Theorem i1ff 25633

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25631	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3898  {csn 4580  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  Fincfn 8883  ℝcr 11025  0cc0 11026  volcvol 25420  MblFncmbf 25571  ∫₁citg1 25572

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-sum 15610  df-itg1 25577

This theorem is referenced by:  i1fima  25635  i1fima2  25636  i1f0rn  25639  itg1val2  25641  itg1cl  25642  itg1ge0  25643  i1faddlem  25650  i1fmullem  25651  i1fadd  25652  i1fmul  25653  itg1addlem4  25656  itg1addlem5  25657  i1fmulclem  25659  i1fmulc  25660  itg1mulc  25661  i1fres  25662  i1fpos  25663  i1fposd  25664  i1fsub  25665  itg1sub  25666  itg10a  25667  itg1ge0a  25668  itg1lea  25669  itg1le  25670  itg1climres  25671  mbfi1fseqlem5  25676  mbfi1fseqlem6  25677  mbfi1flimlem  25679  mbfmullem2  25681  itg2itg1  25693  itg20  25694  itg2le  25696  itg2seq  25699  itg2uba  25700  itg2lea  25701  itg2mulclem  25703  itg2splitlem  25705  itg2split  25706  itg2monolem1  25707  itg2i1fseqle  25711  itg2i1fseq  25712  itg2addlem  25715  i1fibl  25765  itgitg1  25766  itg2addnclem  37872  itg2addnclem2  37873  itg2addnclem3  37874  itg2addnc  37875  ftc1anclem3  37896  ftc1anclem4  37897  ftc1anclem5  37898  ftc1anclem6  37899  ftc1anclem7  37900  ftc1anclem8  37901  ftc1anc  37902