MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1ff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1ff 23662
Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1ff (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff
StepHypRef Expression
1 isi1f 23660 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
21simprbi 484 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
32simp1d 1136 1 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1071  wcel 2145  cdif 3720  {csn 4317  ccnv 5249  dom cdm 5250  ran crn 5251  cima 5253  wf 6026  cfv 6030  Fincfn 8112  cr 10140  0cc0 10141  volcvol 23450  MblFncmbf 23601  1citg1 23602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pr 5035
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4227  df-sn 4318  df-pr 4320  df-op 4324  df-uni 4576  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-id 5158  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-fv 6038  df-sum 14624  df-itg1 23607
This theorem is referenced by:  i1fima  23664  i1fima2  23665  i1f0rn  23668  itg1val2  23670  itg1cl  23671  itg1ge0  23672  i1faddlem  23679  i1fmullem  23680  i1fadd  23681  i1fmul  23682  itg1addlem4  23685  itg1addlem5  23686  i1fmulclem  23688  i1fmulc  23689  itg1mulc  23690  i1fres  23691  i1fpos  23692  i1fposd  23693  i1fsub  23694  itg1sub  23695  itg10a  23696  itg1ge0a  23697  itg1lea  23698  itg1le  23699  itg1climres  23700  mbfi1fseqlem5  23705  mbfi1fseqlem6  23706  mbfi1flimlem  23708  mbfmullem2  23710  itg2itg1  23722  itg20  23723  itg2le  23725  itg2seq  23728  itg2uba  23729  itg2lea  23730  itg2mulclem  23732  itg2splitlem  23734  itg2split  23735  itg2monolem1  23736  itg2i1fseqle  23740  itg2i1fseq  23741  itg2addlem  23744  i1fibl  23793  itgitg1  23794  itg2addnclem  33792  itg2addnclem2  33793  itg2addnclem3  33794  itg2addnc  33795  ftc1anclem3  33818  ftc1anclem4  33819  ftc1anclem5  33820  ftc1anclem6  33821  ftc1anclem7  33822  ftc1anclem8  33823  ftc1anc  33824
  Copyright terms: Public domain W3C validator