Theorem 2cycld 35144

Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2cycld.1	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2cycld.2	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycld.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2cycld.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2cycld.5	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2cycld.6	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycld.7	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycld.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
2cycld.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2cycld	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cycld.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2cycld.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2cycld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2cycld.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2cycld.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2cycld.6	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2cycld.7	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		2cycld.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	2pthd 29961	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10		2cycld.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
11	1	fveq1i 6906	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
12		s3fv0 14931	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
13	11, 12	eqtrid 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
17	2	fveq2i 6908	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
18		s2len 14929	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
19	17, 18	eqtri 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
20	1, 19	fveq12i 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
21		s3fv2 14933	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
22	20, 21	eqtr2id 2789	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
23	22	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
25	15, 16, 24	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
26	3, 10, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
27		iscycl 29812	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
28	9, 26, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ⊆ wss 3950  {cpr 4627   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  0cc0 11156  2c2 12322  ♯chash 14370  ⟨“cs2 14881  ⟨“cs3 14882  Vtxcvtx 29014  iEdgciedg 29015  Pathscpths 29731  Cyclesccycls 29806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-hash 14371  df-word 14554  df-concat 14610  df-s1 14635  df-s2 14888  df-s3 14889  df-wlks 29618  df-trls 29711  df-pths 29735  df-cycls 29808

This theorem is referenced by:  2cycl2d  35145