Theorem i1ff 25990

Description: A simple function is a function on the reals. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
i1ff	⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

Proof of Theorem i1ff

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isi1f 25988	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 ↔ (𝐹 ∈ MblFn ∧ (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ)))
2	1	simprbi 503	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → (𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ran 𝐹 ∈ Fin ∧ (vol‘(◡𝐹 “ (ℝ ∖ {0}))) ∈ ℝ))
3	2	simp1d 1160	1 ⊢ (𝐹 ∈ dom ∫1 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ^◡ccnv 5650  dom cdm 5651  ran crn 5652   “ cima 5654  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  Fincfn 8966  ℝcr 11192  0cc0 11193  volcvol 25777  MblFncmbf 25928  ∫₁citg1 25929

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-sum 15847  df-itg1 25934

This theorem is used by:  i1fima  25992  i1fima2  25993  i1f0rn  25996  itg1val2  25998  itg1cl  25999  itg1ge0  26000  i1faddlem  26007  i1fmullem  26008  i1fadd  26009  i1fmul  26010  itg1addlem4  26013  itg1addlem5  26014  i1fmulclem  26016  i1fmulc  26017  itg1mulc  26018  i1fres  26019  i1fpos  26020  i1fposd  26021  i1fsub  26022  itg1sub  26023  itg10a  26024  itg1ge0a  26025  itg1lea  26026  itg1le  26027  itg1climres  26028  mbfi1fseqlem5  26033  mbfi1fseqlem6  26034  mbfi1flimlem  26036  mbfmullem2  26038  itg2itg1  26050  itg20  26051  itg2le  26053  itg2seq  26056  itg2uba  26057  itg2lea  26058  itg2mulclem  26060  itg2splitlem  26062  itg2split  26063  itg2monolem1  26064  itg2i1fseqle  26068  itg2i1fseq  26069  itg2addlem  26072  i1fibl  26121  itgitg1  26122  itg2addnclem  38569  itg2addnclem2  38570  itg2addnclem3  38571  itg2addnc  38572  ftc1anclem3  38593  ftc1anclem4  38594  ftc1anclem5  38595  ftc1anclem6  38596  ftc1anclem7  38597  ftc1anclem8  38598  ftc1anc  38599