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Theorem itg2monolem1 25654
Description: Lemma for itg2mono 25657. We show that for any constant 𝑑 less than one, 𝑑 Β· ∫1𝐻 is less than 𝑆, and so ∫1𝐻 ≀ 𝑆, which is one half of the equality in itg2mono 25657. Consider the sequence 𝐴(𝑛) = {π‘₯ ∣ 𝑑 Β· 𝐻 ≀ 𝐹(𝑛)}. This is an increasing sequence of measurable sets whose union is ℝ, and so 𝐻 β†Ύ 𝐴(𝑛) has an integral which equals ∫1𝐻 in the limit, by itg1climres 25618. Then by taking the limit in (𝑑 Β· 𝐻) β†Ύ 𝐴(𝑛) ≀ 𝐹(𝑛), we get 𝑑 Β· ∫1𝐻 ≀ 𝑆 as desired. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
itg2mono.2 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ MblFn)
itg2mono.3 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
itg2mono.4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
itg2mono.5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
itg2mono.6 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
itg2mono.7 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (0(,)1))
itg2mono.8 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ dom ∫1)
itg2mono.9 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∘r ≀ 𝐺)
itg2mono.10 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
itg2mono.11 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
Assertion
Ref Expression
itg2monolem1 (πœ‘ β†’ (𝑇 Β· (∫1β€˜π»)) ≀ 𝑆)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑛,𝑦,𝐺   𝑛,𝐻,π‘₯,𝑦   𝑛,𝐹,π‘₯,𝑦   πœ‘,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑆,𝑛,π‘₯,𝑦   𝑇,𝑛,π‘₯,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑛)

Proof of Theorem itg2monolem1
Dummy variables 𝑗 π‘˜ π‘š 𝑧 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12881 . 2 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12609 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4 readdcl 11207 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
54adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
6 itg2mono.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7 rge0ssre 13451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
8 fss 6733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
96, 7, 8sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆβ„)
10 itg2mono.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ dom ∫1)
11 itg2mono.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ (0(,)1))
12 0xr 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 ∈ ℝ*
13 1xr 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1 ∈ ℝ*
14 elioo2 13383 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*) β†’ (𝑇 ∈ (0(,)1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1)))
1512, 13, 14mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑇 ∈ (0(,)1) ↔ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
1611, 15sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇 ∧ 𝑇 < 1))
1716simp1d 1140 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
1817renegcld 11657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ -𝑇 ∈ ℝ)
1910, 18i1fmulc 25607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻) ∈ dom ∫1)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻) ∈ dom ∫1)
21 i1ff 25579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻) ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻):β„βŸΆβ„)
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻):β„βŸΆβ„)
23 reex 11215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℝ ∈ V
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
25 inidm 4214 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ ∩ ℝ) = ℝ
265, 9, 22, 24, 24, 25off 7695 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)):β„βŸΆβ„)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)):β„βŸΆβ„)
2827ffnd 6717 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) Fn ℝ)
29 elpreima 7061 . . . . . . . . . . . 12 (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0))))
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0))))
313, 30mpbirand 706 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)) ↔ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0)))
32 elioomnf 13439 . . . . . . . . . . . 12 (0 ∈ ℝ* β†’ ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) < 0)))
3312, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) < 0))
3426ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3534biantrurd 532 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) < 0 ↔ ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) < 0)))
3633, 35bitr4id 290 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ↔ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) < 0))
376ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) Fn ℝ)
3822ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻) Fn ℝ)
39 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
4018adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑇 ∈ ℝ)
41 i1ff 25579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐻 ∈ dom ∫1 β†’ 𝐻:β„βŸΆβ„)
4210, 41syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐻:β„βŸΆβ„)
4342ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn ℝ)
4443adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐻 Fn ℝ)
45 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
4624, 40, 44, 45ofc1 7703 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)β€˜π‘₯) = (-𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)))
4717recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
4847ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
4942ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5049adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5150recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5248, 51mulneg1d 11683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (-𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) = -(𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)))
5346, 52eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)β€˜π‘₯) = -(𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)))
5437, 38, 24, 24, 25, 39, 53ofval 7688 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) + -(𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))))
559ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
5655recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
5717adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
5857, 49remulcld 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5958adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
6059recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ β„‚)
6156, 60negsubd 11593 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) + -(𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) βˆ’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))))
6254, 61eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) = (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) βˆ’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))))
6362breq1d 5152 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) < 0 ↔ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) βˆ’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))) < 0))
64 0red 11233 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
6555, 59, 64ltsubaddd 11826 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) βˆ’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))) < 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < (0 + (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)))))
6660addlidd 11431 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 + (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))) = (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)))
6766breq2d 5154 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < (0 + (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))) ↔ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))))
6863, 65, 673bitrd 305 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻))β€˜π‘₯) < 0 ↔ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))))
6931, 36, 683bitrd 305 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)) ↔ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))))
7069notbid 318 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (Β¬ π‘₯ ∈ (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))))
71 eldif 3954 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0))) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0))))
7271baib 535 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0))) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0))))
7372adantl 481 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0))) ↔ Β¬ π‘₯ ∈ (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0))))
7459, 55lenltd 11376 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) < (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯))))
7570, 73, 743bitr4d 311 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (ℝ βˆ– (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0))) ↔ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
7675rabbi2dva 4213 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ℝ ∩ (ℝ βˆ– (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)))) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
77 rembl 25443 . . . . . . 7 ℝ ∈ dom vol
78 itg2mono.2 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∈ MblFn)
79 i1fmbf 25578 . . . . . . . . . . 11 (((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻) ∈ dom ∫1 β†’ ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻) ∈ MblFn)
8020, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻) ∈ MblFn)
8178, 80mbfadd 25564 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) ∈ MblFn)
82 mbfima 25533 . . . . . . . . 9 ((((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) ∈ MblFn ∧ ((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)):β„βŸΆβ„) β†’ (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
8381, 26, 82syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
84 cmmbl 25437 . . . . . . . 8 ((β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol β†’ (ℝ βˆ– (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0))) ∈ dom vol)
8583, 84syl 17 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ℝ βˆ– (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0))) ∈ dom vol)
86 inmbl 25445 . . . . . . 7 ((ℝ ∈ dom vol ∧ (ℝ βˆ– (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0))) ∈ dom vol) β†’ (ℝ ∩ (ℝ βˆ– (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)))) ∈ dom vol)
8777, 85, 86sylancr 586 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (ℝ ∩ (ℝ βˆ– (β—‘((πΉβ€˜π‘›) ∘f + ((ℝ Γ— {-𝑇}) ∘f Β· 𝐻)) β€œ (-∞(,)0)))) ∈ dom vol)
8876, 87eqeltrrd 2829 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
89 itg2mono.11 . . . . 5 𝐴 = (𝑛 ∈ β„• ↦ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)})
9088, 89fmptd 7118 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴:β„•βŸΆdom vol)
91 itg2mono.4 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
9291ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
93 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘—))
94 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑗 β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) = (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
9593, 94breq12d 5155 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ (πΉβ€˜π‘—) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1))))
9695cbvralvw 3229 . . . . . . . . . . 11 (βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
9792, 96sylib 217 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
9897r19.21bi 3243 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
996ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞))
10093feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (πΉβ€˜π‘—):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
101100cbvralvw 3229 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—):β„βŸΆ(0[,)+∞))
10299, 101sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• (πΉβ€˜π‘—):β„βŸΆ(0[,)+∞))
103102r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—):β„βŸΆ(0[,)+∞))
104103ffnd 6717 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—) Fn ℝ)
105 peano2nn 12240 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ β„• β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
106 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜(𝑗 + 1)))
107106feq1d 6701 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
108107rspccva 3606 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (𝑗 + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
10999, 105, 108syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
110109ffnd 6717 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) Fn ℝ)
11123a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
112 eqidd 2728 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
113 eqidd 2728 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯))
114104, 110, 111, 111, 25, 112, 113ofrfval 7687 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)))
11598, 114mpbid 231 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯))
116115r19.21bi 3243 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯))
11717ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
11842adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝐻:β„βŸΆβ„)
119118ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
120117, 119remulcld 11260 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
121 fss 6733 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘—):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘—):β„βŸΆβ„)
122103, 7, 121sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—):β„βŸΆβ„)
123122ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
124 fss 6733 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜(𝑗 + 1)):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)):β„βŸΆβ„)
125109, 7, 124sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑗 + 1)):β„βŸΆβ„)
126125ffvelcdmda 7088 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
127 letr 11324 . . . . . . . 8 (((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)))
128120, 123, 126, 127syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∧ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)))
129116, 128mpan2d 693 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)))
130129ss2rabdv 4069 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)} βŠ† {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)})
13193fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
132131breq2d 5154 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑗 β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
133132rabbidv 3435 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑗 β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)})
13423rabex 5328 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ∈ V
135133, 89, 134fvmpt 6999 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• β†’ (π΄β€˜π‘—) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)})
136135adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘—) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)})
137105adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑗 + 1) ∈ β„•)
138106fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯))
139138breq2d 5154 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)))
140139rabbidv 3435 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑗 + 1) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)})
14123rabex 5328 . . . . . . 7 {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)} ∈ V
142140, 89, 141fvmpt 6999 . . . . . 6 ((𝑗 + 1) ∈ β„• β†’ (π΄β€˜(𝑗 + 1)) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)})
143137, 142syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜(𝑗 + 1)) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜(𝑗 + 1))β€˜π‘₯)})
144130, 136, 1433sstr4d 4025 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘—) βŠ† (π΄β€˜(𝑗 + 1)))
14558adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
14649adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
14755an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
148147fmpttd 7119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)):β„•βŸΆβ„)
149148frnd 6724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) βŠ† ℝ)
150 1nn 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ∈ β„•
151 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))
152151, 147dmmptd 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = β„•)
153150, 152eleqtrrid 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)))
154153ne0d 4331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
155 dm0rn0 5921 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = βˆ…)
156155necon3bii 2988 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
157154, 156sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
158 itg2mono.5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
159148ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) Fn β„•)
160 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘š) β†’ (𝑧 ≀ 𝑦 ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘š) ≀ 𝑦))
161160ralrn 7092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘š) ≀ 𝑦))
162159, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘š) ≀ 𝑦))
163 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = π‘š β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘š))
164163fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 = π‘š β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
165 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ∈ V
166164, 151, 165fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘š ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘š) = ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯))
167166breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘š ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘š) ≀ 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
168167ralbiia 3086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘š) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
169164breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 = π‘š β†’ (((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
170169cbvralvw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘š ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘š)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
171168, 170bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘š ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘š) ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦)
172162, 171bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
173172rexbidv 3173 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))𝑧 ≀ 𝑦 ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ β„• ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ≀ 𝑦))
174158, 173mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))𝑧 ≀ 𝑦)
175149, 157, 174suprcld 12193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
176175adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ∈ ℝ)
17716simp3d 1142 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝑇 < 1)
178177adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 < 1)
17917adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
180 1red 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ 1 ∈ ℝ)
181 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ 0 < (π»β€˜π‘₯))
182 ltmul1 12080 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑇 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ ((π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑇 < 1 ↔ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < (1 Β· (π»β€˜π‘₯))))
183179, 180, 146, 181, 182syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑇 < 1 ↔ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < (1 Β· (π»β€˜π‘₯))))
184178, 183mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < (1 Β· (π»β€˜π‘₯)))
185146recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
186185mullidd 11248 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (1 Β· (π»β€˜π‘₯)) = (π»β€˜π‘₯))
187184, 186breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < (π»β€˜π‘₯))
188 itg2mono.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∘r ≀ 𝐺)
189 itg2mono.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝐺 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
190175, 189fmptd 7118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„βŸΆβ„)
191190ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn ℝ)
19223a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ V)
193 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘¦) = (π»β€˜π‘¦))
194 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦))
195194mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
196195rneqd 5934 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) = ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)))
197196supeq1d 9455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑦 β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)), ℝ, < ))
198 ltso 11310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 < Or ℝ
199198supex 9472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)), ℝ, < ) ∈ V
200197, 189, 199fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)), ℝ, < ))
201200adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘¦) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)), ℝ, < ))
20243, 191, 192, 192, 25, 193, 201ofrfval 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∘r ≀ 𝐺 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π»β€˜π‘¦) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)), ℝ, < )))
203188, 202mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π»β€˜π‘¦) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)), ℝ, < ))
204 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π»β€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘¦))
205204, 197breq12d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π»β€˜π‘₯) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ↔ (π»β€˜π‘¦) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)), ℝ, < )))
206205cbvralvw 3229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π»β€˜π‘₯) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ℝ (π»β€˜π‘¦) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘¦)), ℝ, < ))
207203, 206sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ (π»β€˜π‘₯) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
208207r19.21bi 3243 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
209208adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
210145, 146, 176, 187, 209ltletrd 11390 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ))
211149adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) βŠ† ℝ)
212157adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β‰  βˆ…)
213174adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))𝑧 ≀ 𝑦)
214 suprlub 12194 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))𝑧 ≀ 𝑦) ∧ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ ℝ) β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))(𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < 𝑀))
215211, 212, 213, 145, 214syl31anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)), ℝ, < ) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))(𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < 𝑀))
216210, 215mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))(𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < 𝑀)
217159adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) Fn β„•)
218 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘—) β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < 𝑀 ↔ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘—)))
219218rexrn 7091 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)) Fn β„• β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))(𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < 𝑀 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘—)))
220217, 219syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))(𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < 𝑀 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘—)))
221 fvex 6904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ V
222131, 151, 221fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘—) = ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
223222breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ β„• β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘—) ↔ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
224223rexbiia 3087 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))β€˜π‘—) ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
225220, 224bitrdi 287 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯))(𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < 𝑀 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
226216, 225mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
227179, 146remulcld 11260 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
228103adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘—):β„βŸΆ(0[,)+∞))
229 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
230228, 229ffvelcdmd 7089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
231 elrege0 13449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
232230, 231sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
233232simpld 494 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
234233adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
235 ltle 11318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
236227, 234, 235syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
237236reximdva 3163 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) < ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
238226, 237mpd 15 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
239238anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 0 < (π»β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
240150ne0ii 4333 . . . . . . . . . . 11 β„• β‰  βˆ…
24158adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
242241adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
243 0red 11233 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ ℝ)
244232adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)))
245244simpld 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
246 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)
24749adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
248247adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
24917ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
25016simp2d 1141 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑇)
251250ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑇)
252 lemul2 12083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π»β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝑇 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑇)) β†’ ((π»β€˜π‘₯) ≀ 0 ↔ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ (𝑇 Β· 0)))
253248, 243, 249, 251, 252syl112anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ ((π»β€˜π‘₯) ≀ 0 ↔ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ (𝑇 Β· 0)))
254246, 253mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ (𝑇 Β· 0))
255249recnd 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
256255mul01d 11429 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑇 Β· 0) = 0)
257254, 256breqtrd 5168 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ 0)
258244simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
259242, 243, 245, 257, 258letrd 11387 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
260259ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) β†’ βˆ€π‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
261 r19.2z 4490 . . . . . . . . . . 11 ((β„• β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
262240, 260, 261sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0)) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
263262anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (π»β€˜π‘₯) ≀ 0) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
264 0red 11233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ∈ ℝ)
265239, 263, 264, 49ltlecasei 11338 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
266265ralrimiva 3141 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
267 rabid2 3459 . . . . . . 7 (ℝ = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)} ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯))
268266, 267sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ℝ = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)})
269 iunrab 5049 . . . . . 6 βˆͺ 𝑗 ∈ β„• {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ βˆƒπ‘— ∈ β„• (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)}
270268, 269eqtr4di 2785 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ℝ = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)})
271136iuneq2dv 5015 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (π΄β€˜π‘—) = βˆͺ 𝑗 ∈ β„• {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘—)β€˜π‘₯)})
27290ffnd 6717 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 Fn β„•)
273 fniunfv 7251 . . . . . 6 (𝐴 Fn β„• β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (π΄β€˜π‘—) = βˆͺ ran 𝐴)
274272, 273syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑗 ∈ β„• (π΄β€˜π‘—) = βˆͺ ran 𝐴)
275270, 271, 2743eqtr2rd 2774 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆͺ ran 𝐴 = ℝ)
276 eqid 2727 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))
27790, 144, 275, 10, 276itg1climres 25618 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))) ⇝ (∫1β€˜π»))
278 nnex 12234 . . . . 5 β„• ∈ V
279278mptex 7229 . . . 4 (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))) ∈ V
280279a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))) ∈ V)
281 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π΄β€˜π‘—) = (π΄β€˜π‘˜))
282281eleq2d 2814 . . . . . . . . . 10 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—) ↔ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜)))
283282ifbid 4547 . . . . . . . . 9 (𝑗 = π‘˜ β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0) = if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))
284283mpteq2dv 5244 . . . . . . . 8 (𝑗 = π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)))
285284fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑗 = π‘˜ β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))))
286 eqid 2727 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))
287 fvex 6904 . . . . . . 7 (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))) ∈ V
288285, 286, 287fvmpt 6999 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))))
289288adantl 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))))
29090ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ dom vol)
291 eqid 2727 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))
292291i1fres 25609 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ∫1 ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
29310, 290, 292syl2an2r 684 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
294 itg1cl 25588 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
295293, 294syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
296289, 295eqeltrd 2828 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
297296recnd 11258 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘˜) ∈ β„‚)
298285oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑗 = π‘˜ β†’ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))) = (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)))))
299 eqid 2727 . . . . . 6 (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))) = (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))))
300 ovex 7447 . . . . . 6 (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)))) ∈ V
301298, 299, 300fvmpt 6999 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))))β€˜π‘˜) = (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)))))
302288oveq2d 7430 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (𝑇 Β· ((𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘˜)) = (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)))))
303301, 302eqtr4d 2770 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))))β€˜π‘˜) = (𝑇 Β· ((𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘˜)))
304303adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))))β€˜π‘˜) = (𝑇 Β· ((𝑗 ∈ β„• ↦ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))β€˜π‘˜)))
3051, 2, 277, 47, 280, 297, 304climmulc2 15599 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))) ⇝ (𝑇 Β· (∫1β€˜π»)))
306 icossicc 13431 . . . . . . 7 (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)
307 fss 6733 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
3086, 306, 307sylancl 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
309 itg2mono.10 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
310309adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑆 ∈ ℝ)
311 itg2cl 25636 . . . . . . . . . . 11 ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
312308, 311syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ*)
313312fmpttd 7119 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))):β„•βŸΆβ„*)
314313frnd 6724 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ*)
315 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ V
316315elabrex 7246 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))})
317316adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))})
318 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))
319318rnmpt 5951 . . . . . . . . 9 ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ = (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))}
320317, 319eleqtrrdi 2839 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))))
321 supxrub 13321 . . . . . . . 8 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ* ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
322314, 320, 321syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ))
323 itg2mono.6 . . . . . . 7 𝑆 = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < )
324322, 323breqtrrdi 5184 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ 𝑆)
325 itg2lecl 25642 . . . . . 6 (((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ 𝑆 ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ 𝑆) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
326308, 310, 324, 325syl3anc 1369 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ∈ ℝ)
327326fmpttd 7119 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))):β„•βŸΆβ„)
328308ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞))
329 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜π‘›) = (πΉβ€˜π‘˜))
330329feq1d 6701 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,]+∞)))
331330cbvralvw 3229 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,]+∞))
332328, 331sylib 217 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,]+∞))
333 peano2nn 12240 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + 1) ∈ β„•)
334 fveq2 6891 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (πΉβ€˜(𝑛 + 1)))
335334feq1d 6701 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = (𝑛 + 1) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,]+∞) ↔ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)):β„βŸΆ(0[,]+∞)))
336335rspccva 3606 . . . . . . . . 9 ((βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑛 + 1) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
337332, 333, 336syl2an 595 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
338 itg2le 25643 . . . . . . . 8 (((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (πΉβ€˜π‘›) ∘r ≀ (πΉβ€˜(𝑛 + 1))) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
339308, 337, 91, 338syl3anc 1369 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
340339ralrimiva 3141 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
341 2fveq3 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
342 fvex 6904 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ∈ V
343341, 318, 342fvmpt 6999 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
344 peano2nn 12240 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ + 1) ∈ β„•)
345 2fveq3 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (π‘˜ + 1) β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) = (∫2β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
346 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (∫2β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))) ∈ V
347345, 318, 346fvmpt 6999 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ + 1) ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫2β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
348344, 347syl 17 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜(π‘˜ + 1)) = (∫2β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
349343, 348breq12d 5155 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
350349ralbiia 3086 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
351 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ (πΉβ€˜(𝑛 + 1)) = (πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))
352351fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (∫2β€˜(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) = (∫2β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
353341, 352breq12d 5155 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ↔ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1)))))
354353cbvralvw 3229 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜(𝑛 + 1))) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜(π‘˜ + 1))))
355350, 354bitr4i 278 . . . . . 6 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜(π‘˜ + 1)) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜(𝑛 + 1))))
356340, 355sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜(π‘˜ + 1)))
357356r19.21bi 3243 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜(π‘˜ + 1)))
358324ralrimiva 3141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ 𝑆)
359343breq1d 5152 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ π‘₯))
360359ralbiia 3086 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ π‘₯)
361341breq1d 5152 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ π‘₯ ↔ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ π‘₯))
362361cbvralvw 3229 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘› ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)) ≀ π‘₯)
363360, 362bitr4i 278 . . . . . . 7 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ π‘₯)
364 breq2 5146 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑆 β†’ ((∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ π‘₯ ↔ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ 𝑆))
365364ralbidv 3172 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ 𝑆))
366363, 365bitrid 283 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑆 β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ 𝑆))
367366rspcev 3607 . . . . 5 ((𝑆 ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)) ≀ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
368309, 358, 367syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ π‘₯)
3691, 2, 327, 357, 368climsup 15634 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) ⇝ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ, < ))
370327frnd 6724 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ)
371318, 312dmmptd 6694 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = β„•)
372240a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„• β‰  βˆ…)
373371, 372eqnetrd 3003 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) β‰  βˆ…)
374 dm0rn0 5921 . . . . . . 7 (dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) = βˆ…)
375374necon3bii 2988 . . . . . 6 (dom (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) β‰  βˆ… ↔ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) β‰  βˆ…)
376373, 375sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) β‰  βˆ…)
377315, 318fnmpti 6692 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„•
378 breq1 5145 . . . . . . . . 9 (𝑧 = ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) β†’ (𝑧 ≀ π‘₯ ↔ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
379378ralrn 7092 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) Fn β„• β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
380377, 379mp1i 13 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
381380rexbidv 3173 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))𝑧 ≀ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘˜ ∈ β„• ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ≀ π‘₯))
382368, 381mpbird 257 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))𝑧 ≀ π‘₯)
383 supxrre 13324 . . . . 5 ((ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) βŠ† ℝ ∧ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘§ ∈ ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))𝑧 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ, < ))
384370, 376, 382, 383syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ, < ))
385323, 384eqtr2id 2780 . . 3 (πœ‘ β†’ sup(ran (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))), ℝ, < ) = 𝑆)
386369, 385breqtrd 5168 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›))) ⇝ 𝑆)
38717adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
38890ffvelcdmda 7088 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π΄β€˜π‘—) ∈ dom vol)
389276i1fres 25609 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ dom ∫1 ∧ (π΄β€˜π‘—) ∈ dom vol) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
39010, 388, 389syl2an2r 684 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1)
391 itg1cl 25588 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)) ∈ dom ∫1 β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
392390, 391syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))) ∈ ℝ)
393387, 392remulcld 11260 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ β„•) β†’ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))) ∈ ℝ)
394393fmpttd 7119 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0))))):β„•βŸΆβ„)
395394ffvelcdmda 7088 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
396327ffvelcdmda 7088 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
397329feq1d 6701 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ (πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,)+∞)))
398397cbvralvw 3229 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ β„• (πΉβ€˜π‘›):β„βŸΆ(0[,)+∞) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,)+∞))
39999, 398sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,)+∞))
400399r19.21bi 3243 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,)+∞))
401 fss 6733 . . . . 5 (((πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† (0[,]+∞)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,]+∞))
402400, 306, 401sylancl 585 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,]+∞))
40323a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ℝ ∈ V)
40417adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
405404adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
406 fvex 6904 . . . . . . . . 9 (π»β€˜π‘₯) ∈ V
407 c0ex 11224 . . . . . . . . 9 0 ∈ V
408406, 407ifex 4574 . . . . . . . 8 if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0) ∈ V
409408a1i 11 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0) ∈ V)
410 fconstmpt 5734 . . . . . . . 8 (ℝ Γ— {𝑇}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 𝑇)
411410a1i 11 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (ℝ Γ— {𝑇}) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ 𝑇))
412 eqidd 2728 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)))
413403, 405, 409, 411, 412offval2 7697 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((ℝ Γ— {𝑇}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑇 Β· if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))))
414 ovif2 7512 . . . . . . . 8 (𝑇 Β· if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)) = if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), (𝑇 Β· 0))
41547adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 ∈ β„‚)
416415mul01d 11429 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑇 Β· 0) = 0)
417416ifeq2d 4544 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), (𝑇 Β· 0)) = if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0))
418414, 417eqtrid 2779 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑇 Β· if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)) = if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0))
419418mpteq2dv 5244 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑇 Β· if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0)))
420413, 419eqtrd 2767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((ℝ Γ— {𝑇}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0)))
421293, 404i1fmulc 25607 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((ℝ Γ— {𝑇}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0))) ∈ dom ∫1)
422420, 421eqeltrrd 2829 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0)) ∈ dom ∫1)
423 iftrue 4530 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) = (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)))
424423adantl 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) = (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)))
425329fveq1d 6893 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) = ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
426425breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯) ↔ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
427426rabbidv 3435 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘›)β€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)})
42823rabex 5328 . . . . . . . . . . . . 13 {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)} ∈ V
429427, 89, 428fvmpt 6999 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π΄β€˜π‘˜) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)})
430429ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)})
431430eleq2d 2814 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) ↔ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)}))
432431biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)})
433 rabid 3447 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)} ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
434433simprbi 496 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)} β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
435432, 434syl 17 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
436424, 435eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
437 iffalse 4533 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) = 0)
438437adantl 481 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) = 0)
439400ffvelcdmda 7088 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
440 elrege0 13449 . . . . . . . . . . 11 (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
441440simprbi 496 . . . . . . . . . 10 (((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
442439, 441syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
443442adantr 480 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
444438, 443eqbrtrd 5164 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜)) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
445436, 444pm2.61dan 812 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
446445ralrimiva 3141 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯))
447 ovex 7447 . . . . . . . 8 (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)) ∈ V
448447, 407ifex 4574 . . . . . . 7 if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) ∈ V
449448a1i 11 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) ∈ V)
450 fvexd 6906 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯) ∈ V)
451 eqidd 2728 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0)))
452400feqmptd 6961 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
453403, 449, 450, 451, 452ofrfval2 7698 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0)) ∘r ≀ (πΉβ€˜π‘˜) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0) ≀ ((πΉβ€˜π‘˜)β€˜π‘₯)))
454446, 453mpbird 257 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0)) ∘r ≀ (πΉβ€˜π‘˜))
455 itg2ub 25637 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘˜):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0)) ∈ dom ∫1 ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0)) ∘r ≀ (πΉβ€˜π‘˜)) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0))) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
456402, 422, 454, 455syl3anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0))) ≀ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
457301adantl 481 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))))β€˜π‘˜) = (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)))))
458293, 404itg1mulc 25608 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝑇}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)))) = (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)))))
459420fveq2d 6895 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (∫1β€˜((ℝ Γ— {𝑇}) ∘f Β· (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (π»β€˜π‘₯), 0)))) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0))))
460457, 458, 4593eqtr2d 2773 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))))β€˜π‘˜) = (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘˜), (𝑇 Β· (π»β€˜π‘₯)), 0))))
461343adantl 481 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜) = (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘˜)))
462456, 460, 4613brtr4d 5174 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((𝑗 ∈ β„• ↦ (𝑇 Β· (∫1β€˜(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(π‘₯ ∈ (π΄β€˜π‘—), (π»β€˜π‘₯), 0)))))β€˜π‘˜) ≀ ((𝑛 ∈ β„• ↦ (∫2β€˜(πΉβ€˜π‘›)))β€˜π‘˜))
4631, 2, 305, 386, 395, 396, 462climle 15602 1 (πœ‘ β†’ (𝑇 Β· (∫1β€˜π»)) ≀ 𝑆)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2704   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469   βˆ– cdif 3941   ∩ cin 3943   βŠ† wss 3944  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624  βˆͺ cuni 4903  βˆͺ ciun 4991   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  β—‘ccnv 5671  dom cdm 5672  ran crn 5673   β€œ cima 5675   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘f cof 7675   ∘r cofr 7676  supcsup 9449  β„‚cc 11122  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   Β· cmul 11129  +∞cpnf 11261  -∞cmnf 11262  β„*cxr 11263   < clt 11264   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  -cneg 11461  β„•cn 12228  (,)cioo 13342  [,)cico 13344  [,]cicc 13345   ⇝ cli 15446  volcvol 25366  MblFncmbf 25517  βˆ«1citg1 25518  βˆ«2citg2 25519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cc 10444  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-seq 13985  df-exp 14045  df-hash 14308  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-rest 17389  df-topgen 17410  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-top 22770  df-topon 22787  df-bases 22823  df-cmp 23265  df-ovol 25367  df-vol 25368  df-mbf 25522  df-itg1 25523  df-itg2 25524
This theorem is referenced by:  itg2monolem3  25656
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