Theorem i1ff 25624

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25622	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895  {csn 4577  ^◡ccnv 5620  dom cdm 5621  ran crn 5622   “ cima 5624  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  Fincfn 8879  ℝcr 11016  0cc0 11017  volcvol 25411  MblFncmbf 25562  ∫₁citg1 25563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-fv 6497  df-sum 15601  df-itg1 25568

This theorem is referenced by:  i1fima  25626  i1fima2  25627  i1f0rn  25630  itg1val2  25632  itg1cl  25633  itg1ge0  25634  i1faddlem  25641  i1fmullem  25642  i1fadd  25643  i1fmul  25644  itg1addlem4  25647  itg1addlem5  25648  i1fmulclem  25650  i1fmulc  25651  itg1mulc  25652  i1fres  25653  i1fpos  25654  i1fposd  25655  i1fsub  25656  itg1sub  25657  itg10a  25658  itg1ge0a  25659  itg1lea  25660  itg1le  25661  itg1climres  25662  mbfi1fseqlem5  25667  mbfi1fseqlem6  25668  mbfi1flimlem  25670  mbfmullem2  25672  itg2itg1  25684  itg20  25685  itg2le  25687  itg2seq  25690  itg2uba  25691  itg2lea  25692  itg2mulclem  25694  itg2splitlem  25696  itg2split  25697  itg2monolem1  25698  itg2i1fseqle  25702  itg2i1fseq  25703  itg2addlem  25706  i1fibl  25756  itgitg1  25757  itg2addnclem  37784  itg2addnclem2  37785  itg2addnclem3  37786  itg2addnc  37787  ftc1anclem3  37808  ftc1anclem4  37809  ftc1anclem5  37810  ftc1anclem6  37811  ftc1anclem7  37812  ftc1anclem8  37813  ftc1anc  37814