MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  i1ff Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem i1ff 24192
Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
i1ff (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff
StepHypRef Expression
1 isi1f 24190 . . 3 (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
21simprbi 497 . 2 (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
32simp1d 1136 1 (𝐹 ∈ dom ∫1𝐹:ℝ⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081  wcel 2107  cdif 3937  {csn 4564  ccnv 5553  dom cdm 5554  ran crn 5555  cima 5557  wf 6348  cfv 6352  Fincfn 8498  cr 10525  0cc0 10526  volcvol 23979  MblFncmbf 24130  1citg1 24131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pr 5326
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ral 3148  df-rex 3149  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-fv 6360  df-sum 15033  df-itg1 24136
This theorem is referenced by:  i1fima  24194  i1fima2  24195  i1f0rn  24198  itg1val2  24200  itg1cl  24201  itg1ge0  24202  i1faddlem  24209  i1fmullem  24210  i1fadd  24211  i1fmul  24212  itg1addlem4  24215  itg1addlem5  24216  i1fmulclem  24218  i1fmulc  24219  itg1mulc  24220  i1fres  24221  i1fpos  24222  i1fposd  24223  i1fsub  24224  itg1sub  24225  itg10a  24226  itg1ge0a  24227  itg1lea  24228  itg1le  24229  itg1climres  24230  mbfi1fseqlem5  24235  mbfi1fseqlem6  24236  mbfi1flimlem  24238  mbfmullem2  24240  itg2itg1  24252  itg20  24253  itg2le  24255  itg2seq  24258  itg2uba  24259  itg2lea  24260  itg2mulclem  24262  itg2splitlem  24264  itg2split  24265  itg2monolem1  24266  itg2i1fseqle  24270  itg2i1fseq  24271  itg2addlem  24274  i1fibl  24323  itgitg1  24324  itg2addnclem  34810  itg2addnclem2  34811  itg2addnclem3  34812  itg2addnc  34813  ftc1anclem3  34836  ftc1anclem4  34837  ftc1anclem5  34838  ftc1anclem6  34839  ftc1anclem7  34840  ftc1anclem8  34841  ftc1anc  34842
  Copyright terms: Public domain W3C validator