Theorem 2cycld 33100

Description: Construction of a 2-cycle from two given edges in a graph. (Contributed by BTernaryTau, 16-Oct-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2cycld.1	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2cycld.2	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2cycld.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2cycld.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2cycld.5	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2cycld.6	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2cycld.7	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
2cycld.8	⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
2cycld.9	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
2cycld	⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Proof of Theorem 2cycld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2cycld.1	. . 3 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2		2cycld.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
3		2cycld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
4		2cycld.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
5		2cycld.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
6		2cycld.6	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
7		2cycld.7	. . 3 ⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
8		2cycld.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ≠ 𝐾)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	2pthd 28305	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Paths‘𝐺)𝑃)
10		2cycld.9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐶)
11	1	fveq1i 6775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘0) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0)
12		s3fv0 14604	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘0) = 𝐴)
13	11, 12	eqtrid 2790	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝑃‘0) = 𝐴)
14	13	3ad2ant1 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝑃‘0) = 𝐴)
15	14	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝑃‘0) = 𝐴)
16		simpr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐴 = 𝐶)
17	2	fveq2i 6777	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
18		s2len 14602	. . . . . . . . 9 ⊢ (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
19	17, 18	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (♯‘𝐹) = 2
20	1, 19	fveq12i 6780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃‘(♯‘𝐹)) = (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2)
21		s3fv2 14606	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩‘2) = 𝐶)
22	20, 21	eqtr2id 2791	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
23	22	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
24	23	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → 𝐶 = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
25	15, 16, 24	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) ∧ 𝐴 = 𝐶) → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
26	3, 10, 25	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹)))
27		iscycl 28159	. 2 ⊢ (𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃 ↔ (𝐹(Paths‘𝐺)𝑃 ∧ (𝑃‘0) = (𝑃‘(♯‘𝐹))))
28	9, 26, 27	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Cycles‘𝐺)𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   ⊆ wss 3887  {cpr 4563   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  0cc0 10871  2c2 12028  ♯chash 14044  ⟨“cs2 14554  ⟨“cs3 14555  Vtxcvtx 27366  iEdgciedg 27367  Pathscpths 28080  Cyclesccycls 28153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-wlks 27966  df-trls 28060  df-pths 28084  df-cycls 28155

This theorem is referenced by:  2cycl2d  33101