Theorem 2cycld 35638

Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2cycld.1	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2cycld.2	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycld.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2cycld.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2cycld.5	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2cycld.6	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycld.7	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycld.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
2cycld.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2cycld	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cycld.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2cycld.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2cycld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2cycld.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2cycld.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2cycld.6	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2cycld.7	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		2cycld.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	2pthd 30300	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10		2cycld.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
11	1	fveq1i 6882	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
12		s3fv0 14935	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
13	11, 12	eqtrid 2809	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
15	14	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
17	2	fveq2i 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
18		s2len 14933	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
19	17, 18	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
20	1, 19	fveq12i 6887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
21		s3fv2 14937	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
22	20, 21	eqtr2id 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
23	22	3ad2ant3 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
24	23	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
25	15, 16, 24	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
26	3, 10, 25	syl2anc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
27		iscycl 30151	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
28	9, 26, 27	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ⊆ wss 3904  {cpr 4590   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  0cc0 11106  2c2 12301  ♯chash 14373  ⟨“cs2 14885  ⟨“cs3 14886  Vtxcvtx 29357  iEdgciedg 29358  Pathscpths 30070  Cyclesccycls 30145

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-ifp 1078  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-hash 14374  df-word 14558  df-concat 14615  df-s1 14641  df-s2 14892  df-s3 14893  df-wlks 29960  df-trls 30051  df-pths 30074  df-cycls 30147

This theorem is used by:  2cycl2d  35639