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Theorem ftc1anclem8 36053
Description: Lemma for ftc1anc 36054. (Contributed by Brendan Leahy, 29-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1anc.g 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
ftc1anc.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ftc1anc.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ftc1anc.le (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ftc1anc.s (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
ftc1anc.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
ftc1anc.i (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1anc.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem8 (((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(if(𝑑 ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘‘), 0) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)π‘Ÿ β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑒 ≀ 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑒)) < ((𝑦 / 2) / (2 Β· sup((abs β€œ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)), ℝ, < )))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) + (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) < 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,π‘Ÿ,𝑑,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦,𝐴   𝐡,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,𝑑,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,𝑑,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,π‘Ÿ,𝑑,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑓,𝑔,π‘Ÿ,𝑑,𝑒,𝑀,π‘₯,𝑦   𝑓,𝐺,𝑔,π‘Ÿ,𝑒,𝑀,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(π‘₯,𝑑)

Proof of Theorem ftc1anclem8
StepHypRef Expression
1 ftc1anc.g . . 3 𝐺 = (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↦ ∫(𝐴(,)π‘₯)(πΉβ€˜π‘‘) d𝑑)
2 ftc1anc.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1anc.b . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4 ftc1anc.le . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
5 ftc1anc.s . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
6 ftc1anc.d . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
7 ftc1anc.i . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1anc.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„‚)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1anclem7 36052 . 2 (((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(if(𝑑 ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘‘), 0) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)π‘Ÿ β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑒 ≀ 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑒)) < ((𝑦 / 2) / (2 Β· sup((abs β€œ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)), ℝ, < )))) β†’ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)))
10 simplll 773 . . . 4 (((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(if(𝑑 ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘‘), 0) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)π‘Ÿ β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)))
11 3simpa 1148 . . . 4 ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑒 ≀ 𝑀) β†’ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡)))
12 ioossre 13253 . . . . . . . . 9 (𝑒(,)𝑀) βŠ† ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (𝑒(,)𝑀) βŠ† ℝ)
14 rembl 24826 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ dom vol
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ℝ ∈ dom vol)
16 fvex 6850 . . . . . . . . . 10 (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ V
17 c0ex 11082 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1816, 17ifex 4534 . . . . . . . . 9 if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ V)
20 eldifn 4085 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (ℝ βˆ– (𝑒(,)𝑀)) β†’ Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀))
2120adantl 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– (𝑒(,)𝑀))) β†’ Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀))
2221iffalsed 4495 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– (𝑒(,)𝑀))) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) = 0)
23 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
2423mpteq2ia 5206 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) = (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
25 resmpt 5987 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒(,)𝑀) βŠ† ℝ β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) β†Ύ (𝑒(,)𝑀)) = (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
2612, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) β†Ύ (𝑒(,)𝑀)) = (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
2724, 26eqtr4i 2768 . . . . . . . . . 10 (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) = ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) β†Ύ (𝑒(,)𝑀))
28 i1ff 24962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
2928ffvelcdmda 7029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
3029recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
31 ax-icn 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ β„‚
32 i1ff 24962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑔:β„βŸΆβ„)
3332ffvelcdmda 7029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
3433recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (π‘”β€˜π‘‘) ∈ β„‚)
35 mulcl 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ β„‚ ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
3631, 34, 35sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
37 addcl 11066 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘“β€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)) ∈ β„‚) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
3830, 36, 37syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
3938anandirs 677 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
40 reex 11075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ℝ ∈ V)
4229adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (π‘“β€˜π‘‘) ∈ ℝ)
4336adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
4428feqmptd 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑓 = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘‘)))
4544adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓 = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘‘)))
4640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
4731a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ i ∈ β„‚)
48 fconstmpt 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ Γ— {i}) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ i)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {i}) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ i))
5032feqmptd 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ 𝑔 = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (π‘”β€˜π‘‘)))
5146, 47, 33, 49, 50offval2 7627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
5251adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))
5341, 42, 43, 45, 52offval2 7627 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
54 absf 15156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:β„‚βŸΆβ„
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
5655feqmptd 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘₯)))
57 fveq2 6837 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
5839, 53, 56, 57fmptco 7069 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
59 ftc1anclem3 36048 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) ∈ dom ∫1)
6058, 59eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ dom ∫1)
61 i1fmbf 24961 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ dom ∫1 β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ MblFn)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ MblFn)
63 ioombl 24851 . . . . . . . . . . 11 (𝑒(,)𝑀) ∈ dom vol
64 mbfres 24930 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ MblFn ∧ (𝑒(,)𝑀) ∈ dom vol) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) β†Ύ (𝑒(,)𝑀)) ∈ MblFn)
6562, 63, 64sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) β†Ύ (𝑒(,)𝑀)) ∈ MblFn)
6627, 65eqeltrid 2842 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∈ MblFn)
6766adantl 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∈ MblFn)
6813, 15, 19, 22, 67mbfss 24932 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∈ MblFn)
6968adantr 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∈ MblFn)
7039abscld 15255 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ ℝ)
7139absge0d 15263 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
72 elrege0 13299 . . . . . . . . . 10 ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
7370, 71, 72sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ (0[,)+∞))
74 0e0icopnf 13303 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,)+∞)
75 ifcl 4529 . . . . . . . . 9 (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ (0[,)+∞) ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
7673, 74, 75sylancl 586 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
7776fmpttd 7057 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7877ad2antlr 725 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7970rexrd 11138 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ ℝ*)
80 elxrge0 13302 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
8179, 71, 80sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ (0[,]+∞))
82 0e0iccpnf 13304 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
83 ifcl 4529 . . . . . . . . . 10 (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8481, 82, 83sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8584fmpttd 7057 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
8685ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
87 ifcl 4529 . . . . . . . . . . 11 (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8881, 82, 87sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8988fmpttd 7057 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
90 ffn 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ 𝑓 Fn ℝ)
91 frn 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ ran 𝑓 βŠ† ℝ)
92 ax-resscn 11041 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ βŠ† β„‚
9391, 92sstrdi 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ ran 𝑓 βŠ† β„‚)
94 ffn 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
9554, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs Fn β„‚
96 fnco 6613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs Fn β„‚ ∧ 𝑓 Fn ℝ ∧ ran 𝑓 βŠ† β„‚) β†’ (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
9795, 96mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 Fn ℝ ∧ ran 𝑓 βŠ† β„‚) β†’ (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
9890, 93, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:β„βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
9928, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
10099adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
101 ffn 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:β„βŸΆβ„ β†’ 𝑔 Fn ℝ)
102 frn 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔:β„βŸΆβ„ β†’ ran 𝑔 βŠ† ℝ)
103102, 92sstrdi 3954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:β„βŸΆβ„ β†’ ran 𝑔 βŠ† β„‚)
104 fnco 6613 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs Fn β„‚ ∧ 𝑔 Fn ℝ ∧ ran 𝑔 βŠ† β„‚) β†’ (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
10595, 104mp3an1 1448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 Fn ℝ ∧ ran 𝑔 βŠ† β„‚) β†’ (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
106101, 103, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔:β„βŸΆβ„ β†’ (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
10732, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
108107adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
109 inidm 4176 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
11028adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑓:β„βŸΆβ„)
111 fvco3 6935 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((abs ∘ 𝑓)β€˜π‘‘) = (absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)))
112110, 111sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((abs ∘ 𝑓)β€˜π‘‘) = (absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)))
11332adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 𝑔:β„βŸΆβ„)
114 fvco3 6935 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((abs ∘ 𝑔)β€˜π‘‘) = (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))
115113, 114sylan 580 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((abs ∘ 𝑔)β€˜π‘‘) = (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))
116100, 108, 41, 41, 109, 112, 115offval 7616 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ((abs ∘ 𝑓) ∘f + (abs ∘ 𝑔)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))))
11730addid1d 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + 0) = (π‘“β€˜π‘‘))
118117mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (π‘“β€˜π‘‘)))
11940a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ℝ ∈ V)
12017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ V)
12131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ i ∈ β„‚)
12248a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {i}) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ i))
123 fconstmpt 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ Γ— {0}) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ 0)
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ Γ— {0}) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ 0))
125119, 121, 120, 122, 124offval2 7627 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· (ℝ Γ— {0})) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (i Β· 0)))
126 it0e0 12308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i Β· 0) = 0
127126mpteq2i 5208 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ ℝ ↦ (i Β· 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ 0)
128125, 127eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· (ℝ Γ— {0})) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ 0))
129119, 29, 120, 44, 128offval2 7627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· (ℝ Γ— {0}))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + 0)))
130118, 129, 443eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· (ℝ Γ— {0}))) = 𝑓)
131130coeq2d 5814 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· (ℝ Γ— {0})))) = (abs ∘ 𝑓))
132 i1f0 24973 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1
133 ftc1anclem3 36048 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ Γ— {0}) ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· (ℝ Γ— {0})))) ∈ dom ∫1)
134132, 133mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· (ℝ Γ— {0})))) ∈ dom ∫1)
135131, 134eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ dom ∫1 β†’ (abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1)
136135adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1)
137 coeq2 5810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 β†’ (abs ∘ 𝑓) = (abs ∘ 𝑔))
138137eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 β†’ ((abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1 ↔ (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1))
139138, 135vtoclga 3532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ dom ∫1 β†’ (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1)
140139adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1)
141136, 140i1fadd 24981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ((abs ∘ 𝑓) ∘f + (abs ∘ 𝑔)) ∈ dom ∫1)
142116, 141eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ dom ∫1)
14330abscld 15255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
14430absge0d 15263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)))
145 elrege0 13299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘))))
146143, 144, 145sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) ∈ (0[,)+∞))
14734abscld 15255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
14834absge0d 15263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))
149 elrege0 13299 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))
150147, 148, 149sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)) ∈ (0[,)+∞))
151 ge0addcl 13305 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) ∈ (0[,)+∞) ∧ (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)) ∈ (0[,)+∞)) β†’ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))) ∈ (0[,)+∞))
152146, 150, 151syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))) ∈ (0[,)+∞))
153152anandirs 677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))) ∈ (0[,)+∞))
154153fmpttd 7057 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,)+∞))
155 0plef 24958 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))):β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))))
156154, 155sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))):β„βŸΆβ„ ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))))
157156simprd 496 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ 0𝑝 ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))))
158 itg2itg1 25023 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))) = (∫1β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))))
159 itg1cl 24971 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
160159adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))) β†’ (∫1β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
161158, 160eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝 ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
162142, 157, 161syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
163 icossicc 13281 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
164 fss 6680 . . . . . . . . . . 11 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,]+∞))
165154, 163, 164sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,]+∞))
166 0re 11090 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
167 ifcl 4529 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ ℝ)
16870, 166, 167sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ ℝ)
169 readdcl 11067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)) ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
170143, 147, 169syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) β†’ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
171170anandirs 677 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
17270leidd 11654 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
173 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ↔ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
174 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) β†’ (0 ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ↔ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
175173, 174ifboth 4523 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∧ 0 ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
176172, 71, 175syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
177 abstri 15149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘“β€˜π‘‘) ∈ β„‚ ∧ (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
17830, 36, 177syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
179178anandirs 677 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
180 absmul 15113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ β„‚ ∧ (π‘”β€˜π‘‘) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))
18131, 34, 180sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))
182 absi 15105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (absβ€˜i) = 1
183182oveq1i 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))) = (1 Β· (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))
184181, 183eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (1 Β· (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))
185147recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
186185mulid2d 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (1 Β· (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))) = (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))
187184, 186eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))
188187adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜(i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) = (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))
189188oveq2d 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) = ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))
190179, 189breqtrd 5129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))
191168, 70, 171, 176, 190letrd 11245 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))
192191ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))
193 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
194 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))))
19541, 168, 171, 193, 194ofrfval2 7628 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))))
196192, 195mpbird 256 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))))
197 itg2le 25026 . . . . . . . . . 10 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))))
19889, 165, 196, 197syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))))
199 itg2lecl 25025 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ ((absβ€˜(π‘“β€˜π‘‘)) + (absβ€˜(π‘”β€˜π‘‘)))))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ∈ ℝ)
20089, 162, 198, 199syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ∈ ℝ)
201200ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ∈ ℝ)
20289ad2antlr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
203 breq1 5106 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) = if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ↔ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
204 breq1 5106 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) β†’ (0 ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ↔ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
205 elioore 13222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
206205, 172sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
207206adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
208207adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
2092rexrd 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
2103rexrd 11138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
211209, 210jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*))
212 df-icc 13199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 [,] = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑑 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑑 ∧ 𝑑 ≀ 𝑦)})
213212elixx3g 13205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑒 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≀ 𝑒 ∧ 𝑒 ≀ 𝐡)))
214213simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (𝐴 ≀ 𝑒 ∧ 𝑒 ≀ 𝐡))
215214simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ 𝐴 ≀ 𝑒)
216212elixx3g 13205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝐡)))
217216simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ (𝐴 ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ 𝐡))
218217simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) β†’ 𝑀 ≀ 𝐡)
219215, 218anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴 ≀ 𝑒 ∧ 𝑀 ≀ 𝐡))
220 ioossioo 13286 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴 ≀ 𝑒 ∧ 𝑀 ≀ 𝐡)) β†’ (𝑒(,)𝑀) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
221211, 219, 220syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑒(,)𝑀) βŠ† (𝐴(,)𝐡))
2225adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝐴(,)𝐡) βŠ† 𝐷)
223221, 222sstrd 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑒(,)𝑀) βŠ† 𝐷)
224223sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
225 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
227226adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) = (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
228208, 227breqtrrd 5131 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))
229 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) β†’ (0 ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ↔ 0 ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
230 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) β†’ (0 ≀ 0 ↔ 0 ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
2316sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
232231adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
23371adantll 712 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
234232, 233syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
235 0le0 12187 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ 0
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 0 ≀ 0)
237229, 230, 234, 236ifbothda 4522 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ 0 ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))
238237ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ 0 ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))
239203, 204, 228, 238ifbothda 4522 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))
240239ralrimivw 3145 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))
24140a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
24218a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ V)
24316, 17ifex 4534 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ V
244243a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ V)
245 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
246 eqidd 2738 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
247241, 242, 244, 245, 246ofrfval2 7628 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
248247ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
249240, 248mpbird 256 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
250 itg2le 25026 . . . . . . . 8 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘r ≀ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))))
25186, 202, 249, 250syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))))
252 itg2lecl 25025 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ∈ ℝ)
25386, 201, 251, 252syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ∈ ℝ)
2548ffvelcdmda 7029 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
255254adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
256224, 255syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
257256adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
258205, 39sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
259258adantll 712 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
260259adantlr 713 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
261257, 260subcld 11445 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ β„‚)
262261abscld 15255 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
263261absge0d 15263 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
264 elrege0 13299 . . . . . . . . . 10 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))))
265262, 263, 264sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ (0[,)+∞))
26674a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
267265, 266ifclda 4519 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ∈ (0[,)+∞))
268267adantr 481 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ∈ (0[,)+∞))
269268fmpttd 7057 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
270262rexrd 11138 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ*)
271 elxrge0 13302 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))))
272270, 263, 271sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ (0[,]+∞))
27382a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
274272, 273ifclda 4519 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ∈ (0[,]+∞))
275274adantr 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ∈ (0[,]+∞))
276275fmpttd 7057 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
277 recncf 24187 . . . . . . . . . . . . 13 β„œ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
278 prid1g 4719 . . . . . . . . . . . . 13 (β„œ ∈ (ℂ–cn→ℝ) β†’ β„œ ∈ {β„œ, β„‘})
279277, 278ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 β„œ ∈ {β„œ, β„‘}
280 ftc1anclem2 36047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π·βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ β„œ ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
281279, 280mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π·βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
2828, 7, 281syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
283 imcncf 24188 . . . . . . . . . . . . 13 β„‘ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
284 prid2g 4720 . . . . . . . . . . . . 13 (β„‘ ∈ (ℂ–cn→ℝ) β†’ β„‘ ∈ {β„œ, β„‘})
285283, 284ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 β„‘ ∈ {β„œ, β„‘}
286 ftc1anclem2 36047 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:π·βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ β„‘ ∈ {β„œ, β„‘}) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
287285, 286mp3an3 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:π·βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
2888, 7, 287syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
289282, 288readdcld 11117 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))) ∈ ℝ)
290289ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))) ∈ ℝ)
291201, 290readdcld 11117 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))) ∈ ℝ)
292 ge0addcl 13305 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
293292adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
294 ifcl 4529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ (0[,)+∞) ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
29573, 74, 294sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
296295fmpttd 7057 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
297296adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
298292adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
299254recld 15012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
300299recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
301300abscld 15255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
302300absge0d 15263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
303 elrege0 13299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
304301, 302, 303sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ (0[,)+∞))
30574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
306304, 305ifclda 4519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) ∈ (0[,)+∞))
307306adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) ∈ (0[,)+∞))
308307fmpttd 7057 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
309254imcld 15013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
310309recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
311310abscld 15255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
312310absge0d 15263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
313 elrege0 13299 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
314311, 312, 313sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ (0[,)+∞))
315314, 305ifclda 4519 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) ∈ (0[,)+∞))
316315adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) ∈ (0[,)+∞))
317316fmpttd 7057 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
318298, 308, 317, 241, 241, 109off 7625 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))):β„βŸΆ(0[,)+∞))
319318adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))):β„βŸΆ(0[,)+∞))
32040a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ℝ ∈ V)
321293, 297, 319, 320, 320, 109off 7625 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))):β„βŸΆ(0[,)+∞))
322 fss 6680 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))):β„βŸΆ(0[,]+∞))
323321, 163, 322sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))):β„βŸΆ(0[,]+∞))
324323adantr 481 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))):β„βŸΆ(0[,]+∞))
325 0xr 11135 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
326325a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ 0 ∈ ℝ*)
327270, 326ifclda 4519 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ∈ ℝ*)
328254adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
32939adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
330232, 329syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
331328, 330subcld 11445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ β„‚)
332331abscld 15255 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
333332rexrd 11138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ ℝ*)
334325a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ ℝ*)
335333, 334ifclda 4519 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ∈ ℝ*)
336335adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ∈ ℝ*)
337330abscld 15255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ ℝ)
338 0red 11091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ ℝ)
339337, 338ifclda 4519 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ ℝ)
340 0red 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ ℝ)
341301, 340ifclda 4519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) ∈ ℝ)
342311, 340ifclda 4519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) ∈ ℝ)
343341, 342readdcld 11117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∈ ℝ)
344343adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∈ ℝ)
345339, 344readdcld 11117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ)
346345rexrd 11138 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ*)
347346adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ ℝ*)
348 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . 13 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) = if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ↔ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))
349 breq1 5106 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) β†’ (0 ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ↔ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))
350224adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ 𝑑 ∈ 𝐷)
351332leidd 11654 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
352351adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
353 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
354353adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
355352, 354breqtrrd 5131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))
356350, 355syldan 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))
357 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) β†’ (0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ↔ 0 ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))
358 breq2 5107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) β†’ (0 ≀ 0 ↔ 0 ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))
359331absge0d 15263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
360357, 358, 359, 236ifbothda 4522 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ 0 ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))
361360ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ 0 ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))
362348, 349, 356, 361ifbothda 4522 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))
363254negcld 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ -(πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
364363adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ -(πΉβ€˜π‘‘) ∈ β„‚)
365330, 364addcld 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) + -(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚)
366365abscld 15255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) + -(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
367363abscld 15255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
368367adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ ℝ)
369337, 368readdcld 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
370301, 311readdcld 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ ℝ)
371370adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) ∈ ℝ)
372337, 371readdcld 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))) ∈ ℝ)
373330, 364abstrid 15275 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) + -(πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘‘))))
374 mulcl 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚) β†’ (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
37531, 310, 374sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
376300, 375abstrid 15275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) + (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
377254absnegd 15268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘‘)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
378254replimd 15015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘‘) = ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) + (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
379378fveq2d 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) = (absβ€˜((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) + (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
380377, 379eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘‘)) = (absβ€˜((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)) + (i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
381 absmul 15113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((i ∈ β„‚ ∧ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
38231, 310, 381sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
383182oveq1i 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((absβ€˜i) Β· (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
384382, 383eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
385311recnd 11116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ β„‚)
386385mulid2d 11106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (1 Β· (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
387384, 386eqtr2d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
388387oveq2d 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))) = ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(i Β· (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
389376, 380, 3883brtr4d 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
390389adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘‘)) ≀ ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
391368, 371, 337, 390leadd2dd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜-(πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
392366, 369, 372, 373, 391letrd 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) + -(πΉβ€˜π‘‘))) ≀ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
393328, 330abssubd 15272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) = (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))
394353adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
395330, 328negsubd 11451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) + -(πΉβ€˜π‘‘)) = (((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘)))
396395fveq2d 6841 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) + -(πΉβ€˜π‘‘))) = (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) βˆ’ (πΉβ€˜π‘‘))))
397393, 394, 3963eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) = (absβ€˜(((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))) + -(πΉβ€˜π‘‘))))
398 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))), 0) = ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
399398adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))), 0) = ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
400392, 397, 3993brtr4d 5135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))), 0))
401400ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))), 0)))
402235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷 β†’ 0 ≀ 0)
403 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) = 0)
404 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))), 0) = 0)
405402, 403, 4043brtr4d 5135 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))), 0))
406401, 405pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ if(𝑑 ∈ 𝐷, ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))), 0))
407 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) = (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
408 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))
409407, 408oveq12d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) = ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘)))))
410225, 409oveq12d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))))
411410, 398eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = if(𝑑 ∈ 𝐷, ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))), 0))
412 00id 11263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 0) = 0
413412oveq2i 7360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + (0 + 0)) = (0 + 0)
414413, 412eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + (0 + 0)) = 0
415 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) = 0)
416 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) = 0)
417 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) = 0)
418416, 417oveq12d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷 β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) = (0 + 0))
419415, 418oveq12d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷 β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (0 + (0 + 0)))
420414, 419, 4043eqtr4a 2803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷 β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = if(𝑑 ∈ 𝐷, ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))), 0))
421411, 420pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = if(𝑑 ∈ 𝐷, ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + ((absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) + (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))))), 0)
422406, 421breqtrrdi 5145 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
423422adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
424327, 336, 347, 362, 423xrletrd 13009 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
425424ralrimivw 3145 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
426 fvex 6850 . . . . . . . . . . . . . 14 (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ V
427426, 17ifex 4534 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ∈ V
428427a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ∈ V)
429 ovexd 7384 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) ∈ V)
430 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))
431 ovexd 7384 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∈ V)
432341adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) ∈ ℝ)
433342adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) ∈ ℝ)
434 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))
435 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))
436241, 432, 433, 434, 435offval2 7627 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))
437241, 244, 431, 246, 436offval2 7627 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))))
438241, 428, 429, 430, 437ofrfval2 7628 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) ∘r ≀ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))))
439438ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) ∘r ≀ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ ℝ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) ≀ (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + (if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0) + if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))))
440425, 439mpbird 256 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) ∘r ≀ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))))
441 itg2le 25026 . . . . . . . . 9 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) ∘r ≀ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) ≀ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))))
442276, 324, 440, 441syl3anc 1371 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) ≀ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))))
4436adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ 𝐷 βŠ† ℝ)
444243a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) ∈ V)
445 eldifn 4085 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ (ℝ βˆ– 𝐷) β†’ Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷)
446445iffalsed 4495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (ℝ βˆ– 𝐷) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) = 0)
447446adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– 𝐷)) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) = 0)
448 ovexd 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)) ∈ V)
44941, 42, 448, 45, 52offval2 7627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
45039, 449, 56, 57fmptco 7069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
451450reseq1d 5932 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ ((abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) β†Ύ 𝐷) = ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) β†Ύ 𝐷))
4526resmptd 5990 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) β†Ύ 𝐷) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
453451, 452sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ((abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) β†Ύ 𝐷) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
454225mpteq2ia 5206 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))
455453, 454eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ((abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) β†Ύ 𝐷) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)))
456 i1fmbf 24961 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) ∈ dom ∫1 β†’ (abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) ∈ MblFn)
45759, 456syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) β†’ (abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) ∈ MblFn)
4588fdmd 6674 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐷)
459 iblmbf 25054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝐿1 β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
460 mbfdm 24912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
4617, 459, 4603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
462458, 461eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ dom vol)
463 mbfres 24930 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) ∈ MblFn ∧ 𝐷 ∈ dom vol) β†’ ((abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) β†Ύ 𝐷) ∈ MblFn)
464457, 462, 463syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ((abs ∘ (𝑓 ∘f + ((ℝ Γ— {i}) ∘f Β· 𝑔))) β†Ύ 𝐷) ∈ MblFn)
465455, 464eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∈ MblFn)
466443, 15, 444, 447, 465mbfss 24932 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∈ MblFn)
467200adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) ∈ ℝ)
468 0cnd 11081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ 0 ∈ β„‚)
469300, 468ifclda 4519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0) ∈ β„‚)
470469adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0) ∈ β„‚)
471 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)))
47254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
473472feqmptd 6905 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ abs = (π‘₯ ∈ β„‚ ↦ (absβ€˜π‘₯)))
474 fveq2 6837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0) β†’ (absβ€˜π‘₯) = (absβ€˜if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)))
475 fvif 6853 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (absβ€˜if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)) = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), (absβ€˜0))
476 abs0 15104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (absβ€˜0) = 0
477 ifeq2 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((absβ€˜0) = 0 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), (absβ€˜0)) = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))
478476, 477ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), (absβ€˜0)) = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)
479475, 478eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (absβ€˜if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)) = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)
480474, 479eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0) β†’ (absβ€˜π‘₯) = if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))
481470, 471, 473, 480fmptco 7069 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))
482299, 340ifclda 4519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0) ∈ ℝ)
483482adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0) ∈ ℝ)
484483fmpttd 7057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)):β„βŸΆβ„)
48514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ dom vol)
486482adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝐷) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0) ∈ ℝ)
487445adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– 𝐷)) β†’ Β¬ 𝑑 ∈ 𝐷)
488487iffalsed 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (ℝ βˆ– 𝐷)) β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0) = 0)
489 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑑 ∈ 𝐷 β†’ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0) = (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
490489mpteq2ia 5206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)) = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)))
4918feqmptd 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)))
4927, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
493491, 492eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn)
494254ismbfcn2 24924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘‘)) ∈ MblFn ↔ ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)))
495493, 494mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn ∧ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn))
496495simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))) ∈ MblFn)
497490, 496eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)) ∈ MblFn)
4986, 485, 486, 488, 497mbfss 24932 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)) ∈ MblFn)
499 ftc1anclem1 36046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)):β„βŸΆβ„ ∧ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0)) ∈ MblFn) β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0))) ∈ MblFn)
500484, 498, 499syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (abs ∘ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘)), 0))) ∈ MblFn)
501481, 500eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∈ MblFn)
502501, 308, 282, 317, 288itg2addnc 36027 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))) = ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))))
503502, 289eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))) ∈ ℝ)
504503adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))) ∈ ℝ)
505466, 297, 467, 319, 504itg2addnc 36027 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))) = ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))))
506502adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))) = ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))))
507506oveq2d 7365 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))) = ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))))
508505, 507eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))) = ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))))
509508adantr 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))) = ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))))
510442, 509breqtrd 5129 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) ≀ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))))
511 itg2lecl 25025 . . . . . . 7 (((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) ≀ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ 𝐷, (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘‘))), 0)))))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) ∈ ℝ)
512276, 291, 510, 511syl3anc 1371 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) ∈ ℝ)
51369, 78, 253, 269, 512itg2addnc 36027 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))) = ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))))
514241, 242, 428, 245, 430offval2 7627 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ (if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))))
515 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . 11 (((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))) = if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))), 0) β†’ ((if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))) ↔ (if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))), 0)))
516 eqeq2 2749 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))), 0) β†’ ((if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = 0 ↔ (if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))), 0)))
517 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
51823, 517oveq12d 7367 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) β†’ (if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))))
519518adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))))
520 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) = 0)
521 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0) = 0)
522520, 521oveq12d 7367 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) β†’ (if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = (0 + 0))
523522, 412eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀) β†’ (if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = 0)
524523adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ Β¬ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = 0)
525515, 516, 519, 524ifbothda 4522 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)) = if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))), 0))
526525mpteq2dv 5205 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ (if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0) + if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))), 0)))
527514, 526eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))), 0)))
528527ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))), 0)))
529 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1))
530258abscld 15255 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ ℝ)
531530recnd 11116 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ β„‚)
532529, 531sylan 580 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) ∈ β„‚)
533262recnd 11116 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) ∈ β„‚)
534532, 533addcomd 11290 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) ∧ 𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀)) β†’ ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))) = ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) + (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))
535534ifeq1da 4515 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))), 0) = if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) + (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))
536535mpteq2dv 5205 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))))), 0)) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) + (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))
537528, 536eqtrd 2777 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) = (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) + (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))
538537fveq2d 6841 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ (∫2β€˜((𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0)) ∘f + (𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) + (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))))
539513, 538eqtr3d 2779 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡))) β†’ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) + (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))))
54010, 11, 539syl2an 596 . . 3 ((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(if(𝑑 ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘‘), 0) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)π‘Ÿ β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑒 ≀ 𝑀)) β†’ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) + (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))))
541540adantr 481 . 2 (((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(if(𝑑 ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘‘), 0) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)π‘Ÿ β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑒 ≀ 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑒)) < ((𝑦 / 2) / (2 Β· sup((abs β€œ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)), ℝ, < )))) β†’ ((∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘)))), 0))) + (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0)))) = (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) + (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))))
542 rpcn 12853 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
5435422halvesd 12332 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
544543ad3antlr 729 . 2 (((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(if(𝑑 ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘‘), 0) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)π‘Ÿ β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑒 ≀ 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑒)) < ((𝑦 / 2) / (2 Β· sup((abs β€œ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)), ℝ, < )))) β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
5459, 541, 5443brtr3d 5134 1 (((((((πœ‘ ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ 𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ (absβ€˜(if(𝑑 ∈ 𝐷, (πΉβ€˜π‘‘), 0) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)π‘Ÿ β‰  0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑒 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑀 ∈ (𝐴[,]𝐡) ∧ 𝑒 ≀ 𝑀)) ∧ (absβ€˜(𝑀 βˆ’ 𝑒)) < ((𝑦 / 2) / (2 Β· sup((abs β€œ (ran 𝑓 βˆͺ ran 𝑔)), ℝ, < )))) β†’ (∫2β€˜(𝑑 ∈ ℝ ↦ if(𝑑 ∈ (𝑒(,)𝑀), ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘‘) βˆ’ ((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))) + (absβ€˜((π‘“β€˜π‘‘) + (i Β· (π‘”β€˜π‘‘))))), 0))) < 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3443   βˆ– cdif 3905   βˆͺ cun 3906   βŠ† wss 3908  ifcif 4484  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   Γ— cxp 5628  dom cdm 5630  ran crn 5631   β†Ύ cres 5632   β€œ cima 5633   ∘ ccom 5634   Fn wfn 6486  βŸΆwf 6487  β€˜cfv 6491  (class class class)co 7349   ∘f cof 7605   ∘r cofr 7606  supcsup 9309  β„‚cc 10982  β„cr 10983  0cc0 10984  1c1 10985  ici 10986   + caddc 10987   Β· cmul 10989  +∞cpnf 11119  β„*cxr 11121   < clt 11122   ≀ cle 11123   βˆ’ cmin 11318  -cneg 11319   / cdiv 11745  2c2 12141  β„+crp 12843  (,)cioo 13192  [,)cico 13194  [,]cicc 13195  β„œcre 14915  β„‘cim 14916  abscabs 15052  β€“cnβ†’ccncf 24161  volcvol 24749  MblFncmbf 24900  βˆ«1citg1 24901  βˆ«2citg2 24902  πΏ1cibl 24903  βˆ«citg 24904  0𝑝c0p 24955
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062  ax-addf 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-disj 5069  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7607  df-ofr 7608  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-er 8581  df-map 8700  df-pm 8701  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-fi 9280  df-sup 9311  df-inf 9312  df-oi 9379  df-dju 9770  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-q 12802  df-rp 12844  df-xneg 12961  df-xadd 12962  df-xmul 12963  df-ioo 13196  df-ico 13198  df-icc 13199  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-fl 13625  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-rlim 15305  df-sum 15505  df-rest 17238  df-topgen 17259  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-top 22165  df-topon 22182  df-bases 22218  df-cmp 22660  df-cncf 24163  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-ibl 24908  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  ftc1anc  36054
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