Theorem cyclnspth 29686

Description: A (non-trivial) cycle is not a simple path. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Oct-2017.) (Revised by AV, 31-Jan-2021.) (Proof shortened by AV, 30-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
cyclnspth	⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Proof of Theorem cyclnspth

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscycl 29677	. . 3 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
2		relpths 29606	. . . . . . . . 9 ⊢ Rel (Paths‘𝐺)
3	2	brrelex1i 5734	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → 𝐹 ∈ V)
4		hasheq0 14358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) = 0 ↔ 𝐹 = ∅))
5	4	necon3bid 2974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ V → ((♯‘𝐹) ≠ 0 ↔ 𝐹 ≠ ∅))
6	5	bicomd 222	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
7	3, 6	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ ↔ (♯‘𝐹) ≠ 0))
8	7	biimpa 475	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (♯‘𝐹) ≠ 0)
9		spthdep 29620	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘(♯‘𝐹)))
10	9	neneqd 2934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 ∧ (♯‘𝐹) ≠ 0) → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
11	10	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝐹) ≠ 0 → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → (𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃 → ¬ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
13	12	con2d 134	. . . 4 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ 𝐹 ≠ ∅) → ((𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)) → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
14	13	impancom 450	. . 3 ⊢ ((𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))) → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
15	1, 14	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → (𝐹 ≠ ∅ → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))
16	15	com12 32	1 ⊢ (𝐹 ≠ ∅ → (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 → ¬ 𝐹(SPaths‘𝐺)𝑃))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929  Vcvv 3461  ∅c0 4322   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  0cc0 11140  ♯chash 14325  Pathscpths 29598  SPathscspths 29599  Cyclesccycls 29671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-hash 14326  df-word 14501  df-wlks 29485  df-trls 29578  df-pths 29602  df-spths 29603  df-cycls 29673

This theorem is referenced by:  spthcycl  34867