241fmpttd 7112 . . . . . 6 (𝐺:ℝ⟶ℝ → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
43423ad2ant3 1136 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
44 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0) = (abs‘(𝐺𝑡)))
4544mpteq2ia 5251 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))
4645fveq2i 6892 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))))
471adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐺𝑡) ∈ ℝ)
48 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺:ℝ⟶ℝ)
4948feqmptd 6958 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)))
50 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
5149, 50eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐺𝑡)) ∈ 𝐿1)
5247, 51, 36iblabsnc 36541 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ 𝐿1)
5338adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
5439adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
5553, 54iblpos 25302 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
5652, 55mpbid 231 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
5756simprd 497 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐺𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
5846, 57eqeltrrid 2839 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) ∈ ℝ)
59583adant1 1131 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) ∈ ℝ)
605abscld 15380 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
615absge0d 15388 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡)))
62 elrege0 13428 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡))))
6360, 61, 62sylanbrc 584 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
6463fmpttd 7112 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
65643ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))):ℝ⟶(0[,)+∞))
66 iftrue 4534 . . . . . . . . 9 (𝑡 ∈ ℝ → if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0) = (abs‘(𝐹𝑡)))
6766mpteq2ia 5251 . . . . . . . 8 (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))
6867fveq2i 6892 . . . . . . 7 (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
693feqmptd 6958 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑡)))
70 i1fibl 25317 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ 𝐿1)
7169, 70eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑡)) ∈ 𝐿1)
7226a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs:ℂ⟶ℝ)
7372feqmptd 6958 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
74 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (𝐹𝑡) → (abs‘𝑥) = (abs‘(𝐹𝑡)))
755, 69, 73, 74fmptco 7124 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))
76 i1fmbf 25184 . . . . . . . . . . . 12 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹 ∈ MblFn)
77 ftc1anclem1 36550 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ MblFn) → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
783, 76, 77syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝐹) ∈ MblFn)
7975, 78eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
804, 71, 79iblabsnc 36541 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1)
8160, 61iblpos 25302 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ)))
8280, 81mpbid 231 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ dom ∫1 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ))
8382simprd 497 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ ℝ, (abs‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ ℝ)
8468, 83eqeltrrid 2839 . . . . . 6 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
85843ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
8637, 43, 59, 65, 85itg2addnc 36531 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡))) ∘f + (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))))
8723, 86eqtr3d 2775 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))))
8859, 85readdcld 11240 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐺𝑡)))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
8987, 88eqeltrd 2834 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
90 readdcl 11190 . . . . . . . . 9 (((abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9138, 60, 90syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9291anandirs 678 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
9392rexrd 11261 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ*)
9438adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐺𝑡)) ∈ ℝ)
9560adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
9639adantll 713 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑡)))
9761adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑡)))
9894, 95, 96, 97addge0d 11787 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
99 elxrge0 13431 . . . . . 6 (((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞) ↔ (((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
10093, 98, 99sylanbrc 584 . . . . 5 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,]+∞))
101100fmpttd 7112 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
1021013adant2 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
103 abs2dif2 15277 . . . . . . . 8 (((𝐺𝑡) ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
1042, 5, 103syl2anr 598 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝐺:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
105104anandirs 678 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
106105ralrimiva 3147 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))
10716a1i 11 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ℝ ∈ V)
108 eqidd 2734 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))))
109 eqidd 2734 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
110107, 9, 92, 108, 109ofrfval2 7688 . . . . 5 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
111106, 110mpbird 257 . . . 4 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
1121113adant2 1132 . . 3 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))
113 itg2le 25249 . . 3 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))) ∘r ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
11415, 102, 112, 113syl3anc 1372 . 2 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))))
115 itg2lecl 25248 . 2 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝐺𝑡)) + (abs‘(𝐹𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
11615, 89, 114, 115syl3anc 1372 1 ((𝐹 ∈ dom ∫1𝐺 ∈ 𝐿1𝐺:ℝ⟶ℝ) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝐺𝑡) − (𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062  Vcvv 3475  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5676  ccom 5680  wf 6537  cfv 6541  (class class class)co 7406  f cof 7665  r cofr 7666  cc 11105  cr 11106  0cc0 11107   + caddc 11110  +∞cpnf 11242  *cxr 11244  cle 11246  cmin 11441  [,)cico 13323  [,]cicc 13324  abscabs 15178  MblFncmbf 25123  1citg1 25124  2citg2 25125  𝐿1cibl 25126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-inf2 9633  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-addf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-dju 9893  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-clim 15429  df-sum 15630  df-rest 17365  df-topgen 17386  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-top 22388  df-topon 22405  df-bases 22441  df-cmp 22883  df-ovol 24973  df-vol 24974  df-mbf 25128  df-itg1 25129  df-itg2 25130  df-ibl 25131  df-0p 25179
This theorem is referenced by:  ftc1anclem5  36554  ftc1anclem6  36555
  Copyright terms: Public domain W3C validator