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Theorem ftc1anclem8 33804
Description: Lemma for ftc1anc 33805. (Contributed by Brendan Leahy, 29-May-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ftc1anc.g 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
ftc1anc.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ftc1anc.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ftc1anc.le (𝜑𝐴𝐵)
ftc1anc.s (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
ftc1anc.d (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
ftc1anc.i (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
ftc1anc.f (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
Assertion
Ref Expression
ftc1anclem8 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) < 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦,𝐴   𝐵,𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝐷,𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝑓,𝐹,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝜑,𝑓,𝑔,𝑟,𝑡,𝑢,𝑤,𝑥,𝑦   𝑓,𝐺,𝑔,𝑟,𝑢,𝑤,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑡)

Proof of Theorem ftc1anclem8
StepHypRef Expression
1 ftc1anc.g . . 3 𝐺 = (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↦ ∫(𝐴(,)𝑥)(𝐹𝑡) d𝑡)
2 ftc1anc.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
3 ftc1anc.b . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
4 ftc1anc.le . . 3 (𝜑𝐴𝐵)
5 ftc1anc.s . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
6 ftc1anc.d . . 3 (𝜑𝐷 ⊆ ℝ)
7 ftc1anc.i . . 3 (𝜑𝐹 ∈ 𝐿1)
8 ftc1anc.f . . 3 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℂ)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8ftc1anclem7 33803 . 2 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) < ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)))
10 simplll 782 . . . 4 (((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)))
11 3simpa 1171 . . . 4 ((𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤) → (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)))
12 ioossre 12453 . . . . . . . . 9 (𝑢(,)𝑤) ⊆ ℝ
1312a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ ℝ)
14 rembl 23521 . . . . . . . . 9 ℝ ∈ dom vol
1514a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ℝ ∈ dom vol)
16 fvex 6421 . . . . . . . . . 10 (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ V
17 c0ex 10319 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
1816, 17ifex 4327 . . . . . . . . 9 if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V
1918a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
20 eldifn 3932 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ (𝑢(,)𝑤)) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤))
2120adantl 469 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (𝑢(,)𝑤))) → ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤))
2221iffalsed 4290 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ (𝑢(,)𝑤))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
23 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
2423mpteq2ia 4934 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
25 resmpt 5654 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢(,)𝑤) ⊆ ℝ → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) = (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
2612, 25ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) = (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
2724, 26eqtr4i 2831 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤))
28 i1ff 23657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓:ℝ⟶ℝ)
2928ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
3029recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℂ)
31 ax-icn 10280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i ∈ ℂ
32 i1ff 23657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔:ℝ⟶ℝ)
3332ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℝ)
3433recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (𝑔𝑡) ∈ ℂ)
35 mulcl 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
3631, 34, 35sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
37 addcl 10303 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
3830, 36, 37syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
3938anandirs 661 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
40 reex 10312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ℝ ∈ V)
4229adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑓𝑡) ∈ ℝ)
4336adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
4428feqmptd 6470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
4544adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
4640a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
4731a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
48 fconstmpt 5363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ℝ × {i}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ i)
4948a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ i))
5032feqmptd 6470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑔 ∈ dom ∫1𝑔 = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑔𝑡)))
5146, 47, 33, 49, 50offval2 7144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · (𝑔𝑡))))
5251adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · (𝑔𝑡))))
5341, 42, 43, 45, 52offval2 7144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
54 absf 14300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs:ℂ⟶ℝ
5554a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → abs:ℂ⟶ℝ)
5655feqmptd 6470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
57 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) → (abs‘𝑥) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
5839, 53, 56, 57fmptco 6619 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
59 ftc1anclem3 33799 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ dom ∫1)
6058, 59eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ dom ∫1)
61 i1fmbf 23656 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ MblFn)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ MblFn)
63 ioombl 23546 . . . . . . . . . . 11 (𝑢(,)𝑤) ∈ dom vol
64 mbfres 23625 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ MblFn ∧ (𝑢(,)𝑤) ∈ dom vol) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) ∈ MblFn)
6562, 63, 64sylancl 576 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ (𝑢(,)𝑤)) ∈ MblFn)
6627, 65syl5eqel 2889 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
6766adantl 469 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
6813, 15, 19, 22, 67mbfss 23627 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
6968adantr 468 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
7039abscld 14398 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ)
7139absge0d 14406 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
72 elrege0 12498 . . . . . . . . . 10 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
7370, 71, 72sylanbrc 574 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞))
74 0e0icopnf 12502 . . . . . . . . 9 0 ∈ (0[,)+∞)
75 ifcl 4323 . . . . . . . . 9 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞) ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
7673, 74, 75sylancl 576 . . . . . . . 8 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
7776fmpttd 6607 . . . . . . 7 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
7877ad2antlr 709 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
7970rexrd 10374 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ*)
80 elxrge0 12501 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
8179, 71, 80sylanbrc 574 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞))
82 0e0iccpnf 12503 . . . . . . . . . 10 0 ∈ (0[,]+∞)
83 ifcl 4323 . . . . . . . . . 10 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8481, 82, 83sylancl 576 . . . . . . . . 9 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8584fmpttd 6607 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
8685ad2antlr 709 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
87 ifcl 4323 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8881, 82, 87sylancl 576 . . . . . . . . . 10 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,]+∞))
8988fmpttd 6607 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
90 ffn 6256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℝ⟶ℝ → 𝑓 Fn ℝ)
91 frn 6262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:ℝ⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℝ)
92 ax-resscn 10278 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ⊆ ℂ
9391, 92syl6ss 3810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:ℝ⟶ℝ → ran 𝑓 ⊆ ℂ)
94 ffn 6256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
9554, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 abs Fn ℂ
96 fnco 6210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs Fn ℂ ∧ 𝑓 Fn ℝ ∧ ran 𝑓 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
9795, 96mp3an1 1565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 Fn ℝ ∧ ran 𝑓 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
9890, 93, 97syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
9928, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
10099adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑓) Fn ℝ)
101 ffn 6256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:ℝ⟶ℝ → 𝑔 Fn ℝ)
102 frn 6262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑔:ℝ⟶ℝ → ran 𝑔 ⊆ ℝ)
103102, 92syl6ss 3810 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑔:ℝ⟶ℝ → ran 𝑔 ⊆ ℂ)
104 fnco 6210 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs Fn ℂ ∧ 𝑔 Fn ℝ ∧ ran 𝑔 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
10595, 104mp3an1 1565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 Fn ℝ ∧ ran 𝑔 ⊆ ℂ) → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
106101, 103, 105syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑔:ℝ⟶ℝ → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
10732, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
108107adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑔) Fn ℝ)
109 inidm 4019 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
11028adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑓:ℝ⟶ℝ)
111 fvco3 6496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑡) = (abs‘(𝑓𝑡)))
112110, 111sylan 571 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑓)‘𝑡) = (abs‘(𝑓𝑡)))
11332adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 𝑔:ℝ⟶ℝ)
114 fvco3 6496 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑔:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑔)‘𝑡) = (abs‘(𝑔𝑡)))
115113, 114sylan 571 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs ∘ 𝑔)‘𝑡) = (abs‘(𝑔𝑡)))
116100, 108, 41, 41, 109, 112, 115offval 7134 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((abs ∘ 𝑓) ∘𝑓 + (abs ∘ 𝑔)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
11730addid1d 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) + 0) = (𝑓𝑡))
118117mpteq2dva 4938 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (𝑓𝑡)))
11940a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ℝ ∈ V)
12017a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ∈ V)
12131a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → i ∈ ℂ)
12248a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {i}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ i))
123 fconstmpt 5363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (ℝ × {0}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0)
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (ℝ × {0}) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
125119, 121, 120, 122, 124offval2 7144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · 0)))
126 it0e0 11521 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (i · 0) = 0
127126mpteq2i 4935 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡 ∈ ℝ ↦ (i · 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0)
128125, 127syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 ∈ dom ∫1 → ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ 0))
129119, 29, 120, 44, 128offval2 7144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0}))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + 0)))
130118, 129, 443eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0}))) = 𝑓)
131130coeq2d 5486 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})))) = (abs ∘ 𝑓))
132 i1f0 23668 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1
133 ftc1anclem3 33799 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1 ∧ (ℝ × {0}) ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})))) ∈ dom ∫1)
134132, 133mpan2 674 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · (ℝ × {0})))) ∈ dom ∫1)
135131, 134eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1)
136135adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1)
137 coeq2 5482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓 = 𝑔 → (abs ∘ 𝑓) = (abs ∘ 𝑔))
138137eleq1d 2870 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓 = 𝑔 → ((abs ∘ 𝑓) ∈ dom ∫1 ↔ (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1))
139138, 135vtoclga 3465 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑔 ∈ dom ∫1 → (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1)
140139adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ 𝑔) ∈ dom ∫1)
141136, 140i1fadd 23676 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((abs ∘ 𝑓) ∘𝑓 + (abs ∘ 𝑔)) ∈ dom ∫1)
142116, 141eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1)
14330abscld 14398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑓𝑡)) ∈ ℝ)
14430absge0d 14406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝑓𝑡)))
145 elrege0 12498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑓𝑡))))
146143, 144, 145sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑓𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
14734abscld 14398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℝ)
14834absge0d 14406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘(𝑔𝑡)))
149 elrege0 12498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘(𝑔𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝑔𝑡))))
150147, 148, 149sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ (0[,)+∞))
151 ge0addcl 12504 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ (0[,)+∞) ∧ (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ (0[,)+∞)) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
152146, 150, 151syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
153152anandirs 661 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
154153fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
155 0plef 23653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞) ↔ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
156154, 155sylib 209 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶ℝ ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
157156simprd 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
158 itg2itg1 23717 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) = (∫1‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
159 itg1cl 23666 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 → (∫1‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
160159adantr 468 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫1‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
161158, 160eqeltrd 2885 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ∈ dom ∫1 ∧ 0𝑝𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
162142, 157, 161syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
163 icossicc 12479 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)
164 fss 6269 . . . . . . . . . . 11 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
165154, 163, 164sylancl 576 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
166 0re 10327 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ
167 ifcl 4323 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ ℝ)
16870, 166, 167sylancl 576 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ ℝ)
169 readdcl 10304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘(𝑓𝑡)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
170143, 147, 169syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
171170anandirs 661 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))) ∈ ℝ)
17270leidd 10879 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
173 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ↔ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
174 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ↔ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
175173, 174ifboth 4317 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∧ 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
176172, 71, 175syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
177 abstri 14293 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓𝑡) ∈ ℂ ∧ (i · (𝑔𝑡)) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))))
17830, 36, 177syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) ∧ (𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))))
179178anandirs 661 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))))
180 absmul 14257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((i ∈ ℂ ∧ (𝑔𝑡) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑔𝑡))))
18131, 34, 180sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = ((abs‘i) · (abs‘(𝑔𝑡))))
182 absi 14249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs‘i) = 1
183182oveq1i 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘i) · (abs‘(𝑔𝑡))) = (1 · (abs‘(𝑔𝑡)))
184181, 183syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = (1 · (abs‘(𝑔𝑡))))
185147recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(𝑔𝑡)) ∈ ℂ)
186185mulid2d 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (1 · (abs‘(𝑔𝑡))) = (abs‘(𝑔𝑡)))
187184, 186eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑔 ∈ dom ∫1𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = (abs‘(𝑔𝑡)))
188187adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘(i · (𝑔𝑡))) = (abs‘(𝑔𝑡)))
189188oveq2d 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(i · (𝑔𝑡)))) = ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
190179, 189breqtrd 4870 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
191168, 70, 171, 176, 190letrd 10479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
192191ralrimiva 3154 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))
193 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
194 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
19541, 168, 171, 193, 194ofrfval2 7145 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
196192, 195mpbird 248 . . . . . . . . . 10 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))
197 itg2le 23720 . . . . . . . . . 10 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
19889, 165, 196, 197syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))))
199 itg2lecl 23719 . . . . . . . . 9 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ ((abs‘(𝑓𝑡)) + (abs‘(𝑔𝑡)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
20089, 162, 198, 199syl3anc 1483 . . . . . . . 8 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
201200ad2antlr 709 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
20289ad2antlr 709 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
203 breq1 4847 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
204 breq1 4847 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
205 elioore 12423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → 𝑡 ∈ ℝ)
206205, 172sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
207206adantll 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
208207adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
2092rexrd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2103rexrd 10374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
211209, 210jca 503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*))
212 df-icc 12400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑡 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑡𝑡𝑦)})
213212elixx3g 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑢 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑢𝑢𝐵)))
214213simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐴𝑢𝑢𝐵))
215214simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝐴𝑢)
216212elixx3g 12406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑤𝑤𝐵)))
217216simprbi 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝐴𝑤𝑤𝐵))
218217simprd 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑤𝐵)
219215, 218anim12i 602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝐴𝑢𝑤𝐵))
220 ioossioo 12484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝑢𝑤𝐵)) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
221211, 219, 220syl2an 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
2225adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝐴(,)𝐵) ⊆ 𝐷)
223221, 222sstrd 3808 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑢(,)𝑤) ⊆ 𝐷)
224223sselda 3798 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 𝑡𝐷)
225 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
227226adantllr 701 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
228208, 227breqtrrd 4872 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
229 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
230 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
2316sselda 3798 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝐷) → 𝑡 ∈ ℝ)
232231adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → 𝑡 ∈ ℝ)
23371adantll 696 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
234232, 233syldan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
235 0le0 11393 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ≤ 0)
237229, 230, 234, 236ifbothda 4316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
238237ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
239203, 204, 228, 238ifbothda 4316 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
240239ralrimivw 3155 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))
24140a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ℝ ∈ V)
24218a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
24316, 17ifex 4327 . . . . . . . . . . . 12 if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V
244243a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
245 eqidd 2807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
246 eqidd 2807 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
247241, 242, 244, 245, 246ofrfval2 7145 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
248247ad2antrr 708 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
249240, 248mpbird 248 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
250 itg2le 23720 . . . . . . . 8 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))))
25186, 202, 249, 250syl3anc 1483 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))))
252 itg2lecl 23719 . . . . . . 7 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
25386, 201, 251, 252syl3anc 1483 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
2548ffvelrnda 6581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
255254adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
256224, 255syldan 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
257256adantllr 701 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
258205, 39sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
259258adantll 696 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
260259adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
261257, 260subcld 10677 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
262261abscld 14398 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
263261absge0d 14406 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
264 elrege0 12498 . . . . . . . . . 10 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
265262, 263, 264sylanbrc 574 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,)+∞))
26674a1i 11 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
267265, 266ifclda 4313 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,)+∞))
268267adantr 468 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,)+∞))
269268fmpttd 6607 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
270262rexrd 10374 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ*)
271 elxrge0 12501 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
272270, 263, 271sylanbrc 574 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ (0[,]+∞))
27382a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
274272, 273ifclda 4313 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,]+∞))
275274adantr 468 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ (0[,]+∞))
276275fmpttd 6607 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
277 recncf 22918 . . . . . . . . . . . . 13 ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
278 prid1g 4486 . . . . . . . . . . . . 13 (ℜ ∈ (ℂ–cn→ℝ) → ℜ ∈ {ℜ, ℑ})
279277, 278ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ℜ ∈ {ℜ, ℑ}
280 ftc1anclem2 33798 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ ℜ ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
281279, 280mp3an3 1567 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
2828, 7, 281syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
283 imcncf 22919 . . . . . . . . . . . . 13 ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ)
284 prid2g 4487 . . . . . . . . . . . . 13 (ℑ ∈ (ℂ–cn→ℝ) → ℑ ∈ {ℜ, ℑ})
285283, 284ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ℑ ∈ {ℜ, ℑ}
286 ftc1anclem2 33798 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1 ∧ ℑ ∈ {ℜ, ℑ}) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
287285, 286mp3an3 1567 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹 ∈ 𝐿1) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
2888, 7, 287syl2anc 575 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
289282, 288readdcld 10354 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
290289ad2antrr 708 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
291201, 290readdcld 10354 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) ∈ ℝ)
292 ge0addcl 12504 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
293292adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
294 ifcl 4323 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ (0[,)+∞) ∧ 0 ∈ (0[,)+∞)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
29573, 74, 294sylancl 576 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ (0[,)+∞))
296295fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
297296adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
298292adantl 469 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
299254recld 14157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
300299recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℜ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
301300abscld 14398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
302300absge0d 14406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))))
303 elrege0 12498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡)))))
304301, 302, 303sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
30574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ (0[,)+∞))
306304, 305ifclda 4313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
307306adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
308307fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
309254imcld 14158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
310309recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡𝐷) → (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
311310abscld 14398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
312310absge0d 14406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
313 elrege0 12498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
314311, 312, 313sylanbrc 574 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ (0[,)+∞))
315314, 305ifclda 4313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
316315adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ (0[,)+∞))
317316fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
318298, 308, 317, 241, 241, 109off 7142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))):ℝ⟶(0[,)+∞))
319318adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))):ℝ⟶(0[,)+∞))
32040a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ℝ ∈ V)
321293, 297, 319, 320, 320, 109off 7142 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,)+∞))
322 fss 6269 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ (0[,]+∞)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
323321, 163, 322sylancl 576 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
324323adantr 468 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞))
325 0xr 10371 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ ℝ*
326325a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ∈ ℝ*)
327270, 326ifclda 4313 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ ℝ*)
328254adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) ∈ ℂ)
32939adantll 696 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
330232, 329syldan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) ∈ ℂ)
331328, 330subcld 10677 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
332331abscld 14398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ)
333332rexrd 10374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℝ*)
334325a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℝ*)
335333, 334ifclda 4313 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ ℝ*)
336335adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ ℝ*)
337330abscld 14398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ)
338 0red 10328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℝ)
339337, 338ifclda 4313 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ ℝ)
340 0red 10328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℝ)
341301, 340ifclda 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
342311, 340ifclda 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
343341, 342readdcld 10354 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ ℝ)
344343adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ ℝ)
345339, 344readdcld 10354 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ)
346345rexrd 10374 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ*)
347346adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ ℝ*)
348 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
349 breq1 4847 . . . . . . . . . . . . 13 (0 = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → (0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ↔ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
350224adantllr 701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 𝑡𝐷)
351332leidd 10879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
352351adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
353 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
354353adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
355352, 354breqtrrd 4872 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
356350, 355syldan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
357 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → (0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
358 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0 = if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) → (0 ≤ 0 ↔ 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
359331absge0d 14406 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
360357, 358, 359, 236ifbothda 4316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
361360ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → 0 ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
362348, 349, 356, 361ifbothda 4316 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
363254negcld 10664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → -(𝐹𝑡) ∈ ℂ)
364363adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → -(𝐹𝑡) ∈ ℂ)
365330, 364addcld 10344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡)) ∈ ℂ)
366365abscld 14398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
367363abscld 14398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
368367adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ∈ ℝ)
369337, 368readdcld 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘-(𝐹𝑡))) ∈ ℝ)
370301, 311readdcld 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
371370adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) ∈ ℝ)
372337, 371readdcld 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))) ∈ ℝ)
373330, 364abstrid 14418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘-(𝐹𝑡))))
374 mulcl 10305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℂ)
37531, 310, 374sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℂ)
376300, 375abstrid 14418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))) ≤ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
377254absnegd 14411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) = (abs‘(𝐹𝑡)))
378254replimd 14160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → (𝐹𝑡) = ((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))))
379378fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(𝐹𝑡)) = (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
380377, 379eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) = (abs‘((ℜ‘(𝐹𝑡)) + (i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
381 absmul 14257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘(𝐹𝑡)) ∈ ℂ) → (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
38231, 310, 381sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))) = ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
383182oveq1i 6884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((abs‘i) · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) = (1 · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
384382, 383syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))) = (1 · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
385311recnd 10353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ ℂ)
386385mulid2d 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡𝐷) → (1 · (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
387384, 386eqtr2d 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))) = (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡)))))
388387oveq2d 6890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡𝐷) → ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))) = ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(i · (ℑ‘(𝐹𝑡))))))
389376, 380, 3883brtr4d 4876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ≤ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
390389adantlr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘-(𝐹𝑡)) ≤ ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
391368, 371, 337, 390leadd2dd 10927 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘-(𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
392366, 369, 372, 373, 391letrd 10479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) ≤ ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
393328, 330abssubd 14415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) = (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) − (𝐹𝑡))))
394353adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
395330, 328negsubd 10683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡)) = (((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) − (𝐹𝑡)))
396395fveq2d 6412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))) = (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) − (𝐹𝑡))))
397393, 394, 3963eqtr4d 2850 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘(((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))) + -(𝐹𝑡))))
398 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
399398adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
400392, 397, 3993brtr4d 4876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
401400ex 399 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0)))
402235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → 0 ≤ 0)
403 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = 0)
404 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0) = 0)
405402, 403, 4043brtr4d 4876 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
406401, 405pm2.61d1 172 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
407 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) = (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))))
408 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) = (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))
409407, 408oveq12d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡)))))
410225, 409oveq12d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))))
411410, 398eqtr4d 2843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
412 00id 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 + 0) = 0
413412oveq2i 6885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 + (0 + 0)) = (0 + 0)
414413, 412eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 + (0 + 0)) = 0
415 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
416 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) = 0)
417 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) = 0)
418416, 417oveq12d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (0 + 0))
419415, 418oveq12d 6892 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = (0 + (0 + 0)))
420414, 419, 4043eqtr4a 2866 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑡𝐷 → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0))
421411, 420pm2.61i 176 . . . . . . . . . . . . . 14 (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = if(𝑡𝐷, ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + ((abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))) + (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))))), 0)
422406, 421syl6breqr 4886 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
423422adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
424327, 336, 347, 362, 423xrletrd 12211 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
425424ralrimivw 3155 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
426 fvex 6421 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ V
427426, 17ifex 4327 . . . . . . . . . . . . 13 if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ V
428427a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ∈ V)
429 ovexd 6908 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) ∈ V)
430 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
431 ovexd 6908 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ V)
432341adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
433342adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0) ∈ ℝ)
434 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)))
435 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))
436241, 432, 433, 434, 435offval2 7144 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))
437241, 244, 431, 246, 436offval2 7144 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
438241, 428, 429, 430, 437ofrfval2 7145 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
439438ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ↔ ∀𝑡 ∈ ℝ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) ≤ (if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + (if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0) + if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
440425, 439mpbird 248 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
441 itg2le 23720 . . . . . . . . 9 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) ∘𝑟 ≤ ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
442276, 324, 440, 441syl3anc 1483 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
4436adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → 𝐷 ⊆ ℝ)
444243a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) ∈ V)
445 eldifn 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → ¬ 𝑡𝐷)
446445iffalsed 4290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
447446adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ 𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
448 ovexd 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (i · (𝑔𝑡)) ∈ V)
44941, 42, 448, 45, 52offval2 7144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
45039, 449, 56, 57fmptco 6619 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
451450reseq1d 5596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) = ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ 𝐷))
4526resmptd 5657 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ↾ 𝐷) = (𝑡𝐷 ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
453451, 452sylan9eqr 2862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) = (𝑡𝐷 ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
454225mpteq2ia 4934 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) = (𝑡𝐷 ↦ (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))
455453, 454syl6eqr 2858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) = (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)))
456 i1fmbf 23656 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ dom ∫1 → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ MblFn)
45759, 456syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) → (abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ MblFn)
4588fdmd 6265 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐷)
459 iblmbf 23748 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ 𝐿1𝐹 ∈ MblFn)
460 mbfdm 23607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
4617, 459, 4603syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
462458, 461eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ dom vol)
463 mbfres 23625 . . . . . . . . . . . . . 14 (((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ∈ MblFn ∧ 𝐷 ∈ dom vol) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) ∈ MblFn)
464457, 462, 463syl2anr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((abs ∘ (𝑓𝑓 + ((ℝ × {i}) ∘𝑓 · 𝑔))) ↾ 𝐷) ∈ MblFn)
465455, 464eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
466443, 15, 444, 447, 465mbfss 23627 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∈ MblFn)
467200adantl 469 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) ∈ ℝ)
468 0cnd 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡𝐷) → 0 ∈ ℂ)
469300, 468ifclda 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℂ)
470469adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℂ)
471 eqidd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)))
47254a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → abs:ℂ⟶ℝ)
473472feqmptd 6470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → abs = (𝑥 ∈ ℂ ↦ (abs‘𝑥)))
474 fveq2 6408 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) → (abs‘𝑥) = (abs‘if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)))
475 fvif 6424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (abs‘if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), (abs‘0))
476 abs0 14248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (abs‘0) = 0
477 ifeq2 4284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((abs‘0) = 0 → if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), (abs‘0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))
478476, 477ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), (abs‘0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)
479475, 478eqtri 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (abs‘if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)
480474, 479syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) → (abs‘𝑥) = if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))
481470, 471, 473, 480fmptco 6619 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)))
482299, 340ifclda 4313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℝ)
483482adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℝ)
484483fmpttd 6607 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)):ℝ⟶ℝ)
48514a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ℝ ∈ dom vol)
486482adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡𝐷) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) ∈ ℝ)
487445adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → ¬ 𝑡𝐷)
488487iffalsed 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ (ℝ ∖ 𝐷)) → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) = 0)
489 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑡𝐷 → if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0) = (ℜ‘(𝐹𝑡)))
490489mpteq2ia 4934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) = (𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡)))
4918feqmptd 6470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 = (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)))
4927, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
493491, 492eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn)
494254ismbfcn2 23619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((𝑡𝐷 ↦ (𝐹𝑡)) ∈ MblFn ↔ ((𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)))
495493, 494mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ((𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn ∧ (𝑡𝐷 ↦ (ℑ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn))
496495simpld 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ (ℜ‘(𝐹𝑡))) ∈ MblFn)
497490, 496syl5eqel 2889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑡𝐷 ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) ∈ MblFn)
4986, 485, 486, 488, 497mbfss 23627 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) ∈ MblFn)
499 ftc1anclem1 33797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)):ℝ⟶ℝ ∧ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0)) ∈ MblFn) → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ MblFn)
500484, 498, 499syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (abs ∘ (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (ℜ‘(𝐹𝑡)), 0))) ∈ MblFn)
501481, 500eqeltrrd 2886 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∈ MblFn)
502501, 308, 282, 317, 288itg2addnc 33776 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
503502, 289eqeltrd 2885 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
504503adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) ∈ ℝ)
505466, 297, 467, 319, 504itg2addnc 33776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
506502adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))
507506oveq2d 6890 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
508505, 507eqtrd 2840 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
509508adantr 468 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
510442, 509breqtrd 4870 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))))
511 itg2lecl 23719 . . . . . . 7 (((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0))))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ≤ ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑡))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡𝐷, (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑡))), 0)))))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ∈ ℝ)
512276, 291, 510, 511syl3anc 1483 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) ∈ ℝ)
51369, 78, 253, 269, 512itg2addnc 33776 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))))
514241, 242, 428, 245, 430offval2 7144 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
515 eqeq2 2817 . . . . . . . . . . 11 (((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0) → ((if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))) ↔ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
516 eqeq2 2817 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0) → ((if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = 0 ↔ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
517 iftrue 4285 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
51823, 517oveq12d 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
519518adantl 469 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))))
520 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) = 0)
521 iffalse 4288 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0) = 0)
522520, 521oveq12d 6892 . . . . . . . . . . . . 13 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = (0 + 0))
523522, 412syl6eq 2856 . . . . . . . . . . . 12 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = 0)
524523adantl 469 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ¬ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = 0)
525515, 516, 519, 524ifbothda 4316 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0))
526525mpteq2dv 4939 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑡 ∈ ℝ ↦ (if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0) + if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
527514, 526eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
528527ad2antrr 708 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)))
529 simplr 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1))
530258abscld 14398 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℝ)
531530recnd 10353 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
532529, 531sylan 571 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) ∈ ℂ)
533262recnd 10353 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) ∈ ℂ)
534532, 533addcomd 10523 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) ∧ 𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤)) → ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))) = ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))
535534ifeq1da 4309 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0) = if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))
536535mpteq2dv 4939 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))) + (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))))), 0)) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
537528, 536eqtrd 2840 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) = (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))
538537fveq2d 6412 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → (∫2‘((𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0)) ∘𝑓 + (𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
539513, 538eqtr3d 2842 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
54010, 11, 539syl2an 585 . . 3 ((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
541540adantr 468 . 2 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → ((∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡)))), 0))) + (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), (abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0)))) = (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))))
542 rpcn 12055 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℂ)
5435422halvesd 11545 . . 3 (𝑦 ∈ ℝ+ → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
544543ad3antlr 713 . 2 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
5459, 541, 5443brtr3d 4875 1 (((((((𝜑 ∧ (𝑓 ∈ dom ∫1𝑔 ∈ dom ∫1)) ∧ (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ (abs‘(if(𝑡𝐷, (𝐹𝑡), 0) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))))) < (𝑦 / 2)) ∧ ∃𝑟 ∈ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)𝑟 ≠ 0) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑢 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑤 ∈ (𝐴[,]𝐵) ∧ 𝑢𝑤)) ∧ (abs‘(𝑤𝑢)) < ((𝑦 / 2) / (2 · sup((abs “ (ran 𝑓 ∪ ran 𝑔)), ℝ, < )))) → (∫2‘(𝑡 ∈ ℝ ↦ if(𝑡 ∈ (𝑢(,)𝑤), ((abs‘((𝐹𝑡) − ((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))) + (abs‘((𝑓𝑡) + (i · (𝑔𝑡))))), 0))) < 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  cdif 3766  cun 3767  wss 3769  ifcif 4279  {csn 4370  {cpr 4372   class class class wbr 4844  cmpt 4923   × cxp 5309  dom cdm 5311  ran crn 5312  cres 5313  cima 5314  ccom 5315   Fn wfn 6096  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  𝑓 cof 7125  𝑟 cofr 7126  supcsup 8585  cc 10219  cr 10220  0cc0 10221  1c1 10222  ici 10223   + caddc 10224   · cmul 10226  +∞cpnf 10356  *cxr 10358   < clt 10359  cle 10360  cmin 10551  -cneg 10552   / cdiv 10969  2c2 11356  +crp 12046  (,)cioo 12393  [,)cico 12395  [,]cicc 12396  cre 14060  cim 14061  abscabs 14197  cnccncf 22892  volcvol 23444  MblFncmbf 23595  1citg1 23596  2citg2 23597  𝐿1cibl 23598  citg 23599  0𝑝c0p 23650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-pre-sup 10299  ax-addf 10300
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-disj 4813  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-ofr 7128  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fi 8556  df-sup 8587  df-inf 8588  df-oi 8654  df-card 9048  df-cda 9275  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-n0 11560  df-z 11644  df-uz 11905  df-q 12008  df-rp 12047  df-xneg 12162  df-xadd 12163  df-xmul 12164  df-ioo 12397  df-ico 12399  df-icc 12400  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-fl 12817  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-cj 14062  df-re 14063  df-im 14064  df-sqrt 14198  df-abs 14199  df-clim 14442  df-rlim 14443  df-sum 14640  df-rest 16288  df-topgen 16309  df-psmet 19946  df-xmet 19947  df-met 19948  df-bl 19949  df-mopn 19950  df-top 20912  df-topon 20929  df-bases 20964  df-cmp 21404  df-cncf 22894  df-ovol 23445  df-vol 23446  df-mbf 23600  df-itg1 23601  df-itg2 23602  df-ibl 23603  df-0p 23651
This theorem is referenced by:  ftc1anc  33805
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