Theorem i1ff 25730

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25728	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ∖ cdif 3973  {csn 4648  ^◡ccnv 5699  dom cdm 5700  ran crn 5701   “ cima 5703  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  Fincfn 9003  ℝcr 11183  0cc0 11184  volcvol 25517  MblFncmbf 25668  ∫₁citg1 25669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-sum 15735  df-itg1 25674

This theorem is referenced by:  i1fima  25732  i1fima2  25733  i1f0rn  25736  itg1val2  25738  itg1cl  25739  itg1ge0  25740  i1faddlem  25747  i1fmullem  25748  i1fadd  25749  i1fmul  25750  itg1addlem4  25753  itg1addlem4OLD  25754  itg1addlem5  25755  i1fmulclem  25757  i1fmulc  25758  itg1mulc  25759  i1fres  25760  i1fpos  25761  i1fposd  25762  i1fsub  25763  itg1sub  25764  itg10a  25765  itg1ge0a  25766  itg1lea  25767  itg1le  25768  itg1climres  25769  mbfi1fseqlem5  25774  mbfi1fseqlem6  25775  mbfi1flimlem  25777  mbfmullem2  25779  itg2itg1  25791  itg20  25792  itg2le  25794  itg2seq  25797  itg2uba  25798  itg2lea  25799  itg2mulclem  25801  itg2splitlem  25803  itg2split  25804  itg2monolem1  25805  itg2i1fseqle  25809  itg2i1fseq  25810  itg2addlem  25813  i1fibl  25863  itgitg1  25864  itg2addnclem  37631  itg2addnclem2  37632  itg2addnclem3  37633  itg2addnc  37634  ftc1anclem3  37655  ftc1anclem4  37656  ftc1anclem5  37657  ftc1anclem6  37658  ftc1anclem7  37659  ftc1anclem8  37660  ftc1anc  37661