Theorem i1ff 25800

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25798	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1158	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2149   ∖ cdif 3910  {csn 4591  ^◡ccnv 5658  dom cdm 5659  ran crn 5660   “ cima 5662  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  Fincfn 8939  ℝcr 11095  0cc0 11096  volcvol 25587  MblFncmbf 25738  ∫₁citg1 25739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-sum 15734  df-itg1 25744

This theorem is referenced by:  i1fima  25802  i1fima2  25803  i1f0rn  25806  itg1val2  25808  itg1cl  25809  itg1ge0  25810  i1faddlem  25817  i1fmullem  25818  i1fadd  25819  i1fmul  25820  itg1addlem4  25823  itg1addlem5  25824  i1fmulclem  25826  i1fmulc  25827  itg1mulc  25828  i1fres  25829  i1fpos  25830  i1fposd  25831  i1fsub  25832  itg1sub  25833  itg10a  25834  itg1ge0a  25835  itg1lea  25836  itg1le  25837  itg1climres  25838  mbfi1fseqlem5  25843  mbfi1fseqlem6  25844  mbfi1flimlem  25846  mbfmullem2  25848  itg2itg1  25860  itg20  25861  itg2le  25863  itg2seq  25866  itg2uba  25867  itg2lea  25868  itg2mulclem  25870  itg2splitlem  25872  itg2split  25873  itg2monolem1  25874  itg2i1fseqle  25878  itg2i1fseq  25879  itg2addlem  25882  i1fibl  25932  itgitg1  25933  itg2addnclem  38205  itg2addnclem2  38206  itg2addnclem3  38207  itg2addnc  38208  ftc1anclem3  38229  ftc1anclem4  38230  ftc1anclem5  38231  ftc1anclem6  38232  ftc1anclem7  38233  ftc1anclem8  38234  ftc1anc  38235