Theorem i1ff 25816

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25814	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 502	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1160	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143   ∖ cdif 3903  {csn 4590  ^◡ccnv 5662  dom cdm 5663  ran crn 5664   “ cima 5666  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  Fincfn 8944  ℝcr 11100  0cc0 11101  volcvol 25603  MblFncmbf 25754  ∫₁citg1 25755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-sum 15740  df-itg1 25760

This theorem is referenced by:  i1fima  25818  i1fima2  25819  i1f0rn  25822  itg1val2  25824  itg1cl  25825  itg1ge0  25826  i1faddlem  25833  i1fmullem  25834  i1fadd  25835  i1fmul  25836  itg1addlem4  25839  itg1addlem5  25840  i1fmulclem  25842  i1fmulc  25843  itg1mulc  25844  i1fres  25845  i1fpos  25846  i1fposd  25847  i1fsub  25848  itg1sub  25849  itg10a  25850  itg1ge0a  25851  itg1lea  25852  itg1le  25853  itg1climres  25854  mbfi1fseqlem5  25859  mbfi1fseqlem6  25860  mbfi1flimlem  25862  mbfmullem2  25864  itg2itg1  25876  itg20  25877  itg2le  25879  itg2seq  25882  itg2uba  25883  itg2lea  25884  itg2mulclem  25886  itg2splitlem  25888  itg2split  25889  itg2monolem1  25890  itg2i1fseqle  25894  itg2i1fseq  25895  itg2addlem  25898  i1fibl  25948  itgitg1  25949  itg2addnclem  38303  itg2addnclem2  38304  itg2addnclem3  38305  itg2addnc  38306  ftc1anclem3  38327  ftc1anclem4  38328  ftc1anclem5  38329  ftc1anclem6  38330  ftc1anclem7  38331  ftc1anclem8  38332  ftc1anc  38333