Theorem i1ff 25192

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25190	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 497	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3945  {csn 4628  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Fincfn 8938  ℝcr 11108  0cc0 11109  volcvol 24979  MblFncmbf 25130  ∫₁citg1 25131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-sum 15632  df-itg1 25136

This theorem is referenced by:  i1fima  25194  i1fima2  25195  i1f0rn  25198  itg1val2  25200  itg1cl  25201  itg1ge0  25202  i1faddlem  25209  i1fmullem  25210  i1fadd  25211  i1fmul  25212  itg1addlem4  25215  itg1addlem4OLD  25216  itg1addlem5  25217  i1fmulclem  25219  i1fmulc  25220  itg1mulc  25221  i1fres  25222  i1fpos  25223  i1fposd  25224  i1fsub  25225  itg1sub  25226  itg10a  25227  itg1ge0a  25228  itg1lea  25229  itg1le  25230  itg1climres  25231  mbfi1fseqlem5  25236  mbfi1fseqlem6  25237  mbfi1flimlem  25239  mbfmullem2  25241  itg2itg1  25253  itg20  25254  itg2le  25256  itg2seq  25259  itg2uba  25260  itg2lea  25261  itg2mulclem  25263  itg2splitlem  25265  itg2split  25266  itg2monolem1  25267  itg2i1fseqle  25271  itg2i1fseq  25272  itg2addlem  25275  i1fibl  25324  itgitg1  25325  itg2addnclem  36534  itg2addnclem2  36535  itg2addnclem3  36536  itg2addnc  36537  ftc1anclem3  36558  ftc1anclem4  36559  ftc1anclem5  36560  ftc1anclem6  36561  ftc1anclem7  36562  ftc1anclem8  36563  ftc1anc  36564