Theorem 2cycld 34748

Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2cycld.1	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2cycld.2	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycld.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2cycld.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2cycld.5	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2cycld.6	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycld.7	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycld.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
2cycld.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2cycld	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cycld.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2cycld.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2cycld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2cycld.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2cycld.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2cycld.6	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2cycld.7	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		2cycld.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	2pthd 29750	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10		2cycld.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
11	1	fveq1i 6898	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
12		s3fv0 14874	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
13	11, 12	eqtrid 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
17	2	fveq2i 6900	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
18		s2len 14872	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
19	17, 18	eqtri 2756	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
20	1, 19	fveq12i 6903	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
21		s3fv2 14876	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
22	20, 21	eqtr2id 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
23	22	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
25	15, 16, 24	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
26	3, 10, 25	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
27		iscycl 29604	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
28	9, 26, 27	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3947  {cpr 4631   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548  0cc0 11138  2c2 12297  ♯chash 14321  ⟨“cs2 14824  ⟨“cs3 14825  Vtxcvtx 28808  iEdgciedg 28809  Pathscpths 29525  Cyclesccycls 29598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-ifp 1062  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-er 8724  df-map 8846  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-concat 14553  df-s1 14578  df-s2 14831  df-s3 14832  df-wlks 29412  df-trls 29505  df-pths 29529  df-cycls 29600

This theorem is referenced by:  2cycl2d  34749