Theorem i1ff 25661

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25659	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 498	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1148	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119   ∖ cdif 3880  {csn 4555  ^◡ccnv 5617  dom cdm 5618  ran crn 5619   “ cima 5621  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  Fincfn 8883  ℝcr 11028  0cc0 11029  volcvol 25448  MblFncmbf 25599  ∫₁citg1 25600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-fv 6493  df-sum 15640  df-itg1 25605

This theorem is referenced by:  i1fima  25663  i1fima2  25664  i1f0rn  25667  itg1val2  25669  itg1cl  25670  itg1ge0  25671  i1faddlem  25678  i1fmullem  25679  i1fadd  25680  i1fmul  25681  itg1addlem4  25684  itg1addlem5  25685  i1fmulclem  25687  i1fmulc  25688  itg1mulc  25689  i1fres  25690  i1fpos  25691  i1fposd  25692  i1fsub  25693  itg1sub  25694  itg10a  25695  itg1ge0a  25696  itg1lea  25697  itg1le  25698  itg1climres  25699  mbfi1fseqlem5  25704  mbfi1fseqlem6  25705  mbfi1flimlem  25707  mbfmullem2  25709  itg2itg1  25721  itg20  25722  itg2le  25724  itg2seq  25727  itg2uba  25728  itg2lea  25729  itg2mulclem  25731  itg2splitlem  25733  itg2split  25734  itg2monolem1  25735  itg2i1fseqle  25739  itg2i1fseq  25740  itg2addlem  25743  i1fibl  25793  itgitg1  25794  itg2addnclem  38038  itg2addnclem2  38039  itg2addnclem3  38040  itg2addnc  38041  ftc1anclem3  38062  ftc1anclem4  38063  ftc1anclem5  38064  ftc1anclem6  38065  ftc1anclem7  38066  ftc1anclem8  38067  ftc1anc  38068