Theorem cyclnspth 29779

Description: A (non-trivial) cycle is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cyclnspth	⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem cyclnspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscycl 29769	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2		relpths 29696	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (Paths‘𝐺)
3	2	brrelex1i 5670	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
4		hasheq0 14270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
5	4	necon3bid 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
6	5	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
8	7	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
9		spthdep 29712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
10	9	neneqd 2933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
11	10	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
13	12	con2d 134	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
14	13	impancom 451	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
15	1, 14	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
16	15	com12 32	1 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  Vcvv 3436  ∅c0 4280   class class class wbr 5089  ‘cfv 6481  0cc0 11006  ♯chash 14237  Pathscpths 29688  SPathscspths 29689  Cyclesccycls 29763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-wlks 29578  df-trls 29669  df-pths 29692  df-spths 29693  df-cycls 29765

This theorem is referenced by:  spthcycl  35173