Theorem i1ff 24280

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 24278	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 500	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1139	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3878  {csn 4525  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519  ran crn 5520   “ cima 5522  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  Fincfn 8492  ℝcr 10525  0cc0 10526  volcvol 24067  MblFncmbf 24218  ∫₁citg1 24219

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-sum 15035  df-itg1 24224

This theorem is referenced by:  i1fima  24282  i1fima2  24283  i1f0rn  24286  itg1val2  24288  itg1cl  24289  itg1ge0  24290  i1faddlem  24297  i1fmullem  24298  i1fadd  24299  i1fmul  24300  itg1addlem4  24303  itg1addlem5  24304  i1fmulclem  24306  i1fmulc  24307  itg1mulc  24308  i1fres  24309  i1fpos  24310  i1fposd  24311  i1fsub  24312  itg1sub  24313  itg10a  24314  itg1ge0a  24315  itg1lea  24316  itg1le  24317  itg1climres  24318  mbfi1fseqlem5  24323  mbfi1fseqlem6  24324  mbfi1flimlem  24326  mbfmullem2  24328  itg2itg1  24340  itg20  24341  itg2le  24343  itg2seq  24346  itg2uba  24347  itg2lea  24348  itg2mulclem  24350  itg2splitlem  24352  itg2split  24353  itg2monolem1  24354  itg2i1fseqle  24358  itg2i1fseq  24359  itg2addlem  24362  i1fibl  24411  itgitg1  24412  itg2addnclem  35108  itg2addnclem2  35109  itg2addnclem3  35110  itg2addnc  35111  ftc1anclem3  35132  ftc1anclem4  35133  ftc1anclem5  35134  ftc1anclem6  35135  ftc1anclem7  35136  ftc1anclem8  35137  ftc1anc  35138