Theorem cyclnspth 29887

Description: A (non-trivial) cycle is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cyclnspth	⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem cyclnspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscycl 29877	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2		relpths 29804	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (Paths‘𝐺)
3	2	brrelex1i 5681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
4		hasheq0 14319	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
5	4	necon3bid 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
6	5	bicomd 223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
8	7	biimpa 476	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
9		spthdep 29820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
10	9	neneqd 2938	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
11	10	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
13	12	con2d 134	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
14	13	impancom 451	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
15	1, 14	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
16	15	com12 32	1 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3430  ∅c0 4274   class class class wbr 5086  ‘cfv 6493  0cc0 11032  ♯chash 14286  Pathscpths 29796  SPathscspths 29797  Cyclesccycls 29871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-hash 14287  df-word 14470  df-wlks 29686  df-trls 29777  df-pths 29800  df-spths 29801  df-cycls 29873

This theorem is referenced by:  spthcycl  35330