Theorem i1ff 25426

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25424	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1141	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945  {csn 4628  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   “ cima 5679  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Fincfn 8943  ℝcr 11113  0cc0 11114  volcvol 25213  MblFncmbf 25364  ∫₁citg1 25365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-sum 15638  df-itg1 25370

This theorem is referenced by:  i1fima  25428  i1fima2  25429  i1f0rn  25432  itg1val2  25434  itg1cl  25435  itg1ge0  25436  i1faddlem  25443  i1fmullem  25444  i1fadd  25445  i1fmul  25446  itg1addlem4  25449  itg1addlem4OLD  25450  itg1addlem5  25451  i1fmulclem  25453  i1fmulc  25454  itg1mulc  25455  i1fres  25456  i1fpos  25457  i1fposd  25458  i1fsub  25459  itg1sub  25460  itg10a  25461  itg1ge0a  25462  itg1lea  25463  itg1le  25464  itg1climres  25465  mbfi1fseqlem5  25470  mbfi1fseqlem6  25471  mbfi1flimlem  25473  mbfmullem2  25475  itg2itg1  25487  itg20  25488  itg2le  25490  itg2seq  25493  itg2uba  25494  itg2lea  25495  itg2mulclem  25497  itg2splitlem  25499  itg2split  25500  itg2monolem1  25501  itg2i1fseqle  25505  itg2i1fseq  25506  itg2addlem  25509  i1fibl  25558  itgitg1  25559  itg2addnclem  36843  itg2addnclem2  36844  itg2addnclem3  36845  itg2addnc  36846  ftc1anclem3  36867  ftc1anclem4  36868  ftc1anclem5  36869  ftc1anclem6  36870  ftc1anclem7  36871  ftc1anclem8  36872  ftc1anc  36873