Theorem 2cycld 33000

Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2cycld.1	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2cycld.2	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycld.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2cycld.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2cycld.5	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2cycld.6	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycld.7	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycld.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
2cycld.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2cycld	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cycld.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2cycld.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2cycld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2cycld.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2cycld.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2cycld.6	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2cycld.7	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		2cycld.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	2pthd 28206	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10		2cycld.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
11	1	fveq1i 6757	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
12		s3fv0 14532	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
13	11, 12	syl5eq 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
15	14	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
17	2	fveq2i 6759	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
18		s2len 14530	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
19	17, 18	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
20	1, 19	fveq12i 6762	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
21		s3fv2 14534	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
22	20, 21	eqtr2id 2792	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
23	22	3ad2ant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
24	23	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
25	15, 16, 24	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
26	3, 10, 25	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
27		iscycl 28060	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
28	9, 26, 27	sylanbrc 582	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   ⊆ wss 3883  {cpr 4560   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  0cc0 10802  2c2 11958  ♯chash 13972  ⟨“cs2 14482  ⟨“cs3 14483  Vtxcvtx 27269  iEdgciedg 27270  Pathscpths 27981  Cyclesccycls 28054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-ifp 1060  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-wlks 27869  df-trls 27962  df-pths 27985  df-cycls 28056

This theorem is referenced by:  2cycl2d  33001