Theorem i1ff 25593

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25591	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902  {csn 4579  ^◡ccnv 5622  dom cdm 5623  ran crn 5624   “ cima 5626  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  Fincfn 8879  ℝcr 11027  0cc0 11028  volcvol 25380  MblFncmbf 25531  ∫₁citg1 25532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-sum 15612  df-itg1 25537

This theorem is referenced by:  i1fima  25595  i1fima2  25596  i1f0rn  25599  itg1val2  25601  itg1cl  25602  itg1ge0  25603  i1faddlem  25610  i1fmullem  25611  i1fadd  25612  i1fmul  25613  itg1addlem4  25616  itg1addlem5  25617  i1fmulclem  25619  i1fmulc  25620  itg1mulc  25621  i1fres  25622  i1fpos  25623  i1fposd  25624  i1fsub  25625  itg1sub  25626  itg10a  25627  itg1ge0a  25628  itg1lea  25629  itg1le  25630  itg1climres  25631  mbfi1fseqlem5  25636  mbfi1fseqlem6  25637  mbfi1flimlem  25639  mbfmullem2  25641  itg2itg1  25653  itg20  25654  itg2le  25656  itg2seq  25659  itg2uba  25660  itg2lea  25661  itg2mulclem  25663  itg2splitlem  25665  itg2split  25666  itg2monolem1  25667  itg2i1fseqle  25671  itg2i1fseq  25672  itg2addlem  25675  i1fibl  25725  itgitg1  25726  itg2addnclem  37653  itg2addnclem2  37654  itg2addnclem3  37655  itg2addnc  37656  ftc1anclem3  37677  ftc1anclem4  37678  ftc1anclem5  37679  ftc1anclem6  37680  ftc1anclem7  37681  ftc1anclem8  37682  ftc1anc  37683