Theorem i1ff 25725

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25723	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1141	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3960  {csn 4631  ^◡ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690   “ cima 5692  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  Fincfn 8984  ℝcr 11152  0cc0 11153  volcvol 25512  MblFncmbf 25663  ∫₁citg1 25664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-sum 15720  df-itg1 25669

This theorem is referenced by:  i1fima  25727  i1fima2  25728  i1f0rn  25731  itg1val2  25733  itg1cl  25734  itg1ge0  25735  i1faddlem  25742  i1fmullem  25743  i1fadd  25744  i1fmul  25745  itg1addlem4  25748  itg1addlem4OLD  25749  itg1addlem5  25750  i1fmulclem  25752  i1fmulc  25753  itg1mulc  25754  i1fres  25755  i1fpos  25756  i1fposd  25757  i1fsub  25758  itg1sub  25759  itg10a  25760  itg1ge0a  25761  itg1lea  25762  itg1le  25763  itg1climres  25764  mbfi1fseqlem5  25769  mbfi1fseqlem6  25770  mbfi1flimlem  25772  mbfmullem2  25774  itg2itg1  25786  itg20  25787  itg2le  25789  itg2seq  25792  itg2uba  25793  itg2lea  25794  itg2mulclem  25796  itg2splitlem  25798  itg2split  25799  itg2monolem1  25800  itg2i1fseqle  25804  itg2i1fseq  25805  itg2addlem  25808  i1fibl  25858  itgitg1  25859  itg2addnclem  37658  itg2addnclem2  37659  itg2addnclem3  37660  itg2addnc  37661  ftc1anclem3  37682  ftc1anclem4  37683  ftc1anclem5  37684  ftc1anclem6  37685  ftc1anclem7  37686  ftc1anclem8  37687  ftc1anc  37688