Theorem i1ff 26003

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 26001	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1160	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   ∖ cdif 4045  {csn 4584  ^◡ccnv 5649  dom cdm 5650  ran crn 5651   “ cima 5653  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  Fincfn 8977  ℝcr 11203  0cc0 11204  volcvol 25790  MblFncmbf 25941  ∫₁citg1 25942

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-sum 15860  df-itg1 25947

This theorem is used by:  i1fima  26005  i1fima2  26006  i1f0rn  26009  itg1val2  26011  itg1cl  26012  itg1ge0  26013  i1faddlem  26020  i1fmullem  26021  i1fadd  26022  i1fmul  26023  itg1addlem4  26026  itg1addlem5  26027  i1fmulclem  26029  i1fmulc  26030  itg1mulc  26031  i1fres  26032  i1fpos  26033  i1fposd  26034  i1fsub  26035  itg1sub  26036  itg10a  26037  itg1ge0a  26038  itg1lea  26039  itg1le  26040  itg1climres  26041  mbfi1fseqlem5  26046  mbfi1fseqlem6  26047  mbfi1flimlem  26049  mbfmullem2  26051  itg2itg1  26063  itg20  26064  itg2le  26066  itg2seq  26069  itg2uba  26070  itg2lea  26071  itg2mulclem  26073  itg2splitlem  26075  itg2split  26076  itg2monolem1  26077  itg2i1fseqle  26081  itg2i1fseq  26082  itg2addlem  26085  i1fibl  26134  itgitg1  26135  itg2addnclem  38683  itg2addnclem2  38684  itg2addnclem3  38685  itg2addnc  38686  ftc1anclem3  38707  ftc1anclem4  38708  ftc1anclem5  38709  ftc1anclem6  38710  ftc1anclem7  38711  ftc1anclem8  38712  ftc1anc  38713