Theorem i1ff 24271

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 24269	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 499	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1138	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3932  {csn 4560  ^◡ccnv 5548  dom cdm 5549  ran crn 5550   “ cima 5552  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  Fincfn 8503  ℝcr 10530  0cc0 10531  volcvol 24058  MblFncmbf 24209  ∫₁citg1 24210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pr 5321

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-fv 6357  df-sum 15037  df-itg1 24215

This theorem is referenced by:  i1fima  24273  i1fima2  24274  i1f0rn  24277  itg1val2  24279  itg1cl  24280  itg1ge0  24281  i1faddlem  24288  i1fmullem  24289  i1fadd  24290  i1fmul  24291  itg1addlem4  24294  itg1addlem5  24295  i1fmulclem  24297  i1fmulc  24298  itg1mulc  24299  i1fres  24300  i1fpos  24301  i1fposd  24302  i1fsub  24303  itg1sub  24304  itg10a  24305  itg1ge0a  24306  itg1lea  24307  itg1le  24308  itg1climres  24309  mbfi1fseqlem5  24314  mbfi1fseqlem6  24315  mbfi1flimlem  24317  mbfmullem2  24319  itg2itg1  24331  itg20  24332  itg2le  24334  itg2seq  24337  itg2uba  24338  itg2lea  24339  itg2mulclem  24341  itg2splitlem  24343  itg2split  24344  itg2monolem1  24345  itg2i1fseqle  24349  itg2i1fseq  24350  itg2addlem  24353  i1fibl  24402  itgitg1  24403  itg2addnclem  34937  itg2addnclem2  34938  itg2addnclem3  34939  itg2addnc  34940  ftc1anclem3  34963  ftc1anclem4  34964  ftc1anclem5  34965  ftc1anclem6  34966  ftc1anclem7  34967  ftc1anclem8  34968  ftc1anc  34969