MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  idfu2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idfu2 16745
Description: Value of the morphism part of the identity functor. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
idfuval.i 𝐼 = (idfunc𝐶)
idfuval.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
idfuval.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
idfuval.h 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
idfu2nd.x (𝜑𝑋𝐵)
idfu2nd.y (𝜑𝑌𝐵)
idfu2.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
Assertion
Ref Expression
idfu2 (𝜑 → ((𝑋(2nd𝐼)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)

Proof of Theorem idfu2
StepHypRef Expression
1 idfuval.i . . . 4 𝐼 = (idfunc𝐶)
2 idfuval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 idfuval.c . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 idfuval.h . . . 4 𝐻 = (Hom ‘𝐶)
5 idfu2nd.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐵)
6 idfu2nd.y . . . 4 (𝜑𝑌𝐵)
71, 2, 3, 4, 5, 6idfu2nd 16744 . . 3 (𝜑 → (𝑋(2nd𝐼)𝑌) = ( I ↾ (𝑋𝐻𝑌)))
87fveq1d 6413 . 2 (𝜑 → ((𝑋(2nd𝐼)𝑌)‘𝐹) = (( I ↾ (𝑋𝐻𝑌))‘𝐹))
9 idfu2.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌))
10 fvresi 6667 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐻𝑌) → (( I ↾ (𝑋𝐻𝑌))‘𝐹) = 𝐹)
119, 10syl 17 . 2 (𝜑 → (( I ↾ (𝑋𝐻𝑌))‘𝐹) = 𝐹)
128, 11eqtrd 2847 1 (𝜑 → ((𝑋(2nd𝐼)𝑌)‘𝐹) = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1637  wcel 2157   I cid 5225  cres 5320  cfv 6104  (class class class)co 6877  2nd c2nd 7400  Basecbs 16071  Hom chom 16167  Catccat 16532  idfunccidfu 16722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-id 5226  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-ov 6880  df-2nd 7402  df-idfu 16726
This theorem is referenced by:  idfucl  16748
  Copyright terms: Public domain W3C validator