Theorem i1ff 25643

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25641	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1143	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3886  {csn 4567  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  Fincfn 8893  ℝcr 11037  0cc0 11038  volcvol 25430  MblFncmbf 25581  ∫₁citg1 25582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-sum 15649  df-itg1 25587

This theorem is referenced by:  i1fima  25645  i1fima2  25646  i1f0rn  25649  itg1val2  25651  itg1cl  25652  itg1ge0  25653  i1faddlem  25660  i1fmullem  25661  i1fadd  25662  i1fmul  25663  itg1addlem4  25666  itg1addlem5  25667  i1fmulclem  25669  i1fmulc  25670  itg1mulc  25671  i1fres  25672  i1fpos  25673  i1fposd  25674  i1fsub  25675  itg1sub  25676  itg10a  25677  itg1ge0a  25678  itg1lea  25679  itg1le  25680  itg1climres  25681  mbfi1fseqlem5  25686  mbfi1fseqlem6  25687  mbfi1flimlem  25689  mbfmullem2  25691  itg2itg1  25703  itg20  25704  itg2le  25706  itg2seq  25709  itg2uba  25710  itg2lea  25711  itg2mulclem  25713  itg2splitlem  25715  itg2split  25716  itg2monolem1  25717  itg2i1fseqle  25721  itg2i1fseq  25722  itg2addlem  25725  i1fibl  25775  itgitg1  25776  itg2addnclem  37992  itg2addnclem2  37993  itg2addnclem3  37994  itg2addnc  37995  ftc1anclem3  38016  ftc1anclem4  38017  ftc1anclem5  38018  ftc1anclem6  38019  ftc1anclem7  38020  ftc1anclem8  38021  ftc1anc  38022