Theorem i1ff 25712

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25710	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 496	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1142	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2107   ∖ cdif 3947  {csn 4625  ^◡ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685   “ cima 5687  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  Fincfn 8986  ℝcr 11155  0cc0 11156  volcvol 25499  MblFncmbf 25650  ∫₁citg1 25651

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3436  df-v 3481  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-sum 15724  df-itg1 25656

This theorem is referenced by:  i1fima  25714  i1fima2  25715  i1f0rn  25718  itg1val2  25720  itg1cl  25721  itg1ge0  25722  i1faddlem  25729  i1fmullem  25730  i1fadd  25731  i1fmul  25732  itg1addlem4  25735  itg1addlem5  25736  i1fmulclem  25738  i1fmulc  25739  itg1mulc  25740  i1fres  25741  i1fpos  25742  i1fposd  25743  i1fsub  25744  itg1sub  25745  itg10a  25746  itg1ge0a  25747  itg1lea  25748  itg1le  25749  itg1climres  25750  mbfi1fseqlem5  25755  mbfi1fseqlem6  25756  mbfi1flimlem  25758  mbfmullem2  25760  itg2itg1  25772  itg20  25773  itg2le  25775  itg2seq  25778  itg2uba  25779  itg2lea  25780  itg2mulclem  25782  itg2splitlem  25784  itg2split  25785  itg2monolem1  25786  itg2i1fseqle  25790  itg2i1fseq  25791  itg2addlem  25794  i1fibl  25844  itgitg1  25845  itg2addnclem  37679  itg2addnclem2  37680  itg2addnclem3  37681  itg2addnc  37682  ftc1anclem3  37703  ftc1anclem4  37704  ftc1anclem5  37705  ftc1anclem6  37706  ftc1anclem7  37707  ftc1anclem8  37708  ftc1anc  37709