Theorem i1ff 25605

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25603	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899  {csn 4576  ^◡ccnv 5615  dom cdm 5616  ran crn 5617   “ cima 5619  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  Fincfn 8869  ℝcr 11005  0cc0 11006  volcvol 25392  MblFncmbf 25543  ∫₁citg1 25544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-sum 15594  df-itg1 25549

This theorem is referenced by:  i1fima  25607  i1fima2  25608  i1f0rn  25611  itg1val2  25613  itg1cl  25614  itg1ge0  25615  i1faddlem  25622  i1fmullem  25623  i1fadd  25624  i1fmul  25625  itg1addlem4  25628  itg1addlem5  25629  i1fmulclem  25631  i1fmulc  25632  itg1mulc  25633  i1fres  25634  i1fpos  25635  i1fposd  25636  i1fsub  25637  itg1sub  25638  itg10a  25639  itg1ge0a  25640  itg1lea  25641  itg1le  25642  itg1climres  25643  mbfi1fseqlem5  25648  mbfi1fseqlem6  25649  mbfi1flimlem  25651  mbfmullem2  25653  itg2itg1  25665  itg20  25666  itg2le  25668  itg2seq  25671  itg2uba  25672  itg2lea  25673  itg2mulclem  25675  itg2splitlem  25677  itg2split  25678  itg2monolem1  25679  itg2i1fseqle  25683  itg2i1fseq  25684  itg2addlem  25687  i1fibl  25737  itgitg1  25738  itg2addnclem  37717  itg2addnclem2  37718  itg2addnclem3  37719  itg2addnc  37720  ftc1anclem3  37741  ftc1anclem4  37742  ftc1anclem5  37743  ftc1anclem6  37744  ftc1anclem7  37745  ftc1anclem8  37746  ftc1anc  37747