MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idfu2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idfu2 16741
Description: Value of the morphism part of the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idfuval.i 𝐼 = (idfunc𝐶)
idfuval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
idfuval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
idfuval.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
idfu2nd.x (𝜑𝑋𝐵)
idfu2nd.y (𝜑𝑌𝐵)
idfu2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
Assertion
Ref Expression
idfu2 (𝜑 → ((𝑋(2nd𝐼)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem idfu2
StepHypRef Expression
1 idfuval.i . . . 4 𝐼 = (idfunc𝐶)
2 idfuval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 idfuval.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 idfuval.h . . . 4 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5 idfu2nd.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
6 idfu2nd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6idfu2nd 16740 . . 3 (𝜑 → (𝑋(2nd𝐼)𝑌) = ( I ↾ (𝑋𝐻𝑌)))
87fveq1d 6332 . 2 (𝜑 → ((𝑋(2nd𝐼)𝑌)‘𝐹) = (( I ↾ (𝑋𝐻𝑌))‘𝐹))
9 idfu2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10 fvresi 6582 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (( I ↾ (𝑋𝐻𝑌))‘𝐹) = 𝐹)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (( I ↾ (𝑋𝐻𝑌))‘𝐹) = 𝐹)
128, 11eqtrd 2805 1 (𝜑 → ((𝑋(2nd𝐼)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145   I cid 5156  cres 5251  cfv 6029  (class class class)co 6792  2nd c2nd 7314  Basecbs 16060  Hom chom 16156  Catccat 16528  idfunccidfu 16718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-ov 6795  df-2nd 7316  df-idfu 16722
This theorem is referenced by:  idfucl  16744
  Copyright terms: Public domain W3C validator