Theorem i1ff 25645

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25643	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1143	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ^◡ccnv 5631  dom cdm 5632  ran crn 5633   “ cima 5635  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  Fincfn 8895  ℝcr 11037  0cc0 11038  volcvol 25432  MblFncmbf 25583  ∫₁citg1 25584

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-sum 15622  df-itg1 25589

This theorem is referenced by:  i1fima  25647  i1fima2  25648  i1f0rn  25651  itg1val2  25653  itg1cl  25654  itg1ge0  25655  i1faddlem  25662  i1fmullem  25663  i1fadd  25664  i1fmul  25665  itg1addlem4  25668  itg1addlem5  25669  i1fmulclem  25671  i1fmulc  25672  itg1mulc  25673  i1fres  25674  i1fpos  25675  i1fposd  25676  i1fsub  25677  itg1sub  25678  itg10a  25679  itg1ge0a  25680  itg1lea  25681  itg1le  25682  itg1climres  25683  mbfi1fseqlem5  25688  mbfi1fseqlem6  25689  mbfi1flimlem  25691  mbfmullem2  25693  itg2itg1  25705  itg20  25706  itg2le  25708  itg2seq  25711  itg2uba  25712  itg2lea  25713  itg2mulclem  25715  itg2splitlem  25717  itg2split  25718  itg2monolem1  25719  itg2i1fseqle  25723  itg2i1fseq  25724  itg2addlem  25727  i1fibl  25777  itgitg1  25778  itg2addnclem  37919  itg2addnclem2  37920  itg2addnclem3  37921  itg2addnc  37922  ftc1anclem3  37943  ftc1anclem4  37944  ftc1anclem5  37945  ftc1anclem6  37946  ftc1anclem7  37947  ftc1anclem8  37948  ftc1anc  37949