Theorem i1ff 25553

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25551	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3908  {csn 4585  ^◡ccnv 5630  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  Fincfn 8895  ℝcr 11043  0cc0 11044  volcvol 25340  MblFncmbf 25491  ∫₁citg1 25492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-fv 6507  df-sum 15629  df-itg1 25497

This theorem is referenced by:  i1fima  25555  i1fima2  25556  i1f0rn  25559  itg1val2  25561  itg1cl  25562  itg1ge0  25563  i1faddlem  25570  i1fmullem  25571  i1fadd  25572  i1fmul  25573  itg1addlem4  25576  itg1addlem5  25577  i1fmulclem  25579  i1fmulc  25580  itg1mulc  25581  i1fres  25582  i1fpos  25583  i1fposd  25584  i1fsub  25585  itg1sub  25586  itg10a  25587  itg1ge0a  25588  itg1lea  25589  itg1le  25590  itg1climres  25591  mbfi1fseqlem5  25596  mbfi1fseqlem6  25597  mbfi1flimlem  25599  mbfmullem2  25601  itg2itg1  25613  itg20  25614  itg2le  25616  itg2seq  25619  itg2uba  25620  itg2lea  25621  itg2mulclem  25623  itg2splitlem  25625  itg2split  25626  itg2monolem1  25627  itg2i1fseqle  25631  itg2i1fseq  25632  itg2addlem  25635  i1fibl  25685  itgitg1  25686  itg2addnclem  37638  itg2addnclem2  37639  itg2addnclem3  37640  itg2addnc  37641  ftc1anclem3  37662  ftc1anclem4  37663  ftc1anclem5  37664  ftc1anclem6  37665  ftc1anclem7  37666  ftc1anclem8  37667  ftc1anc  37668