Theorem i1ff 25904

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25902	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1160	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ^◡ccnv 5654  dom cdm 5655  ran crn 5656   “ cima 5658  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  Fincfn 8952  ℝcr 11123  0cc0 11124  volcvol 25691  MblFncmbf 25842  ∫₁citg1 25843

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-sum 15774  df-itg1 25848

This theorem is used by:  i1fima  25906  i1fima2  25907  i1f0rn  25910  itg1val2  25912  itg1cl  25913  itg1ge0  25914  i1faddlem  25921  i1fmullem  25922  i1fadd  25923  i1fmul  25924  itg1addlem4  25927  itg1addlem5  25928  i1fmulclem  25930  i1fmulc  25931  itg1mulc  25932  i1fres  25933  i1fpos  25934  i1fposd  25935  i1fsub  25936  itg1sub  25937  itg10a  25938  itg1ge0a  25939  itg1lea  25940  itg1le  25941  itg1climres  25942  mbfi1fseqlem5  25947  mbfi1fseqlem6  25948  mbfi1flimlem  25950  mbfmullem2  25952  itg2itg1  25964  itg20  25965  itg2le  25967  itg2seq  25970  itg2uba  25971  itg2lea  25972  itg2mulclem  25974  itg2splitlem  25976  itg2split  25977  itg2monolem1  25978  itg2i1fseqle  25982  itg2i1fseq  25983  itg2addlem  25986  i1fibl  26035  itgitg1  26036  itg2addnclem  38420  itg2addnclem2  38421  itg2addnclem3  38422  itg2addnc  38423  ftc1anclem3  38444  ftc1anclem4  38445  ftc1anclem5  38446  ftc1anclem6  38447  ftc1anclem7  38448  ftc1anclem8  38449  ftc1anc  38450